كيفية تحديد الرقم نِصف الكوكب الصحيح مع رونث - هورويتز

أمثلة مُجدَّدة

المثال 1: نظام المستقر

النظر في تعددية الشخصيات:

P(s) = s^]4] + 3s³ + 5s^2[ + 4s + 2]

بناء صفيفة الرث:

• Row 1 (s⁴]): 1, 5, 2
• Row 2 (s³): 3, 4, 0 (since there are only coefficients for s^]3 and s¹, pad with 0)
• Row 3 (s²): Compute using first two rows: first element = —(1x4 – 3x5)/3 = —(4 – 15)/3 = 11/3 ° 3.6667; second element = - (1x0 – 32)/3 = — —(0 – 6/3 = 2; so row 3: [11/3, 2]
• Row 4 (s¹): Use rows 2 and 3: first element = —(3 x2 – (11/3) x4)/(11/3) = - (6 - 44/3)/(11/3) = (18-44)/3)/(11/3) = - (11/3) /(11/3) = 26/11 /11/3 - العنصر الثاني:
• Row 5 (s⁰): باستخدام الصفين 3 و4: العنصر الأول = - (11/3) x0 - (26/11) x2) / (26/11) = - (52/11) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2؛ الصف 5: [2]

العمود الأول: 1 (مؤقت)، 3 (مؤقت)، 11/3 (مؤقت)، 26/11 (مؤقت)، 2 (مؤقت)، لا تغيرات في الإشارة إلى صفر من نظام " RHP poles ⁇ " مستقر.

مثال 2: نظام غير مستقر مع اثنين من الشرطة

Consider: P(s) = s^]3 + 2s² + 3s + 4]

صفيفة:

• 1 ، 3
• 2 2 4
• الهدف 3: من الصفين 1 و 2: العنصر الأول = - (1x4 - 2 x3)/2 = - (4 - 6)/2 = - ( - 2)/2 = 1؛ العنصر الثاني: - (1x0 - 2 x0)/2 = صفر؛ الصف 3: [1، صفر]
• Row 4: from rows 2 and 3: first element = —(2 x0 – 1 x4)/1 = —( –4) = 4; row 4: [4]

"الصف الثاني"

سأقدم هذا كمثال

مثال 3: قضية خاصة مع صفر

Consider: P(s) = s^]4] + 2s³ + 3s^]2 + 6s + 2

صفيفة:

• الهدف 1: [1، 3، 2]
• Row2: [2, 6, 0]
• Row3: [ (2*3 - 1*6)/2 = (6-6)/2=0، (2*2 - 1*0)/2 = 4/2=2، صفر] ⁇ row3 = [0، 2]
• بما أن العنصر الأول هو صفر، يستعاض عن الرقم القياسي لليد، ويستمر: الصف ٣ = ]الأول، ٢[
• Row4: من الصف الثاني والصف الثالث: العنصر الأول = - )٢* - / / / / /// ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
• Row5: from row3 and row4: first element = — (e*0 — (-4/e)*2)/(-4/e) = —(0 + 8/e)/( –4/e) = -(8/e) * ( – —e/4) = 2. So row5 = [2].
• العمود الأول: 1 (مؤقت)، 2 (مؤقت)، م م م م م (صغير)، 4/متر (كبير)، 2 (مؤقت)، تغيرات في الإشارة: ضباب للزئبق (تغيير)، نغم إلى أحواض (تغيير) ⁇ تغييران: 2 أعمدة من طراز RHP.

هذا يبين التعامل مع صفر في العمود الأول

المقتطف 4: خلاص صفر

Consider: P(s) = s^]4] + 2s³ + s^]2 + 2s + 1

صفيفة:

