The Routh-Hurwitz stability criterion is a cornerstone of Classal control the() providing a direct algebraic method to determine whether a linear time-invariant system is stable without solving for its poles.() For integer-order systems — the characteristic polynomial has only integer powers of the Laplace change s[FLT: efficient test].

فهم كلاسيكي لـ (روث-هيرويتز)

وقبل استكشاف التمديدات، من الضروري استخلاص الأسلوب التقليدي.

ويضع معيار " روث - هورويتز " جدولا (صفيفة روث) من المعامل، وشرط الاستقرار هو أن يكون لكل عنصر في العمود الأول من الصفوف نفس العلامه (الواقعية عادة) وإذا حدثت أي تغييرات في العلامات، فإن عدد التغييرات في العلامات يساوي عدد أعمدة الطائرات العمودية نصف اليمنى، وجمال الاختبار يكمن في طابعه الغامض البحت: لا يوجد أي تقص.

ويمتد المعيار أيضا إلى النظم التي تتأخر في الوقت (عن طريق تقريب الباد) وإلى نظم التفرق (بإستخدام التحول الثنائي)، ولكن جميع هذه التمديدات تعتمد على الإطار المتعدد الأبعاد، وتكسر نظم الاستدلال هذا الإطار، مما يتطلب منظورا جديدا.

النظم الفطرية: لمحة عامة موجزة

نظام الفرز هو نظام يصف ديناميته معادلة الفرق في الشكل

(أ) لا توجد بالضرورة آليات للتفريق بين ألفا و(أ) و(غاما)()(أ)([FLT)([أ)([أ)([أ)([أ)([أ)([أ)([أ)([(أ)([([)

وقد وجدت أجهزة الحساب الفطرية تطبيقات في السيطرة على الهياكل المرنة، ونمذجة الأنسجة البيولوجية، ووصف التميز بالبطارية، وحتى السلسلة الزمنية المالية، والحاجة إلى التحقق من استقرار هذه النظم حادة، ومع ذلك لا يمكن بناء طاولة الروث - هيرويتز التقليدية لأن المعادلة المميزة ليست تعددية.

لماذا كلاسيكيين من "روث-هيرفيتز" يفشلون في اختبار النظم الخيالية

والعقبة أساسية: معادلة ذات طابع جزئي، مثل المعادلة التي تُستخدم في شكل معادلة ذات طابع خاص.

ولا توجد تعددية في هذا الصدد، إذ إن سلطات s ليست متعددة الأطراف غير متكافئة، وتحتاج مجموعة الريث إلى سلطات متكافئة حتى يمكن القضاء بصورة منهجية، وعلاوة على ذلك، فإن القوى الجزائية تؤدي إلى قطع فروع في الطائرة المعقدة؛ ويصبح مفهوم " عمود نصفي " أكثر حزماً لأن قوة التصدع يمكن أن تتناسب مع ذلك.

ونظراً لأن معيار روث - هورويتز هو أساساً اختبار هجائي لممتلكات هورويتز ذات التعددية، فإنه لا يمكن تطبيقه مباشرة على تعبير غير بوليني، بل يلزم إجراء تعديلات للحفاظ على روح الاستقرار الذي يُحدِد من الاختبارات وذلك بدراسة بعض الظروف الجبرية المتغيرة - بينما يُحسب ذلك للطبيعة المكبوتة.

The Matignon Stability Criterion: A Direct Algebraic replacementment

أما التمديد الأكثر شهرة فهو معيار الاستقرار Matignon stability criterion] (يسمى أيضا نظرية ماتينيون) وهو يوفر شرطا ضروريا وكافيا لفئة كبيرة من نظم الكسر ذات الأوامر المتناسبة، ويقال إن نظاما من أشكال التحكّم بالكسر يُعتبر متفاوتا مع النظام الأساسي.

Matignon criterion:] For a fractional —order system with characteristic equation

حيث تكون ألفا رقماً حقيقياً إيجابياً، فإن النظام مستقر إذا كان وإن كان فقط

⁇ arg(s]i] ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ Á/2]] for every root si of P.]

وبعبارة أخرى، يجب أن تكون جذورها في منطقة من الطائرات المعقدة خارج قطاع من الزاوية ألفا ونصف مرتكزة على محور حقيقي سلبي، وهذا الوضع يقلل من حالة خط نصفي الأيسر الكلاسيكية عندما يكون 1 (منذ ذلك الحين 02/2 = 2) ولكن بالنسبة إلى ألفا؛ 1 منطقة الاستقرار هي حافة.

