مقدمة

وتصنف وظائف غرين في أعلى المباني الرياضية لحل المعادلة التفاضلية في الهندسة الكهرومغناطيسية، وتحوّل معادلة متمايزة إلى معادلة متكاملة، مما يمكّن المهندسين من عزل أثر مصدر معين ثم تخلف مساهمات من مصادر تعسفية، وهذا النهج لا غنى عنه عند تحليل الحقول المتطورة في المناطق الملزِمة، أو في حلول هندسية متجانسة أخرى.

]Green’s functions] appear across nearly every branch of electrical engineering: they are used in electrostatics, magnetostatics, guided wave thecattering, and time —harmonic wave propagation. Their power lies in separating the operator from the boundary conditions, allowing the same fundamental solution to be reused for many source distributions.

ما هو عمل غرين؟

Formally, the Green’s function G([r, ]r]]]]) of a linear differential operator L is the solution of

L Gr, r]]]= / ]r −r[

رهناً بظروف الحدود التي تنطوي عليها المشكلة، وهذه هي وظيفة ديراك دلتا، التي تمثل مصدراً مثالياً للنقاط في الموقع r].() لأن المشغل خطي، ورد على أي توزيع للمصدر (و)(](])

u[[FLT:]](r) = G(]r

وهذا المبدأ هو جوهر الطريقة، إذ إن G] ] يصف كيف تولد وحدة في نقطة " Propagates " عبر الوسط للتأثير على الميدان في مرحلة أخرى.

وفي مجال المغناطيسيات الكهرومغناطيسية، يمكن للمشغل L أن يكون لابليكان (الميادين الثابتة)، أو مشغل هيلمهولتز (الميادين المتأصلة زمنيا)، أو شكل الداياديتش من معادلة موجة الناقلين، وبذلك تُدرج وظيفة غرين جميع الخصائص الجيولوجية والمادية لمجال المشكلة.

مؤسسة الرياضيات لأداء وظائف غرين

المشغلون المختلفون والمنضمون

For a self-adjoint operator under the given boundary conditions, the Green’s function is symmetric: G()r, [−FLT:4]r

التمثيل المتكامل

ومتى كان G معروفاً، يُعبر عن حل مشكلة القيمة الحدودية

[FLT:]u[FLT:]([FLT:])

The surface integral accounts for boundary conditions: if u is known on the boundary (Dirichlet condition), one chooses ]G that vanishes on the surface; if the normal derivative is known (Neumann), one chooses G[ang adapted:

أنواع الطوابق

  • Dirichlet:] function u] specified on the boundary. The Green’s function GD]] is set to zero on the boundary.
  • Neumann:] normal derivative ⁇ ]u/ ⁇ n[()حددت وظيفة غرين G
  • Robin (mixed):] a linear combination a u + b] ⁇ [FLous:6]u]/ ⁇

ومن الأهمية بمكان اختيار شرط الحدود G؛ وهو يحدد ما إذا كان يمكن التعبير عن الحل على نحو محض من حيث مدة المصدر.

تطبيق وظائف غرين على المشاكل الكهرومغنطسية

معادلة هلمهولتز

For time —harmonic (e−iute]) electromagnetic fields in a linear, isotropic, homogeneous medium, the scalar potential or a single component of the field can satisfy

( ⁇ 2 + k2) ⁇ (r]) = −f(r)،

حيث يكون عدد الأمواج هو k = √ (مُعدّد)

G[FLT:]0(r]] r]]]

وهذه الوظيفة تمثل المجال من مصدر نقطة يشع في الفضاء غير المقيد، وهي الأساس الذي تقوم عليه جميع الوظائف الخضراء الأخرى في نصف الفضاء أو وسائط الإعلام المطبق أو المناطق المغلقة.

المهنة )الدينج(

(أ) معادلة ماكسويل هي معادلة ذات طابع أساسي، وميدان الكهرباء [(FLT:0]E] من توزيع كهربائي في الوقت الحاضر ]J يلبي معادلة موجة الناقلات

⁇ × ⁇ × E − k2]E] = iME J].

A dyadic Green’s function Ge(]r], r]]]]]]]

E(r) = imukimo[4]V] G

إن وظائف دياديتش غرين أساسية لإجراء تحليل دقيق للتنقية والتناثر، لا سيما في وجود وصلات بينية مادية، وتوجد أشكال موحدة لوسائط الإعلام المصممة على نطاق واسع )التي كثيرا ما تعبر عن طريق مكونات سومرفيلد( وللحدود التسلسلية أو الكظرية.

