حل معادلة التفاضلية الجزئية مع الغامبي والشري: نهج الخطوة باء - الخطوة

وتعد المعادلة التفاضلية الجزئية أساسية في نموذج مختلف الظواهر المادية، مثل نقل الحرارة، وتشغيل الموجات، وديناميات السوائل، ويبسط استخدام مكتبات بيتسون مثل نومبي وشركة سيسيبي عملية حل هذه المعادلات رقمياً، وتوفر هذه المادة نهجاً تدريجياً لحل الأزمات بين القطاعين العام والخاص بهذه الأدوات.

وضع المشكلة

بداية من تحديد برنامج العمل الديمقراطي والمجال، مثلاً، النظر في معادلة الحرارة الأحادية الأبعاد:

⁇ u/ ⁇ t = ⁇ 2u/ ⁇ x2]

Specify initial conditions, boundary conditions, and parameters such as thermal diffusivity Alpha.

تفريق الدومين

(د) أن تقسم المجال المكاني إلى نقاط منفصلة باستخدام صفائف نومبي، مثلاً، إنشاء شبكة من النقاط:

import numpy as np]

x= np.linspace(0, 1, 100)]

تحديد الوقت والوقت الكامل للمحاكاة لمراقبة الاستقرار الرقمي والدقة.

تنفيذ الطريقة العددية

استخدام أساليب الاختلاف المحددة للمشتقات المشتقات التقريبية، وبالنسبة للمعادلة الحرارية، يستكمل مخطط صريح درجة الحرارة في كل نقطة:

u new = u + r * (u[i+1] - 2*u[i] + u[i-1])]

Where r] is a stability parameter calculated as Alpha * dt / dx2].

تشغيل محاكاة

(ج) أن تُكرّر خطواتها الزمنية، وأن تُحدّث صفيفة الحلول في كل مرة، وأن تستخدم عمليات النومبي لتحقيق الكفاءة:

for n in range(steps):]

" Nbsp; u[1:-1] = u[1:-1] + r * (u[2:] - 2*u[1:-1] + u[:-2])

تطبيق شروط الحدود بعد كل تحديث للحفاظ على قيود المشاكل.

تحقيق النتائج

استخدم مكتبات مثل (ماتبولتليب) لتخيّل توزيع درجات الحرارة عبر الزمن، وضبط الولايات الأولى والنهائية لمراقبة عملية الانتشار.

رمز الإكرامب:

import matplotlib.pyplot as plt]

plt.plot(x, u)]