التعريف بحساب الحجم العيني في أخذ العينات

ويعد أخذ العينات من حيث الجودة الإحصائية أسلوباً لمراقبة الجودة الإحصائية يستخدم لتحديد ما إذا كانت مجموعة من المنتجات تفي بمعايير الجودة المحددة سلفاً، وبدلاً من تفتيش كل وحدة، يتم وضع وتقييم عينة تمثيلية، ويستند قرار قبول أو رفض القطعة بأكملها إلى عدد الأصناف المعيبة التي توجد في تلك العينة، ويعد حساب حجم العينة الصحيح أمراً حاسماً: فربما لا يمكن أن تُكشف العينة عن مستويات غير مقبولة من حيث الحجم، بينما تُستخدم موارد كبيرة جداً.

خطط أخذ العينات في الاعتبار

An acceptance sampling plan consists of two key parameters: the sample size (n) and the acceptance number (]c) The plan specifies that a random sample of n units is taken from a lot

خطط أخذ العينات ضرورية في الصناعات التي يكون فيها التفتيش بنسبة 100% غير عملي بسبب متطلبات التكلف أو الوقت أو الاختبارات المدمرة، وهي توفر طريقة سليمة من الناحية الإحصائية لفهم نوعية القطعة بأكملها، مع مستويات معلومة من المخاطر، والخطران الرئيسيان هما: رفض الكثير (خطر المنتج، ألفا) وقبول الكثير من المخاطر (خطر المستهلك، بيتا) وحجم العينة ورقم القبول مختاران.

How Acceptance Sampling Works

وتبدأ العملية بتحديد القرعة واختيار خطة أخذ العينات، وتستمد الخطة عادة من معايير مثل نظام التفتيش الوطني/المعيار Z1.4 أو ISO 2859، التي توفر جداول من أحجام العينات وأرقام القبول استنادا إلى حجم القرعة ومستوى الجودة المقبول، ويختار المستخدم مستوى التفتيش (مثلا، العدد العادي، المحكم، والمخفض) ثم يقرأ رقم العينة الرمزية.

المصطلحات الرئيسية والمفاهيم

ولحساب أحجام العينات بدقة، يجب أن يفهم المرء عدة شروط رئيسية وعلاقاتها:

  • Lot Size (N): ] The total number of units in the batch submitted for inspection. Larger lots generally require larger sample sizes, but the relationship is not linear due to statistical considerations.
  • Sample Size (n): ] The number of units drawn from the lot for inspection. This is the primary changing we calculate.
  • Acceptance Number (c):] The maximum allowable number of defective units in the sample for the lot to be accepted. If defects exceed c, the lot is rejected.
  • Rejection Number (r):] In some plans (e.g., double sampling), the rejection number is the threshold that triggers immediate rejection. For single sampling plans, ]r = c + 1.
  • مخاطر المنتج (ألفا) احتمال رفض الكثير الذي يفي فعلاً بمعايير الجودة (أي خطأ من النوع الأول)
  • مخاطر الاستهلاك (بيتا): احتمال قبول الكثير الذي لا يفي بمعايير الجودة (أي خطأ من النوع الثاني)
  • Acceptable Quality Level (AQL): ] The maximum percentage of defective units that is considered acceptable for the lot. AQL represents the process average quality that the producer is willing to supply.
  • Lot Tolerance Percent Defective (LTPD):] The percentage of defective units that the consumer considers unacceptable. It corresponds to a high probability of rejection (e.g., 90% or 95%).

العوامل المؤثرة في الحجم العيني

وهناك عدة عوامل تتفاعل لتحديد حجم العينة المطلوبة لخطة معينة لأخذ العينات في مرحلة القبول، مما يساعد على اختيار خطة ملائمة توازن بين المخاطر والتكاليف.

  • Lot Size (N): ] While lot size does affect the sample size in some standards (e.g., ANSI/ASQ Z1.4 uses lot size ranges to determine the sample size code letter), the statistical effect is minimal for large lots. The hypergeometric distribution accounts for finite lot size, but for large
  • Acceptance Number (c):] A larger acceptance number reduces the sample size required for a given risk, but it also increases the probability of accepting a lot with more defects. The acceptance number is often chosen to meet the AQL and LTPD requirements.
  • مخاطر المنتج والمستهلك: مخاطر ارتفاع (ألوتا) تتطلب حجماً أكبر من العينات، مثلاً، تخفيض ألفا من 5 إلى 1 في المائة مع إبقاء عوامل أخرى ثابتة يمكن أن يضاعف أو يضاعف حجم العينة.
  • Quality Level (p):] The expected proportion of defective items in the lot influences the variability of the sample. For low defect rates, the sample must be large enough to detect at least one defect with acceptable probability.
  • Inspection Level:] Standards define different inspection levels (normal, tightened, reduced) that adjust the sample size and acceptance criteria based on past quality history.