[FT:]-FT-M-O-T-R-B-FT-B-J-FT-FT-B-FT-I-A-FL-A-FL.

ويؤدي ذلك إلى إجراء عملي:

  1. Identify the base fractional order Á] so that the characteristic equation becomes a polynomial in ]s ]].
  2. Define w = ]]]] and rewrite the characteristic equation as P(w) = 0, a conventional polynom.
  3. Apply the Classal Routh-Hurwitz test to ]P(w) . If any sign changes occur in the first column, the system is unstable under the traditionalal polynomial definition in w
  4. Check the argument condition:] For each root wi]

وكثيرا ما يستخدم معيار ماتينيون كأداة رئيسية لتحليل الاستقرار لنظم الكسر المتناسبة، وبالنسبة للنظم غير المشتركة (حيث لا تكون الأوامر الجزئية متعددة القاعدة المشتركة)، يجب استخدام أساليب بديلة مثل نهج الترددات - الطول أو التحويل الرقمي.

النُهج التحليلية البديلة

The Mittag-Leffler Function and State — Space Representation

ويمكن تمثيل نظم التخصيب في شكل فضائي متعدد المناطق باستخدام مشتقات النظام ألفا من الناحية الشكلية، ويصبح وضع الاستقرار قيدا على قيم النظام، وعلى وجه التحديد بالنسبة لنظام الكسور المتسلسل الذي يصفه نظام الكسر الطفيف الذي يصفه " إيجينك " .

النظام مستقر إذا كان

⁇ arg((A)) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ Á/2]

(أ) إذا كان هذا هو تقييم المصفوفة [(FLT:0]A ]، وهذا هو المفارقة المتعددة الأبعاد المباشرة لمعيار ماتينيون، وبالنسبة للنظم المتناسبة، فإن هذا الشرط يقلل من نفس منطقة الاستقرار التي يتكون منها الرنب، ويمكن للمهندسين أن يقارنوا حججاتهم ويتحققوا من استخدام خطوط الأساس الرقمية القياسية.

التحول إلى نظام مُحدِّد الحرارة عن طريق استبدال قابل للتغير

Another analysis path is to introduce a new change z = s]Á and then apply the Classal Routh-Hurwitz test to the transformed polynomial. However, this approach only checks the “polynomial part” of the stability. A necessary condition is that the polynom

Frequency —Domain Techniques

ويمكن أيضا تقييم الاستقرار بمعايير نيكيست أو بودي التي تكيف مع مهام نقل الكسور، أما وظيفة النقل المفتوح G(s) ] من نظام الفرز المباشر فهي وظيفة غير منطقية، ولكن يمكن تقييم ترددها العددي، ولا يزال معيار استقرار النيكوفت قائما:

الأدوات الرقمية والحسابية

ونظراً لتعقيد نظم المحركات الكسورية، تعتمد الممارسة الهندسية اعتماداً كبيراً على أدوات البرمجيات، كما أن مجموعة أدوات " FLT:0 " FOMCON (Fractional —Order Modeling and Control) الخاصة بشركة MATLAB هي خيار شائع، وهي توفر وظائف لمقارنة عمليات التحقق من الاستقرار باستخدام معيار ماتينيون، لتشييد التقريب الزمني (مثل، مثلاً).

وتشمل الأدوات الأخرى ما يلي:

  • CRONE toolbox] (Commande Robuste d’Ordre Non Entier): developed at the University of Bordeaux, it supports fractional — controller design and stability analysis.
  • Python Library]: fractional (for fractional calculus) and control (for general control system analysis) can be used together to implement the Manontig criterion.
  • Symbolic computation] in Mathematica or Maple can handle algebraic manipulations of fractional powers and root —finding in the complex plane.

وللتحقق السريع، يستخدم العديد من المهندسين الخوارزمية العددية التالية:

  1. Define the characteristic equation as a symbolic expression in s] with fractional powers.
  2. Convert to a polynomial in w = s] Alpha[] if the system is commensurate.
  3. Compute the roots of the polynomial in w] using a numerical solver.
  4. For each root, compute the corresponding s and its argue.
  5. تحقق من ⁇ arg(s) ⁇ > Á/2] لجميع الجذور.

ويمكن تنفيذ هذا الخوارزمي في عدد قليل من خطوط الرموز وهو قوي بالنسبة لأشد النظم تتناسب مع ذلك، وبالنسبة للنظم غير المشتركة، يجب أن يعتمد المرء على أساليب التردد - الطولية أو على تقييم رقمي للشبكة للمعادلة الخاصة في الطائرة المعقدة.

