Analyse der Stabilität anhand des Routh-Hurwitz-Kriteriums mit praktischen Beispielen

Das Routh-Hurwitz-Kriterium ist eine mathematische Methode zur Bestimmung der Stabilität eines linearen zeitinvarianten Systems, bei der die charakteristische Gleichung des Systems analysiert wird, um zu beurteilen, ob alle Wurzeln negative reelle Teile haben. Dieser Artikel bietet einen Überblick über die Methode und praktische Beispiele zur Veranschaulichung ihrer Anwendung.

Das Routh-Hurwitz-Kriterium verstehen

Das Routh-Hurwitz-Kriterium verwendet die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms, um ein Routh-Array zu konstruieren. Die Stabilität des Systems hängt von den Vorzeichen der ersten Spalte dieses Arrays ab. Sind alle Elemente in der ersten Spalte positiv, ist das System stabil. Jede Vorzeichenänderung zeigt das Vorhandensein von Wurzeln mit positiven Realteilen an, was zu Instabilität führt.

Bau des Routh Array

Um das Routh-Array zu erstellen, folgen Sie diesen Schritten:

• Schreibe die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms in die ersten beiden Zeilen.
• Die verbleibenden Zeilen werden mit Determinanten auf der Grundlage der obigen Zeilen berechnet.
• Analysieren Sie die erste Spalte auf Vorzeichenänderungen.

Praktisches Beispiel

Betrachten Sie die charakteristische Gleichung: s^3 + 2s^2 + 3s + 4 = 0.

Erste Reihe: 1, 3

Zweite Reihe: 2, 4

Die verbleibenden Zeilen werden wie folgt berechnet:

Zeile 3: (2*3 - 1*4)/2 = (6 - 4)/2 = 1

Zeile 4: 4 (Kopie des letzten Koeffizienten)

Die erste Spalte lautet: 1, 2, 1, 4. Da alle positiv sind, ist das System stabil.