• الهدف 1: [1، 1]
• Row2: [2, 0]
• Row3: [ (2*1 - 1*2)/2 = (2-2)/2 =0، (2*1 - 1*0)/2 = 1، صفر] = [0، 1]
• [F4] use auxiliary polynomial from row3? actually, we have zero first element, not entire row. let's use a different polynomial: P(s] = s[FLT:]4[FLT:] +
• الهدف 1: [1، 3، 1]
• Row2: [2, 0]
• Row3: [ (2*3 - 1*2)/2 = (6-2)/2=2، (2*1 - 1*0)/2 = 2/2 = 1، صفر] = [2، 1]
• Row4: [ (2*2 - 2*1)/2؟ صيغة الانتظار: من الصفين 2 و3: النمل الأول = - (2* - 2*2)/2 = - (2)/2 = - (2)/2 = 1؛ ثانيا: - (2*0 - 2*0)/2=0 ⁇ [1]
• Row5: from rows 3 and 4: [ (1*1 – 2*0)/1 = 1] ⁇ [1]
• No zero row. That's stable. Let's use a polynomial with symmetric roots: P(s) = s⁴ + s³ + 2s² + s + 1 might have a row of zeros? I'd rather use the classic example: P(s) = s⁵ + 2s⁴ + 24s³ + 48s² + 25s + 50 yields a zero row. But that's messy. I'll create a simple one: From known case, the polynomial s⁴ + s³ + s² + s + 1 has roots on unit circle? Actually not. Let's stick with the general explanation for the special case rather than a full worked example due to space. But I can reference the auxiliary polynomial method. I'll include a short illustrative example using P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4? Might produce zero row. Simpler: Provide the standard mention: "For example, consider the polynomial s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4 which leads to an all-zero row in the Routh array. The auxiliary polynomial from the row above yields a new row, and after substitution, the first column shows no sign changes, indicating the presence of purely imaginary poles and no RHP poles." I'll keep it conceptual. Due to length constraints, I will include at least two worked examples (stable and unstable with sign changes) and briefly describe special cases with reference to external resources. External links (choose authoritative sources): - Wikipedia: Routh-Hurwitz stability criterion - MathWorks documentation on routh function - Control Tutorials from University of Michigan (CTMS) - A reputable textbook reference (maybe link to MIT OpenCourseWare) I'll include 3 links. Now construct the final HTML article. Ensure it's clean, no markdown, no Gutenberg comments. Target word count: 2200-2500. I will write expansive paragraphs, detailed explanation, and examples. Ensure not to exceed 2500 words. Let me write the article body.

  معيار (روث-هيرويتز) هو أحد أهم الأدوات في التحكم في الهندسة لتحليل استقرار نظم التبديل الزمني للخط، بدلاً من حساب جذور نظام البوليهوميات بشكل صريح، الذي يمكن أن يكون مكثفاً من الناحية الحسابية لنظم الارتفاع، فإن معيار (روث-هورويتز) يوفر اختباراً استقراراً حقيقياً

  مؤسسة رونث - هورويتز

  ويستند معيار روث - هورويتز إلى مضامين تعددية التعددية السمية، وهي تعددية في قاسم وظيفة النقل المغلق (أو وظيفة النقل المفتوح العضوية للاستقرار الداخلي) والشكل العام للمعادلة السمية هو:

  P(s) = _n]sⁿ + a_n-1s^n-1

  فالشرط الضروري للاستقرار هو أن تكون جميع المعامِلات موجودة (لا توجد فيها قوى مفقودة) وأن تكون جميعها علامة واحدة (أي إيجابية عادة) غير أن هذا الشرط غير كاف، إذ يوفر معيار روث - هورويتز الظروف اللازمة والكافية للاستقرار: فهو يحدد عدد الجذور التي ترتكز عليها التعددية أجزاء حقيقية إيجابية، صفر أجزاء حقيقية (على محور الواقع المتخيل)

  ويطبق المعيار ببناء مجموعة محددة من المعاملات المسماة " صفيفة روث " ، وتملأ الصفان الأولان من الصفوف من معامل التعددية، ولا تحسب الصفوف اللاحقة باستخدام صيغة محددة منهجية، وعندما تكتمل الصفوف، فإن عدد التغييرات في العلامات في العمود الأول من الصفوف يساوي مباشرة عدد الجذور التي تنجم عن الإلغاءات المتعددة الأبعاد بأجزاء حقيقية إيجابية.

  بناء الرافعة الرث: إجراءات التأديب

  دع التعددية الشخصية تكون:

  P(s) = _n]sⁿ + a_n-1s^n-1

  (أ) a_n ⁇ 0. The Routh array consists of n+1]]) rows (indexed from row 1 to row n+1[FLT from twoefficient].

  • Row 1 (sⁿ row: Contains coefficients of even powers of s starting from the highest power:a
  • Row 2 (s^n-1 row): Contains coefficients of temp powers: a_n-1

  وإذا كان للتعددية درجة غريبة [(FLT:0]n]، فإن الصف الأول سيتضمن المعامل الرئيسي والمعاملات المتساوية التالية؛ وسيتضمن الصف الثاني المعامل الثاني والتناوب؛ أما بالنسبة للبوليومات المكافئة، فإن الصف الأول يبدأ بالمعامل الرئيسي، والصف الثاني المصنف بالصف الثاني المصنف بالصفوفين النهائيين.

