مقدمة إلى حركة الجسم الريغي في ثلاثة أبعاد

(أ) أن دراسة [الحركة الجامدة] بثلاثة أبعاد هي حجر الزاوية في الميكانيكيين التقليديين والرياضيات التطبيقية، وهي هيئة صلبة تمثل نموذجاً للجسم الصلب الذي لا يُحدّد في القوات التطبيقية؛ والمسافة بين أي نقطة على الجسم لا تزال مستمرة بمرور الوقت؛ ويتيح هذا التبسيط للمهندسين والفيزيائيين وصف حركة الأجسام من الأسلحة الآلية إلى أشكال الترجمة النهائية للأشعة.

The Configuration Space of a Rigid Body

(ب) [الهيئة]] [الهيئة]]]: تحديد تشكيلها أولاً: التحديد الكامل للأماكن التي توجد فيها كل نقطة في الجسم في الفضاء، ويمكن إزالة هذه التشكيلة من عنصرين مستقلين: ترجمة مركز الفصل بين الجسم والتناوب حول ذلك المركز.

حركة الترجمة التحريرية

[FLT] ترجمة: [FLT]

الحركة التناوبية

(أ) تغيير مسار الجسم الصلب دون نقل مركزه من الكتلة. ويمكن وصف التناوب بمصفوفة التناوب [(FLT:0]]R

  • Euler angles] (مثلاً، التدحرج - العين) تمثل ثلاث عمليات تناوب متتالية بشأن تنسيق محورات، وهي غير ملائمة ولكنها تعاني من فقدان قفل غيمبال - وهو فقدان درجة واحدة من الحرية عندما يتواءم محوران.
  • Quaternions] use four numbers (one real, three imaginary) to represent rotations. They are singularity-free and computationally efficient, making them the preferred choice in manyroidic and aerospace applications.
  • Axis-angle] represents a rotation by a unit vector ]k (المحور) and an angle ] [FLSO:5] (الحجم). It maps naturally to the exponential map from the Lie alge]

ويتوقف الاختيار على التطبيق المحدد: فكثيراً ما تستخدم الزوايا الخفيفة في ديناميات الطائرات لأغراض التفسير البشري، بينما تهيمن النماذج على مراقبة المواقع بواسطة السواتل وفي الرسوم البيانية الحاسوبية بسبب خصائصها المترابطة السلسة، وللاطلاع على أعمق في الإجراءات التناوبية، انظر مصفوفات التناوب [FLT:T]:

التمثيل المواضيعي للحركة

The complete motion of a rigid body combines translation and rotation. The position of any point p] on the body at time t can be expressed as:

r(t) = R(t) ; r]0 + d(t)]

r0 هو الوضع الأولي للنقطة في إطار الجسم، R(t)] SO(3)

وهذه المعادلة هي خطية في التناوب والترجمة، ولكن عندما يختلف كل منهما بمرور الوقت، يكون الاقتراح العام غير خطي نظراً للمنتج R(t) ; r]0.] ولتبسيط التمثيل، كثيراً ما نستخدم الإحداثيات المتجانسة، مما يجسد ترجمة واحدة وتناوبها 4

T = [R ]d]؛ 0 1]

In homogeneous coordinates, a point is represented as a 4D vector [x y z 1]]T.() ثمّ التحول p'= T] p ينطبق على عنصر التناوب والترجمة في آن واحد

خامات فيلوتشيتي من الجثث

[FT-shaocities-both linear and angular-forms the core of rigid body kinematics. The translational velt

dR/dt = [♪

Where [[~ [FLT:] x is the skew-symmetric spec of :

[[[1]]x = [0 - z y] ]z 0 -

(أ) [تبين هذه المعادلة أن مشتق مصفوفة التناوب تناسبية مع مصفوفة التناوب نفسها، التي تُقَدَّم بواسطة السرعة المُعدية، وتُعدُّ مصفوفة الأشعة المُخَلِّقة إلى أُفقِر [(FL:0]) [مُستمدة من] ، وهي:

vp=cm + × (R) r]0)]

(أ) إذا كان المصطلح () × (R) r)0 ]) يعطي سرعة التدفئة بسبب التناوب، وهذه العلاقة أساسية لوضع مصفوفات يعقوبية في المناشير الآلية، ولتحفيز النظم ذات الصلة.

الديناميكية للجثة الرغيدة

وبمجرد وضع توصيفات خلوية، ننتقل إلى الديناميات - العلاقة بين القوى، والتوركات، والحركة الناتجة عن ذلك، وينظم القانون الثاني لترجمة الجسد الجديد ومعادلات التناوب الخاصة به.