الإجراءات العملية المتعلقة بالتخطيط للمهندسين

ويضاف إلى ذلك تدفق عملي للعمل يجمع بين روح الروث - هورويتز الكلاسيكية مع التعديلات الجزئية اللازمة.

  1. Obtain the characteristic equation] from the system#8217;s transfer function. For a fractional‐order system, this will involve terms like s] with ga non-integer.
  2. Check for commensurability.] Determine if all fractional orders are integer multiples of a common base Á. For example, orders 0.5, 1.5, 2.0 are multiples of 0.5; orders 0.7 and 1.2 are not multiples of a single base (unqual base is 0.1, but that is rarely rational). If the system is proportionm, transformation to the polyno method.
  3. Define the polynomial in w =
  4. Apply the Classal Routh-Hurwitz test to P(w).]] Build the Routh array. If any sign change occurs in the first column, the system is unstable (under the polynomries interpretation next).
  5. verify the argue condition. Compute the roots ]P(w). For each root wi
  6. (ه) بالنسبة للنظم غير القائمة على القياس، استخدام نهج الترددات () في تقييم المعادلة الخاصة على طول حدود منطقة الاستقرار، التي تستخدم نظم الكسر في قطاع، وينطوي نظام الاختراق التقريبي على استقرار مقفل.

ويرى العديد من المهندسين أن الحالة المتناسبة تغطي جزءا كبيرا من التصميمات العملية للجزء من الضبط، ولا سيما المتحكمين في المبيدات الحشرية (حيث تكون الأوامر المشتقة والمتكاملة متعددة من ألفا مشتركة، وغالبا ما تكون 0.5 أو 0.1). وبالتالي فإن الإجراء المذكور أعلاه ينطبق على نطاق واسع.

دراسة حالة توضيحية: مراقب حسابات في إطارية - متطورة

النظر في جهاز مراقبة من أجهزة PID (PI) ألفا D]) مسيطر على محطة أولى، وقد تكون المعادلة العامة للخصائص المغلقة في الهواء الطلق هي معادلة الغلق.

هذا النظام غير قابل للقياس لأن الأوامر الجزئية ٢,٥ و٢,١ و٠,١ ليست متعددة من القاعدة المشتركة ولا يمكننا تطبيق معيار ماتينيون مباشرة، بل نقدر على تقريب المشغلين التراكميين الذين يستخدمون جهازا متعددا من النظام، كما نقول ٥ على مدى التردد ]٠,٠١[ للثدي/المعدلات، مما يؤدي إلى نقل كبير

وعلى النقيض من ذلك، إذا كان المتحكم مصمما بأوامر متناسبة (مثلا، ألفا = 0.5، وبالتالي فإن الأوامر تبلغ 0.5، و1، و1، و1، و1، و1، و1، و1، و1، و1، و2،) يصبح النظام متناسبا مع ذلك، ثم يمكننا استخدام معيار ماتينيون مباشرة، والحصول على شرط ضروري وكافي دقيق (تحويل الفرع المتطور).

القيود والبحوث الجارية

The extension of Routh-Hurwitz analysis to fractional —order systems is not a single formula but a collection of techniques, each with its own domain of applicability. The Matignon is exact only for commensurate systems. For non-commensurate systems, the approximated integerorder changes may introduce errors, especially if the system has lightly damped high-frequency direct modes.

وعلاوة على ذلك، فإن منطقة الاستقرار لنظم القطع التي لها أوامر غير منطقية ليست حطبا بسيطا؛ ويمكن أن تصبح منطقة أكثر تعقيدا في سطح ريمان، ويعتمد المهندسون العمليون عادة على تقييم رقمي لحجم المعادلة المميزة ومرحلة على طول حدود الاستقرار، التي هي مكثفة حسابيا ولكنها تسفر عن نتائج موثوقة بالنسبة لقيم البارامترات المحددة.

خاتمة

إن توسيع نطاق تحليل الـ " روث - هورويتز " ليشمل نظم الكسر يتطلب الانتقال إلى ما يتجاوز الإطار التقليدي المتعدد الأبعاد، ويعيد معيار استقرار ماتينيون للنظم المتناسبة إلى وضع أساسي من حيث التعرّف يمكن التحقق منه بمساعدة مجموعة الـ " روث " التقليدية والتقصي الرقمي للجذور، أما بالنسبة للنظم غير المشمولة، والطرق الهندسية المتردية، والأدوات التقريبية.

For further reading, readers may consult the Wikipedia entry on the Routh-Hurwitz criterion and ] the fractional calculus overview. The original work by Matignon is detailed in ] This paper