  حساب النوافذ اللاحقة

  Rows 3 through n+1] are computed using the following pattern. For row ]i] (starting from ]i=3), let the elements of the two previous rows be:

  i-2:[FLT:]([FL:])

  ثم تعطى عناصر الصف i من خلال:

  d_j = [FLT:] [1:

  (أ) j] = 1، 2، ... حتى نهاية الصف. ملاحظة أن ](ج) ₎₍₁₎ ] هو العنصر الأول من الصف السابق؛ ويجب أن يكون غير مكرر (إذا أصبح العمود صفراً، فإن المنهج المركب هو المطلوب).

  The process continues until row n+1] (the ]s⁰ row) is reached.

  ترجمة:

  وبعد أن يتم بناء صفيفة روث بالكامل، يفحص العمود الأول من الصفوف (العمود الأيسر لكل صف)، ويحسب عدد التغييرات في التوقيعات عند انتقالك إلى العمود، وفي كل مرة تنقلب الإشارة بين صفين متتاليين (مثلا من الصف الإيجابي إلى السلبي أو السلبي إلى الإيجابي)، يعتبر تغييرا في الإشارة.

  The total number of sign changes in the first column equals the number of poles in the right half-plane (RHP). If there are zero sign changes, all poles lie in the left half-plane (LHP) and the system is stable. If the po is ]

  ومن المهم ملاحظة أن معيار روث - هورويتز لا يُبيّن إلا عدد من أعمدة RHP، وليس قيمها المحددة، وبالنسبة لتحديد مواقع الأعمدة تحديداً، ستحتاجون إلى حل المعادلة الخاصة أو استخدام أساليب الجراد.

  حالات خاصة في تشييد روث آري

  وعند بناء صفيفة " روث " ، يمكن أن تنشأ حالتان خاصتان تتطلبان معالجة دقيقة:

  القضية 1: صفر في الكولونيل الأول

  وإذا كان العنصر الأول المحسوب في الصف صفراً، ولكن بقية الصف ليس صفراً تماماً، فإن الصفر يحول دون حساب الصف التالي لأن الصيغة المحددة تنطوي على تقسيم صفري.() وثمة تقنية مشتركة تتمثل في الاستعاضة عن الرقم الصفري برقم إيجابي صغير [() من الفئة " 1 " () (إسطوانة)، ثم مواصلة الحساب بعد استكمال الصف الثالث من فئة المقياس المرجعي العالمي.

  القضية 2: رون كامل من صفر

  The complete row in the array becomes zero (all elements are zero), this indicates that the characteristic polynomial has symmetric roots about the origin - typically a couple of purely imaginary poles () or a couple of real poles with equal magnitude contrary. When this happen, you must construct an auxilim

  أمثلة مُجدَّدة

  المثال 1: نظام المستقر

  النظر في تعددية الشخصيات:

  P(s) = s^]4] + 3s³ + 5s^2[ + 4s + 2]

  بناء صفيفة الرث:

  • Row 1 (s⁴]): 1, 5, 2
  • Row 2 (s³]): 3, 4, 0
  • Row 3 (s²): Compute using first two rows: first element = —(1x4 – 3x5)/3 = —(4 – 15)/3 = 11/3 ° 3.6667; second element = - (1x0 – 32)/3 = — —(0 – 6/3 = 2; so row 3: [11/3, 2]
  • Row 4 (s¹): Use rows 2 and 3: first element = —(3 x2 – (11/3) x4)/(11/3) = - (6 - 44/3)/(11/3) = (18-44)/3)/(11/3) = - (11/3) /(11/3) = 26/11 /11/3 - العنصر الثاني:
  • Row 5 (s⁰): باستخدام الصفين 3 و4: العنصر الأول = - (11/3) x0 - (26/11) x2) / (26/11) = - (52/11) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2؛ الصف 5: [2]

  العمود الأول: 1 (مؤقت)، 3 (مؤقت)، 11/3 (مؤقت)، 26/11 (مؤقت)، 2 (مؤقت)، لا تغيرات في الإشارة إلى صفر من نظام " RHP poles ⁇ " مستقر.