ديناميات الترجمة التحريرية

For translation, the net force F acting on the body equals the product of its mass m and the acceleration of its center of mass:

F = m · a]cm acm]

وهذه المعادلة الخطية لها دورانها، شريطة أن تكون الجثة صلبة، فالكتلة m هي ثابتة، مما يجعل ديناميات الترجمة بسيطة نسبيا.

الديناميات التناوبية

In[FTal dynamics are more complex. The net torque ] about the center of mass is related to the angular acceleration and the angular velocity through the inertia tensor ]I - a 3xmmetric specdes how

x = Ix ; dx/dt + (Iz

]y = I] ; d]y/dt + (I]x

]z = Iz ; dz/dt + (I]

وهذه المعادلات غير خطية بسبب الشروط الشاملة التي تنطوي على منتجات من السُرعة العتيقة، وهي تفسر ظواهر مثل الهيمنة الخالية من العروقات على رأس عمودي وارتطام زهريكوف (نظرية التنس) وكثيرا ما تنطوي على مضاعفات من الحجم، وللاطلاع على التفاصيل المتعلقة بالديناميات، انظر [FLT]

Lie Group and Lie Algebra Perspective

A deep mathematical understanding of rigid body motion comes from theory of Lie groups and Lie algebras. Both SO(3) and ]SE(3)]] are Lie groups-smootht manifolds with group structure that allows composition and inversion of motions.

  • The Lie algebra so(3)] consists of all 3 x3 skew-symmetric matrices. The exponential map exponential map exp: so(3)] ⁇ SO(3) rotations a skew-symetric map.
  • The Lie algebra se(3)] consists of 4 x4 matrices with a skew-symmetric top-left 3 x3 block and a 3D translation vector. The exponential map sends these to homogeneous transformation matrices in SE(3).

يمكن أن تمثل سرعة الجسم الصلب، باستخدام لي الجبر، كعنصر من عناصر [الحركة الفرنسية] (3) ] - [الحركة المالية:] - تطور يتألف من السرقات الساطحة والخطوط الخلوية - وهذا التمثيل حاسم بالنسبة لنظرية الرقابة الحديثة، والآليات (مثلاً، المادة 3) للسرعة المكانية، والميكانيكيات الأرضية المتماثلة مع الصيغ الجازمة.

التطبيقات في الفضاء الآلي والفضاء الجوي

وللأسس الرياضية للحركة الجسمية الصلبة تطبيقات مباشرة في عدة مجالات هندسية:

المناولة الآلية

In Robics, the forward kinematics of a chain manipulator describes the position and orientation of the end-effector as a function of joint angles. Each joint introduces a relative rigid motion-ther a rotation (revolute joint) or a translation (prismatic joint) — which is represented by a homogeneous transformationmelogeneous transformationmelities is the overall transformation is the product of individual joint transformations.

مراقبة المركبات الفضائية

وتعتمد نظم مراقبة الارتفاع بالنسبة للسواتل والمركبات الفضائية على نظرية التناوب، وتطبق عجلات الرد والزجاجات المغناطيسية على المراكب لتغيير الزخم المتكرر للمركبات الفضائية، وتتبع الديناميات المعادلة التي يُستخدم فيها كلير، وكثيرا ما يُمثل التوجه باستخدام نماذج لتجنب التفرد، ويجب أن تُراعى في قوانين الرقابة الطرائق غير المتدرجة للثباتات التناوبية (الحديات)

المركبات

أما المركبات البرية والطائرات والمركبات تحت الماء فهي جميعها مصممة على شكل أجسام صلبة (أو نظم من الهيئات المتشددة المرتبطة بها) وتشمل معادلة الحركة ديناميات الترجمة والتناوب، مقرونة بقوى مثل احتكاك الإطارات أو رفع الهوائيات، ويستخدم تحليل القابلية للاستمرارية المستأجرة في العوارض، وترتيبها على دول الترميز، ومفهوم سرعة التيار في البطيارات.

خاتمة

إنَّ المُدخلات الرياضية للحركة الجامدة في ثلاثة أبعاد هي في آنٍ من الوهج والعملي، إذ تُجمع بين الترجمة والتناوب من خلال الإطار الموحد لـ SE(3)، و " النجمة المركبة " ، والمهندسين والعلماء يمكن أن يُضفيوا نماذج على النظم المعقدة بدرجة عالية من الدقة.