مقدمة إلى المعادلات التفاضلية الأولى في الهندسة

ومن بين هذه المعادلة التفاضلية، صياغة العديد من القوانين المادية، التي تشكل، في المقام الأول، معادلة التفاضلية القائمة على أساس نموذج النظم الدينامية في كل تخصص هندسي تقريبا، ومن التنبؤ بمدى هدوء مجموعة المحركات الساخنة في تصميم استجابة مرشح إلكتروني، فإن القدرة على إنشاء هذه المعادلات وحلها هي مهارة أساسية، ويتوسع هذا الدليل في الأساليب الأساسية لحل المعادلة التفاضلية الهندسية الأولى ويستكشفها.

ما هي المعادلات التفاضلية الأولى؟

A first‐order differential equation relates an unknown function y(x]) to its first derivative dy/dx.

dy/dx = f(x, y)]

In where the function (f] can be linear or nonlinear in both ]x and y[FLT changing quantity:5]. The order of the equation refers to the highest derivative present; because only the first derivative context, it is called

For example, Newton’s law of cooling states that the rate of change of an object’s temperature Tt]) is proportional to the difference between the object and its environment. That leads directly to the first —order equation dT

أساليب حل المعادلة التفاضلية الأولى

وهناك عدة أساليب راسخة جدا لحل معادلة المورد الأول، وكلها تنطبق على شكل هيكلي معين، ويتيح استخلاص هذه الأساليب للمهندسين اختيار الأداة المناسبة للمعادلة قيد البحث.

معادلات منفصلة

A first — first‐order equation is ]separable] if it can be written as a product of a function of ]x and a function of y]:

dy/dx = g(x) · h(y)]

ويتحقق الحل بإعادة ترتيب الجانبين وإدماجهما:

⁇ (1/h(y)) dy = ⁇ g(x) dx]

وبعد تقييم الأجزاء المتكاملة، نحل محل y صراحة إن أمكن، أو نترك الحل بشكل ضمني.() وكثيرا ما تظهر المعادلات القابلة للفصل في مشاكل النمو والزيت، مثل التحلل الإشعاعي أو توجيه التهمة/تدبير المكثف عن طريق مقاوم.

Example:] Solve ]dy/dx = 2xy. Separate variables: (1/y) dy = 2x dx]

المكافئات الأولى - الثانية

(أ) معادلة خطية من الدرجة الأولى لها النموذج الموحد:

dy/dx + P(x) y = Q(x)]

(أ) إذا كانت P] وQ] مهام x فقط، ومفتاح حل هذا النوع هو معامل الإدماج الذي يعرف على النحو التالي:

ميكرون(x) = e] ⁇ P(x) dx]]

(د) يُحوّل الجانب الأيسر إلى مشتقات ميكرو (x) y :]

d/dx [ميكرو(x) y] = ميكرو(x) Q(x)]

إدماج العائدات:

ميكرون (x) y = ⁇ ميكرو (x) Q(x) dx + C]

وأخيراً، فإن تقسيم الزئبق إلى ميكرو (x) للحصول على y صراحة.() نموذج معادلة خطية العديد من النظم المادية، بما في ذلك دوائر RL وRC، ونقل الحرارة مع درجة الحرارة المحيطة الثابتة، واستجابات نظام التحكم في الأوّل.

معادلة سابقة

(أ) يُدعى (M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0) إذا كانت المشتقات الجزئية تفي M/ ⁇ y = ⁇ (N/ ⁇ x[Fact]:

معادلة برنوللي

ومعادلة برنوللي هي معادلة غير خطية من الاستمارة:

dy/dx + P(x) y = Q(x) y]n]]

(أ) إذا كان n هو رقم حقيقي لا يساوي صفراً أو 1. It can be transformed into a linear equation by the substitution v = y1 - n .() This method is useful in liquids, for example flowing.

مكافئات أول متجانسة

A first-order equation is homogeneous] if the function ]f(x, y) can be expressed as a function of the ratio y/x.

التطبيقات في الهندسة

وتتمثل المعادلة التفاضلية الأولى في لبنات البناء للعديد من النماذج الهندسية، فيما يلي أمثلة مفصلة من أربعة مجالات رئيسية.