التطبيقات المغنطسية المشتركة

  • Antenna radiation] – Compute far-field patterns from arbitrary current distributions using the free —space dyadic Green’s function.
  • Waveguide excitation] - Modal expansions via eigenfunction forms of the Green’s function (e.g., rectangular waveguide).
  • Scattering by objects] – Volume or surface integral equations built from the background Green’s function.
  • Meicrostrip circuits - استخدام وظيفة وسيط غرين ذات طبقات دقيقة في مذيب لطريقة للتحركات (MoM).
  • Electrostatic / magnetostatic problems] – Poisson’s equation solved via the static Green’s function (1/(4 ⁇ ]r−r) in free ⁇ space.

بناء وظائف غرين لظروف الحدود النموذجية

طريقة الصور

وبالنسبة لحدود المكوك )مثل الطائرة المأهولة(، يمكن بناء وظيفة الأخضر بإضافة مصدر للصور وضع بشكل متماثل فيما يتعلق بالحدود، وبالنسبة لطائرة موصل كهربائي مثالية في ]FLT:0[z[ = صفر، وظيفة غرين هي:

G([FLT:]]]]([FLT:]]])

حيث تلغي المصطلح الثاني حقل الكهرباء السماوية في الطائرة، ويمتد هذا الأسلوب إلى نصف الحيز الغذائي وإلى صفحتين متوازيتين (المسحوق الجيولوجي).

التوسع في الوظائف

In separable coordinate systems (rectangular, cylindrical, spherical), the Green’s function can be expanded in eigenfunctions of the operator. For a rectangular cavity with dimensions a] × b

G([FLT:]]]]r[[FLT:[2]

[يُرجى] [الجبهة] [الجبهة:1]]mnp] هي الوظائف العادية (النقطة والمكونات) k [التقنيات المشابهة]

سلسلة الحلول المتعلقة بالحدود المحيطة

وفيما يتعلق بالحدود الاسطوانية أو التسلسلية، فإن وظيفة غرين تعبر عن وظائف بيسسيل )أو وظائف هانكل( وبوليلومات الأسطورية، على التوالي، وعلى سبيل المثال، فإن وظيفة غرين في الأسطوانة التعميمية التي لا تنتهي والتي تستخدم الحدود بين بلدان المنطقة الاقتصادية الخالصة وظائف بيزل، وهي مفيدة بصفة خاصة في تشكيل الكابلات الحديدية أو الترميزات العائمة أو التر.

خطوات لتطبيق وظائف غرين في الممارسة

  1. Identify the governing equation] — Write the differential equation (or system) that the field must satisfy: Poisson, Helmholtz, vector wave equation.
  2. [أطلقوا المهمة المناسبة للخضر - اختيار وظيفة غرين أو استخلاصها التي تلبي نفس المشغل المتمايز وظروف الحدود المتجانسة للمشكلة.
  3. كتابة التمثيل المتكامل ] - الإعراب عن الحقل بوصفه جزءا لا يتجزأ من وظيفة الأخضر، وذلك في الوقت الذي يكتنف المصدر، بالإضافة إلى الأجزاء السطحية المحتملة للبيانات الحدودية.
  4. (أ) تقييم التكامل (الإطار الاستراتيجي): [الإطار التمويلي: 1] - إجراء عملية الإدماج تحليلياً كلما أمكن (استخدام المكونات المعروفة، أو استخراج الشعر، أو النظرية الصورية) - بالنسبة للمقاييس الجغرافية المعقدة، تقييم عددي بالكميات التكييفية أو عن طريق تفريق حركة مورو.
  5. Post —Post —process] - Extract desired quantities: field values at observation points, power flow, impedance, or radiated power.

وهذه الخطوات هي كيميائية ويمكن تكييفها مع العديد من المشاكل الكهرومغناطيسية، بدءاً من نموذج المقاومة في العاصمة إلى التكاثر العالي.

الطرائق العددية والوظائف الخضراء

طريقة التنقل

وتميز وزارة الزراعة معادلة متكاملة تم الحصول عليها من تمثيل وظيفة غرين، ويتسع نطاق التيار غير المعروف على سطح أو في حجم ما في الوظائف الأساسية؛ ويختبر المشغل المتكامل، مما يؤدي إلى معادلة كثيفة، ولأن وظيفة غرين هي في كثير من الأحيان وظيفة فريدة في نقطة المصدر، فإن المعالجة الدقيقة للتكامل الذاتي (تكامل القيمة الأساسية) مطلوبة.

Boundary Element Method (BEM)

ويعتبر نظام إدارة البيئة متغيرا يستخدم نظرية غرين ليحل محل أجزاء الحجم المدمجة بمتكاملات سطحية، ويقلل من البُعد المشكلي بنقطة واحدة )منها مثلا ٣ دال إلى ٢ دال( ويتمتع بالكفاءة للمناطق المتجانسة، والصعوبة الرئيسية هي المصفوفة الكاملة، ولكن الطرق السريعة )مثلا، طريقة العجلات المتعددة القطب( يمكن أن تعجل بالحساب.

