إن مرشح كالمان هو خوارزمية تستخدم لتقدير حالة نظام دينامي من القياسات المزعجة، وهو يطبق على نطاق واسع في نظم التتبع في الوقت الحقيقي مثل الملاحة والآليات والفضاء الجوي، وتستكشف هذه المادة المبادئ الرياضية وراء مرشح كالمان وتنفيذاته العملية.

المؤسسات الرياضية

The Kalman filter operates on a system modeled by linear equations. The state of the system at time k] is represented by a vector xk.] The system dynamics are described by:

xk = A x]k-1 + B u]k-1[ + w]k-1]

A] is the state transitionmel, B is the control inputmel, u]k-1] is the control vector, and [FL:

zk = H xk + v]k]]

(أ) إذا كان [(FLT:0]H هو مصفوفة القياس و[(]vk] ]] هو ضوضاء قياسية، ويقدّر المرشح الحالة بالتنبؤ والتحديث استناداً إلى قياسات جديدة.

التنفيذ العملي

ويشتمل مرشح كالمان على خطوتين رئيسيتين هما: التنبؤ والتصحيح، وأثناء التنبؤ، يقدر المرشح الحالة التالية وحالة عدم التيقن التي تتسم بها، وفي خطوة الإصلاح، يستكمل التقدير استنادا إلى القياس الجديد.

وتتمثل المعادلة الرئيسية فيما يلي:

  • Prediction:
    x ⁇ k-1] = A x ⁇ ]k-1] + B uk-1
  • Update:
    x ⁇ k = x ⁇ k-1 + Kk(z)

(د) حيثما Kk] هو كسب كالمان، الذي يُحسب للتقليل إلى أدنى حد من الخطأ التقديري، ويعد التصحيح السليم للعمليات ورواسب الضوضاء القياس أمراً أساسياً لتحقيق الأداء الأمثل.

التطبيقات

ويستخدم مرشح كالمان في مختلف تطبيقات التتبع في الوقت الحقيقي، بما في ذلك:

  • نظم الملاحة للمركبات المستقلة
  • تعقب الأجسام في نظم الرادار والسونار
  • الآليات اللازمة للتمركز ورسم الخرائط
  • تحليل الأسواق المالية