دراسة حالة إفرادية: تطبيق نظام مراقبة الطائرات العمودية

وفي نظم الرقابة الحديثة، يشكل الاستقرار حجر الزاوية في التشغيل الآمن والقابل للتنبؤ، ولا يوجد مكان أكثر وضوحا من الطائرات المسيرة الرباعية التي يمكن أن يؤدي عدم الاستقرار فيها إلى فشل كارثي في غضون ثوان، وتبين هذه الدراسة التطبيق العملي لمعايير المظلة المتعددة الأبعاد Routh-Hurwitz إلى تحليل استقرار نظام التحكم في مصفوفة رباعية من خلال بناء هيكلية.

هيكل الهندسة والتحكم

ويخضع رباعي لنظام غير خطي غير مكتمل التكوين، ويخضع اقتراحه لضوابط مختلفة من سرعة أربعة رواسب، مما يولد زخماً وتوركاً، ولإجراء تحليل للاستقرار، يُحكم على النظام عادةً بظروف مائلة، مما يؤدي إلى مجموعة من المعادلات المتمايزة من المرتبة الثانية لقياس التجدد والقذف والياو والارتفاع، ويستخدم نظام المراقبة عادةً التحكم في الاختبار

نموذج مصفوف لدحرج محور

النظر في ديناميات الدراجة، المعادلة المتسلسلة للحركة هي:

(أ) إذا كان هو زاوية اللفافة، هو لحظة الإصابة بالعدوى، هو مشتقات الرطوبة الهوائية، و هو مشتق التحكم الذي يمثل الضلع الذي ينتجه الدافع التفاضلي.

وينتج استبدال وظيفة النقل بالطرق المغلقة وتشكيلها عن تعددية سمات النظام الثالث (أو أعلى إذا أدرجت ديناميات الاستشعار) بالنسبة لنظام ثالث:

معيار (روث هورويتز) يسمح لنا بتحليل إشارة الأجزاء الحقيقية من الجذور دون إيجاد جذور واضحة

The Routh-Hurwitz Criterion: A Systematic Stability Test

ويوفّر معيار روث - هورويتز، الذي وضعه بصورة مستقلة إدوارد جون روث وأدولف هورويتز، شرطا ضروريا وكافيا لاستقرار نظم الاستبدال الزمني الخطي، ويستخدم مواصفات التعددية التخصصية لبناء صفيفة (صفيفة الروث)، ويساوى عدد التغييرات في اللوحة الأولى من هذه الصفوف عدد الطوابع الإيجابية التي لها أجزاء حقيقية إيجابية.

بناء الرافعة

ونظراً لتعددية الأبعاد ، فإن صفيفة Routh تُبنى على التوالي:

وإذا أصبح أي عنصر في العمود الأول صفرا، فإن مناولة خاصة مطلوبة (المكان الذي يوجد فيه جهاز سطو صغير أو استخدام طريقة البوليلوم الوكيلية) وإذا أصبح الصف بأكمله صفرا، فإن التعددية لها جذور متكافئة، ويستمر استخدام البوليلوم الكمالي.

شروط الاستقرار للنظم الثالثة

For a cubic polynomial , the Routh-Hurwitz conditions simple to:

وكثيرا ما تستخدم هذه القاعدة المباشرة كفحص سريع قبل بناء المجموعة الكاملة.

تطبيق نظام مراقبة رول كوادروت

وبالنسبة لدراسة الحالة المتعلقة بحامض الكهرموز، فإن التعددية السمية للمحور الدائري، بما في ذلك مكاسب متحكمي الدي بي آي وديناميات الروت (التي تم وضعها كسلف من الدرجة الأولى مع بقاء الوقت ثابتاً) قد استُمدت على النحو التالي:

(أ) إذا كانت القيم العددية من النظام المادي هي: ° = 0.05 (مستمر زمن الحرارة)، I-x = 0.01 كغم من الغرامات؛ L 2 = 0.5 نانوم) لكل وحدة من وحدات التحكم، وقد اختيرت المكاسب الأولية من هذه المادة استناداً إلى التعليم التراكمي: K p = 10، K i = 2, K d = 5.