المؤسسات الإحصائية لحساب الحجم العيني

توزيع الهيدروغرافيا

When sampling without replacement from a finite lot, the number of defective units in the sample follows a hypergeometric distribution. The probability of observation exactly x] defectives in a sample of size n from a lot size

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)]

وهذا التوزيع مُضبوط ولكنه مُكثف حسابياً بالنسبة للكبير N . وكثيراً ما تُجرى حسابات الحجم العيني باستخدام التوزيع المفرط للأشعة عبر المقاييس عن طريق جداول قياسية أو برامجيات متخصصة.

تقدير البنوميات

For large lot sizes (typically when n < 0.1]N]), the hypergeometric distribution is well approximated by the binomial distribution assumes sampling with replacement, but it is accurate when the lot size is large relative to the sample.

P(X = x) = C(n, x) * p]x] (1-p)(n-x)

(أ) إذا كان [(FLT:0]p] = D/]N]) هو الكم من عيوب الكسر، وهذا يبسط الحسابات ويستخدم على نطاق واسع في صيغ قياس العينات.

The Poisson Approximation

For very low defect rates (p] < 0.1 and large sample sizes, the binomial distribution can be further approximated by the Poisson distribution. This is useful for calculating sample sizes in situations such as rare-event quality monitoring. The Poisson approximation uses the parameter {F3 defectT:2]

P(X = x) = (e]- {x] / x]]]

أساليب حساب الحجم العيني

استخدام الجداول القياسية: ANSI/ASQ Z1.4 و ISO 2859

ويتمثل النهج الأكثر شيوعا في الصناعة في استخدام المعايير المنشورة التي توفر خططاً لأخذ العينات محفوظة مسبقاً.() أما المعيار الوطني للتصنيف الصناعي/المعيار المحاسبي الدولي Z1.4 (المماثل للمعيار 2859-1) فهو المعيار الرئيسي لأخذ العينات من حيث التوزيع، ويختار المستخدم ما يلي:

  1. مستوى التفتيش: المستويات الأول والثاني والثالث للتفتيش العادي أو المحكم أو المخفض.
  2. Acceptable Quality Level (AQL): ] The maximum percent defective that the producer considers acceptable (e.g., 0.1%, 1.0%, 2.5%).
  3. Lot Size: ] The total number of units in the batch.

ومن مستوى الكم والتفتيش، تحدد رسالة رمزية (ألف إلى R) وتشير هذه الرسالة الرمزية إلى جدول يوفر حجم العينة (n ) ورقم القبول ()(ج) ) بالنسبة للكميات المختارة من الكم (AQ)، مثلاً، بالنسبة لحجم 80 ألف وحدة ومقياس قبول عادي،

نهج قائم على أساس الشكل

وعندما لا تطبق معايير محددة، أو عندما تكون هناك حاجة إلى مستويات المخاطر الجمركية، يمكن استخدام صيغة لتقدير حجم العينات، وتستمد صيغة موحدة لتقدير حجم العينات في عينات العزوات من التقريب العادي إلى التوزيع الثنائي:

n = (Z]ألفا/2]2]* p* (1- p) / E2]]

أين:

  • Z] Alpha/2[]] هي القيمة الحاسمة من التوزيع العادي الموحد لمستوى ثقته ذي شقين (مثل 1.96 للثقة 95 في المائة).
  • p] هي النسبة المتوقعة من العيوب في القرعة (التي كثيرا ما تكون مقدرة من البيانات التاريخية أو يفترض أنها من طراز AQL).
  • E] is the margin of error — the maximum acceptable difference between the sample defect rate and the true lot defect rate.

على سبيل المثال، إذا كنت تتوقع 5٪ عيوب، تريد 95٪ الثقة، والسماح هامش الخطأ بنسبة 2٪،

n = (1.96]2] × 0.05 × 0.95) / (0.02)2 = (3.8416 × 0.0475) / 0.0004 ng. 456.2]

(ج) إن التقريب يعطي n ] = 457.() غير أن هذه الصيغة لا تتضمن بشكل مباشر رقم القبول أو المخاطر Á وBBBBB بنفس الطريقة التي تُنفذ بها المعايير، بل إن من الأنسب تقدير حجم العينة لتقدير نسبة بدلاً من تقدير خطة اتخاذ القرارات.

A more rigorous approach uses the probability distributions to solve for n and ]c concur and for a given two of points on the OC curve (AQL with probability 1-A, and LTPD with probability ßte), one can solve the equations:

P(accept ⁇ p = AQL) > 1 - ألفا
] P(accept ⁇ p = LTPD) {[Fette

وفيما يتعلق بالتوزيع الثنائي، فإن احتمال القبول لخطة عينات واحدة بحجم العينات n ورقم القبول ](ج) هو:

P(accept ⁇ p) = / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / //////////////////// ////// / //// / ///// / / / / / / /

(ج) n و(ج) التي تلبي كلا اللامساواة تتطلب في كثير من الأحيان أساليب رقمية متكررة أو جداول للبحث.() وتستند معايير مثل ANSI/ASQ Z1.4 إلى هذه الحسابات.