  مثال 2: نظام غير مستقر مع اثنين من الشرطة

  النظر في تعددية الشخصيات:

  P(s) = s^]3 + s² + 2s + 8]]

  صفيفة:

  • 1 ، 2
  • 1 ، 8
  • الرهن 3: العنصر الأول = - (18 - 1 x2)/1 = - (8 - 2)/1 = - 6؛ العنصر الثاني = - (1x0 - 1 x0)/1 = الصف 3: [-6، صفر]
  • Row 4: from rows 2 and 3: first element = —(1x0 – (-6) x8)/(-6) = —(0 + 48)/(-6) = –48/(-6) = 8 ⁇ row 4: [8]

  العمود الأول: ١ )مقترح(، ١ )مقترح(، ٦ )نيغا(، ٨ )مقترح(، تغييرات في التوقيع: من إيجابي إلى سلبي )تغيير واحد( ومن سلبي إلى إيجابي )تغيير واحد( ⁇ تغيران في مجموع الإشارة )ثانيهما( إلى أعمدة من طراز RHP. التحقق: جذور هذا التعددية هي - ٢، ٠,٥ ٠,١-٩٦٥ ١، التي تؤكد وجود قطبين لهما أجزاء حقيقية إيجابية.

  الإمتحان 3: معالجة صفر في الرتل الأول

  Consider: P(s) = s^]4] + 2s³ + 3s^]2 + 6s + 2

  يبدأ حساب الصفوف الخام:

  • 1، 3، 2
  • 2، 6، 0
  • Row 3: first element = (23 – 16)/2 = (6 – 6)/2 = صفر؛ العنصر الثاني = (2x2 - 1 x0)/2 = 4/2 = 2 ⁇ row 3: [0, 2]

  بما أن العنصر الأول هو صفر، يستعاض عنه بـ حرف إي إي إي إي إي إي إي إي إي إي إي إم.

  • Row 3 (with LY): [e, 2]
  • Row 4: from rows 2 and 3: first element = —(2 x2 - NI x6)/e = —(4 - 6e)/e = —4/e + 6. As ⁇ 0+, this tends to - ⁇ (negative). Second element = ⁇ row 4 но [-4/e, 0]
  • Row 5: from rows 3 and 4: first element = — (e- x0 — (-4/e) x2)/(-4/e) = —(8/e)/(-4/e) = 2 ⁇ row 5: [2]

  العمود الأول: 1 (مؤقت)، 2 (مؤقت)، م م م م م م (ضئيل)، 4/متر (كبير)، 2 (مؤقت)، تغيرات في التوقيع: إيجابي (1)، سلبي: (1) مجموع 2 تغيرات في الإشارة ⁇ 2 أعمدة من طراز RHP.

  الاعتبارات والقيود العملية

  ويستخدم معيار " روث - هورويتز " أساساً في النظم المستمرة التي تصفها البوليلومات ذات المعامل الحقيقية، ولا يمكن أن يعالج مباشرة حالات التأخير في الوقت أو عدم اللينة أو نظم البارامترات الموزعة ما لم يتم تقييمها بواسطة البوليلومات المنطقية، كما أن المعيار لا يوفر سوى معلومات عن عدد أعمدة الرش والتصميمات الثابتة، ولا يعطي مواقع القطبية المحددة، أو النسب المستقرة، أو الطبيعية.

  العلاقة باختبارات الاستقرار الأخرى

  (ب) معيار " Routh-Hurwitz " (Routh-Hurwitz) متصل اتصالاً وثيقاً بمحددات " Hurwitz " (Hurwitz) و " أساليب " (LouFT) في الواقع، يمكن تفسير عدد التغييرات في العلامات في الصفوف الأولى من صفائف " Routh-AB) على أنها تشكل مجموعة من الأدوات الأكثر تعقيداً.

  خاتمة

  (أ) معيار [العملية التقريبية] هو معيار فعال ومنهجي لتحديد عدد الأعمدة في نصف الخطة الصحيحة دون حل معادلة الحرفية (Mouth-Hur) (الصفوف الصناعية) وحساب التغييرات في عمودها الأول، يمكن للمهندسين أن يقيّموا بسرعة ما إذا كان نظام التعليم والتدريب المستمر مستقراً، وإذا لم يكن كذلك، كم عدد الأعمدة غير المستقرة الموجودة حالياً.