⁇ ]

بناء الرافعة

نبني صفيفة لهذا البوليلوم الرابع

أما قيم العمود الأول فهي: 0.05 و 1.5 و 13.367, 50.84 و 10 - كلها إيجابية، ولا تغيرات في الإشارة، وبالتالي فإن النظام الذي تحقق هذه المكاسب مستقر، ومع ذلك، إذا ما زاد من المكاسب المتكاملة إلى K i = 20، فإن المعاملات المتعددة الأبعاد والصفيفة الرثوية تكشف عن تغير في الإشارة، مما يدل على عدم الاستقرار، وهذا يدل على قوة معيار استكشاف الفضاء الباروميتر.

البارامترات تونينغ باستخدام مضيق رث - هورويتز

فبدلا من محاكاة المحاكمة والجر، يوفر معيار روث - هورويتز أوجه عدم المساواة في الزبد التي يجب أن تُرضى للاستقرار، وبالنسبة للبوليلومات الرابعة التي حصلنا عليها، فإن الشروط اللازمة هي:

وقد استخلصنا من خلال التعبير عن القيدات الأولى التي ترمز إلى الكي بي وكي وكي د ثلاثة معادلة مقيدة، فحل هذه التفاوتات يحدد منطقة مستقرة في مجال الربح، وقد تبين أن المنطقة المستقرة بالنسبة لمربتنا هي:

وقد استرشدت هذه القيود باختيار المكاسب النهائية: K p = 8، K i = 1، K d = 4، التي تقع في منطقة مستقرة، وتوفر هامشاً زمنياً جيداً عند تقييمها عن طريق الاستجابة للتواتر.

نتائج عملية المحاكاة والتحقق

وفي إطار المكاسب غير المباشرة التي تحققت من المحاكاة التي قام بها المربّع في Gazebo]، استُخدمت البيئة للتحقق من هوامش الاستقرار، حيث أسفرت المكاسب غير المتوقعة من الـ (Routh-Hurwitz) عن زيادة في عدد المدخّلات من الدرجات العشرية، حيث بلغت هذه المكاسب 8 ثوانٍ مقارنةً، وتجاوزت 5 في المائة، ولم تحدث أي أخطاء في الدول.

ومن بين الاختبارات الأخرى التي أجريت على مدى القوة، وجود علاوات للريح تصل إلى 5 أمتار وضوضاء استشعار نموذجية لأجهزة قياس متعددة التكاليف، حيث حافظ المراقب على الاستقرار في جميع الحالات، مع بقاء الحد الأقصى لانحراف الزاوية تحت 1.5 درجة، وبالتالي فإن معيار روث - هيرويتز لا يوفر الاستقرار فحسب بل يوفر أيضاً خط أساس للأداء القوي.

اعتبارات التنفيذ العملي

While the Routh-Hurwitz criterion is a powerful analysis tool, it has limitations, it applies only to linear time-invariant systems, so the linearized model must be valid around the operating point. For aggressive maneuvers, nonlinear effects (e.g., actuator saturation, gyroscopic torque) can cause stability degradation. EngineFim plots]

وبالإضافة إلى ذلك، فإن التنفيذ الرقمي يستحدث تأخيرات في العينات وأخطاء في القياس الكمي، ويمكن أن يُصاغ هذا النموذج على شكل فارق في المرحلة الإضافية، مما يقلل من هامش المرحلة الفعالة، ولا يزال بالإمكان تطبيق المعيار بإدراج تأخير المراقبة الرقمية كعمود إضافي في البوليومات السمية، وبالنسبة لمربّينا، فإن إدارة حلقة التحكم في 500 هرتز أبقت التأخير دون مترين، وهو ما لم يغير كثيرا نتائج صفيفة Routh.

خاتمة

ولا يزال معيار روث - هورويتز خطوة أولى لا غنى عنها في تصميم نظام مراقبة الطائرات المسيرة الرباعية، وقد أظهرت هذه الدراسة كيفية استخلاص التعددية السمية لمحور ذي حافة رباعية، وبناء صفيفة روث، واستخراج القيود اللغائية التي تحدد مناطق المكسب المستقرة، وأتاحت هذه الطريقة الرفض السريع لمجموعات البارامترات غير المستقرة دون إجراء محاكاة أو وضع مبادئ توجيهية مأمونة.

For further reading on the Routh-Hurwitz criterion, see the comprehensive Wikipedia article. An excellent reference on quadrotor dynamics is the paper by B. Corke in ]Robotics and Autonomous Systems. ForF control theory, consult