المناورات التشغيلية

(أ) يُمكن أن يُقبل القرعة كوظيفة من معدل العيوب الحقيقي (ب)

أدوات البرمجيات لحساب الحجم العيني

وتستغرق الحسابات الدليلية وقتا طويلا، لا سيما بالنسبة لخطط أخذ العينات المزدوجة أو المتعددة، وهناك عدة مجموعات من البرامجيات والحاسبات الإلكترونية توفر تحديد حجم العينات لأخذ العينات:

  • R statistical software:] Packages like ] allow users to design and evaluate sampling plans, compute OC curves, and find opt ]n and c]].
  • Minitab:] Includes a dedicated Acceptance Sampling module for attribute and changing plans.
  • Online calculators:] websites such as the ]NIST Engineering Statistics Handbook]] provide interactive tools for generating sampling plans and OC curves.
  • Spreadsheet templates:] Excel can be used with built-in functions like ] to evaluate binomial probabilities and perform iterative search for ]n and c

هذه الأدوات تقلل من مخاطر الأخطاء اليدوية وتسمح بتحليل الحساسية لفهم كيف تؤثر التغييرات في n ] أو ](ج) ] على أداء الخطة.

نموذج عملي: تصميم خطة عينات واحدة

(ج) أن يُفترض أن يكون المصنع يتلقى الكثير من 000 2 وحدة ويرغب في استخدام خطة لأخذ عينات القبول تبلغ 1 في المائة من الـمكافئات المكافئة للأسعار المميتة و5 في المائة من الـمنتج يقبل مخاطرة قدرها 5 في المائة من الف و5 في المائة من مخاطر الاستهلاك بنسبة 10 في المائة.

Step 1:] Use a standard table. For lot size 2,000 and normal inspection level II, the code letter is K. From ANSI/ASQ Z1.4, for AQL = 1.0%, code letter K gives ]n = 125 and c[FLT.

Step 2:] Evaluate the OC curve at the AQL and LTPD. Using the binomial distribution with n=125, c

في الساعة 10:5 (البرنامج): P(accept) = إجمالي x=0]

Step 3:] If using the formula approach, set up the two inequalities and solve numerically. Using software, a plan with ]n]=145, ]c]]=4 gives Á=0.048 and ß=0.099, meeting targets.

خطط أخذ العينات المزدوجة والمتعددة

[FL] Double sampling plans reduce the average sample by allowing a second sample if the first result is inconclusive. The plan specifies a first sample size n[FL:[18]

وتمتد خطط أخذ العينات المتعددة إلى عدة مراحل، مما يزيد من تخفيض متوسط حجم العينات، كما أن معايير مثل نظام المعلومات الوطني/المعيار Z1.4 توفر أيضا خططا مزدوجة ومتعددة لأخذ العينات، وتشمل حساب الحجم لهذه الخطط حوسبة أكثر تعقيدا للاحتمال، ولكن المبادئ الإحصائية نفسها تنطبق، كما أن منحنى العينة ومتوسط رقم العينة هما أداتان رئيسيان لتقييم هذه الخطط.

اختيار خطة أخذ العينات الصحيحة

ويعتمد الاختيار بين خطط عينات واحدة أو مزدوجة أو متعددة على عدة عوامل: البساطة الإدارية، ومتوسط حجم العينات، وتكلفة الاختبار لكل وحدة، ومدى توافر الاختبارات السريعة، وخطط أخذ العينات الوحيدة أسهل لإدارة العينات وتحديدها في حجم العينات، والخطط المزدوجة أكثر كفاءة من حيث متوسط حجم العينات، ولكنها تتطلب مزيدا من اللوجستيات المعقدة والتأخيرات المحتملة إذا ما دعت الحاجة إلى عينة ثانية.

عند حساب أحجام العينات، ينظر دائما في أفضل الممارسات التالية:

  • (ج) استخدام المعايير كلما أمكن لضمان الاتساق مع الممارسات الصناعية والمتطلبات التنظيمية.
  • نقيم منحنى الخطة للتأكد من أنها تلبي مخاطر المنتج والمستهلك
  • بالنسبة لحجم الكم الصغير، استخدم التوزيع الفائق المقياسي بدلا من التقريب لتجنب الأخطاء.
  • توثيق الافتراضات (مثلا، AQL، LTPD، مستوى التفتيش) المستخدمة في حساب حجم العينة.
  • إجراء استعراضات دورية للجودة لتعديل خطط أخذ العينات استنادا إلى الأداء الفعلي للعمليات.

خاتمة

فحساب حجم العينة الصحيحة لخطط أخذ العينات هو مهمة أساسية في ضمان الجودة، وبفهم العوامل الرئيسية - حجم القرعة، ورقم القبول، ومخاطر المنتج والمستهلك، ومستويات الجودة - وتطبيق أساليب إحصائية مثل التوزيع الثنائي أو المقياس الفائق، يمكن للمهنيين ذوي الجودة تصميم خطط موثوقة لاتخاذ القرارات مع مراقبة تكاليف التفتيش، وسواء كان استخدام جداول قياسية مثل تكاليف تحديد حجم الاستهلاك/المقياس الصفري/المقياس المرجعي/المقياس المرجعي/المقياس المرجعي

For further reading, refer to the ASQ Acceptance Sampling Guide], the ISO 2859-1:1999 standard], and the NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods for tables and detailed examples.