الفرق بين الفينيت و/العنصر المختلط مع الوظائف الخضراء

وتستخدم النهج الهجينة أحيانا " وظيفة خضراء منفصلة " محسوبة رقميا لشبكة محدودة من مجالات الاهتمام، ويمكن أن يكون ذلك مفيدا للمشاكل المتعلقة بالحدود غير القابلة للفصل حيث لا تتوفر وظيفة تحليلية للخضر.

المواضيع المتقدمة

وظائف غرين في الوقت الحاضر

[FLT] Time[FLT]s for the wave equation in free space is the wellknown retarded potential: G()r[FL:3]

الاضطرابات ووسائط الإعلام غير المتجانسة

وإذا انحرفت الوسيطة قليلا عن خلفية معروفة، يمكن للمرء أن يستخدم وظيفة الخلفية الخضراء في معادلة متكاملة الحجم )معادلة ليبمان - شوينغر(، وهذا هو الأساس الذي يقوم عليه المذيبات المتكررة في الفرز العكسي، ولنموذج التجانسات الصغيرة في إطار معيار فرعي موحد آخر.

التمثيليات (الحيز المتاح)

وكثيرا ما يجري تقييم وظيفة الدياك غرين لوسائط الإعلام المطبق على نطاق واسع في المجال الطيفي باستخدام مكونات سومرفيلد، وتشمل هذه المكونات وظائف بيسيل وتتطلب تكاملا رقميا دقيقا، ولكنها توفر حاسبة فعالة لدوائر التخطيط والمنافذ، وهناك العديد من أدوات البرمجيات الحديثة التي تنفذ هذه التكاملات مع عمليات استخراج القطبين ومعالجة الفروع.

أمثلة عملية

المثال 1: القدرة الكهربائية في صندوق مقسم على أساس الوصلات

eFLangular box (0 < x[FLT:][FLT]]

مثال 2: ديبول على نصف الكرة الديليكية

ويقع جهاز أفقي للكهرباء على مسافة ]FLT:0[d فوقه جهاز غذائي لا يخسر، وتحسب الحقول باستخدام النموذج الدقيق للدغ الأخضر المضبوط في وظيفة الخضر، وبالنسبة لنقطة المراقبة في المنطقة البعيدة، يمكن تقدير الأجزاء المتكاملة باستخدام أساليب الضبط المختلط، مع إدخال النموذج المعدل المألوف للإشعاع.

المزايا والحدود

المزايا

  • :: تخفيض معادلة الاختلاف مع المصادر إلى معادلة متكاملة، وكثيرا ما يتجنب التمييز الصريح.
  • :: إدراج شروط الحدود تلقائيا في نظام الكينول، وتبسيط عملية الحل.
  • يمكن أن تكون حلولا تحليلية في العديد من الجيولوجيا الكانتونية (الإنتقائية، التعميم، التسلسلية).
  • يوفر أساساً ثابتاً للطرق العددية مثل وزارة التعليم ووزارة التعليم ووزارة التعليم.
  • ويعالج بسهولة التوزيع التعسفي للمصادر بمجرد معرفة وظيفة غرين.

القيود

  • ولا توجد وظائف مغلقة لأجهزة التجميل الخضراء إلا بالنسبة للمقاييس الجغرافية القابلة للفصل ووسائط الإعلام الموحدة.
  • وبالنسبة للحدود غير القابلة للفصل أو وسائط الإعلام غير المتجانسة إلى حد كبير، يجب حساب وظيفة غرين رقميا، التي يمكن أن تكون باهظة التكلفة كحل كامل للموجات.
  • ويمكن أن يكون التمثيل المتكامل مفرداً في نقطة المصدر، مما يتطلب تكاملاً رقمياً دقيقاً.
  • ويمكن أن يكون وجود سلسلة من الوظائف المترابطة بطيئا بالنسبة لنقاط المراقبة القريبة من المصدر أو بالنسبة لمشاكل التردد الشديد.
  • لا ينطبق مباشرة على المشاكل غير المباشرة، لأن التسلسل مطلوب للتحليل.

خاتمة

ولا غنى عن الوظائف الخضراء في الهندسة الكهرومغناطيسية، والتحليل النظري والعملي المختلط، مما يحول معادلة التفاضلية المعقدة إلى أشكال متكاملة يمكن إدارتها، ويتيح حلولا تحليلية واضحة للمشاكل الكانتونية، ويعزز تقنيات حسابية قوية مثل طريقة المحركات، ويجمع بين التصاميم الكهرومائية والتوجهات العالية التردد، ويفهم كيفية بناء وتطبيق وظائف الهندسة الخضراء.

For further reading, consult the Wikipedia article on Green’s functions], the traditional text ] Time —Harmonic Electromagnetic Fields by R. F. Harrington