النظم الحرارية: قانون نيوتن للتبريد

ويأتي تهدئة الجسم الصلب في وسط مائع في أعقاب قانون التبريد في نيوتن:

dT/dt = -k (T - T] ⁇ ]]]]

(ه) إذا كان T] هو درجة حرارة الجسم، T ] هو درجة الحرارة المحيطة، وk هو ثابت إيجابي حسب المنطقة الأولية ومعامل الحرارة

T(t) = T] ⁇ + (T]0] - T] ) e -

ويستخدم المهندسون هذه المعادلة لتصميم زعانف التبريد، وتقديرات لثبات الزمن الحراري في الأجهزة الإلكترونية، والتنبؤ بسجل درجة الحرارة للمواد أثناء المعالجة الحرارية.

الدوائر الكهربائية: الاستجابة الدائرة RC

In a series RC circuit with a voltage source V]s](t)], the capacitor voltage vc(t:

RC dv]c/dt + v]c] = V]s](t)

هذه معادلة خطية أولاً، بالنسبة لطول خط ثابت V] = V0] و]()

vc(t) = V0 [[1] [-t/(RC])]

والمنتج [(FLT:0]) هو الوقت الثابت، وهو يميز سرعة رسوم المكثفات.

Fluid Dynamics: Continuous Stirred -Tank Reactor (CSTR)

وفي مفاعل مختلط تماما للدبابات، يؤدي التوازن الجماعي للأنواع الكيميائية إلى ما يلي:

V dC/dt = Q (C]in] – C] – k V]]

(أ) إذا كان [(FLT:0]V) حجماً، Q] معدل تدفق أحجام، تركيز ]، [[[[التصميم التقديري] [الاستعمالي:7]] [التركيز المستمر في:8]

نظم الرقابة: الاستجابة للنظام الأول

وكثير من نظم المراقبة، مثل جهاز حرارة بسيط أو محرك ذي خط لا يذكر، تُصاغ على أنها نظم أول - أربعة:

dy/dt + y = K u(t]]

Here is the time constant, K the steady —state gain, and u(t) the input. The solution for a unit step input u(t)

مثال: هدوء وجه - حل كامل

فلنعمل من خلال مشكلة نموذجية - يوضع جزء معدني عند درجة ٠٠٢ درجة مئوية في غرفة عند درجة حرارة ٢٥ درجة مئوية.

Step 1 - Equation and initial condition]

The differential equation: dT/dt = – 0.02 (T — 25), with ]T(0) = 200].

Step 2 - Solve using the integrating factor method]

The equation is linear: dT/dt + 0.02 T = 0.5]. Integrating factor mi(t) = e 0.02 dt = e]0.02

Step 3 — Multiply and integrate]

d/dt [e]0.02t] T = 0.5 e0.02t].

Step 4 - Apply initial condition]

T(0) = 200] ⁇ 200 = 25 + C ⁇ ]C = 175]].

Step 5 - Temperature after 30 minutes]

T(30) = 25 + 175 e] -0.6] ◂ × 25 + 175 × 0.5488 = 121.0°C.

Step 6 - Time to reach 50°C]

Set 50 = 25 + 175 e] -0.02t ⁇ e -0.02t = 25/175 œ crucial 0.1429

ويدل هذا الحل على قوة المعادلة التفاضلية للتنبؤ بالسلوك الحقيقي للعالم واتخاذ القرارات الهندسية.

خاتمة

إن المعادلة التفاضلية للمهندسين هي معادلة ثابتة في مجموعة الأدوات الرياضية لكل مهندس، ومن خلال التأقلم بين المتغيرات، وطريقة المعامل المدمجة، والمعادلات الدقيقة، والاستعاضة عن برنوللي، يمكن للمهندسين أن يصمموا ويحللوا السلوك الدينامي لنظم التصميم الحراري والكهربائي والسوائل ونظم التحكم، ويوضح المثال المتدرج أعلاه كيف تترجم هذه الأساليب إلى تقنيات عملية للتنبؤ.

For further reading, explore these resources: MIT OpenCourseWare — Differential Equations], ]Khan Academy – First Order Differential Equations], and Paul’s Online Math Notes – Differential Equations