Zu verstehen, wie sich Partikel in einer Flüssigkeit absetzen, ist von grundlegender Bedeutung für Bereiche, die von Geologie und Umweltwissenschaften bis hin zu Chemietechnik und Pharmazie reichen. Die Sedimentationsgeschwindigkeit – die Endgeschwindigkeit, mit der ein Partikel unter Schwerkraft durch eine Flüssigkeit oder ein Gas absinkt – bestimmt die Effizienz von Kläranlagen, den Transport von Sedimenten in Flüssen, die Bildung von Sedimentgesteinen und die Trennung von Zellen bei der Bioverarbeitung. Eine genaue Vorhersage dieser Geschwindigkeit erfordert die Berücksichtigung von Partikelgröße, Dichte, Form, Flüssigkeitsviskosität und das Strömungsregime. Dieser Artikel bietet einen umfassenden Leitfaden zur Berechnung der Sedimentationsgeschwindigkeit für verschiedene Partikeltypen, von idealen Kugeln bis zu unregelmäßigen Aggregaten, und untersucht die regierenden Gleichungen, Korrekturen und praktischen Messtechniken.

Die Physik der Sedimentation: Schlüsselparameter

Sedimentation tritt auf, wenn die auf ein Teilchen wirkende Gravitationskraft die Auftriebskraft übersteigt und der viskose Widerstand gegen seine Bewegung ist. Bei Endgeschwindigkeit entspricht die Netto-Schwerkraft der Widerstandskraft. Die Hauptparameter, die dieses Gleichgewicht beeinflussen, sind:

  • Partikeldichte (ρp) und fluiddichte (ρf) — die Dichtedifferenz Δρ = ρp − ρf stellt die treibende Kraft dar.
  • Partikelgröße — normalerweise ausgedrückt als äquivalenter Durchmesser; für natürliche Sedimente wird üblicherweise der Siebdurchmesser oder Stokesdurchmesser verwendet.
  • Fluidviskosität (η) — der Strömungswiderstand, der von Temperatur und flüssiger Zusammensetzung abhängt.
  • Partikelform — nicht-sphärische Partikel erfahren unterschiedlichen Widerstand und setzen sich oft langsamer als Kugeln derselben Masse ab.
  • Flow regime — gekennzeichnet durch die Partikel-Reynolds-Zahl (Re = ρf v d / η). Low Re entspricht laminarer Strömung (Stokes-Regime), während high Re turbulente Strömung anzeigt.

Diese Parameter werden in verschiedenen empirischen und theoretischen Formeln zur Schätzung der terminalen Einschwinggeschwindigkeit kombiniert. Der einfachste und am weitesten verbreitete Ausgangspunkt ist das Stokessche Gesetz, das für kleine, kugelförmige Teilchen gilt, die sich in einer ruhenden Flüssigkeit unter laminaren Bedingungen absetzen.

Stokes' Gesetz und seine Annahmen

Das Stokessche Gesetz beschreibt die Schleppkraft auf eine Kugel, die sich bei niedriger Reynoldszahl (Re < 0.1) bewegt. Die terminale Einschwinggeschwindigkeit v für ein sphärisches Teilchen wird durch Gleichsetzung der Netto-Schwerkraft (Gewicht minus Auftrieb) mit der Stokes-Schwerkraft abgeleitet:

v = (2/9) · (r²) · (Δρ) · g / η

wobei r der Teilchenradius, g die Gravitationsbeschleunigung und die anderen Symbole die oben genannten Bedeutungen haben, gilt diese Gleichung nur, wenn die folgenden Annahmen erfüllt sind:

  • Das Teilchen ist eine starre Kugel.
  • Die Flüssigkeit ist inkompressibel und Newtonian.
  • Die Strömung ist laminar (Re < 0.1), dh viskose Kräfte dominieren Trägheitskräfte.
  • Die Partikel sind weit von Wänden und voneinander entfernt (d. H. Verdünnte Suspension).
  • Es gibt keine Wechselwirkung zwischen Partikeln, Flockungen oder verhinderte Ablagerungen.

In der Praxis verstoßen viele natürliche und industrielle Partikel gegen eine oder mehrere dieser Annahmen. Zum Beispiel sind Sandkörner unregelmäßig, mikrobielle Zellen können sich verformen, und Flocken haben fraktale Strukturen. Dennoch bleibt das Stokes'sche Gesetz eine wertvolle Basis, von der aus Korrekturen angewendet werden können. Eine detaillierte Ableitung des Stokes'schen Gesetzes findet sich in Standard-Lehrbüchern für Fluidmechanik oder Online-Ressourcen wie dem Artikel von Wikipedia über Stokes'sches Gesetz.

Berechnung der Geschwindigkeit für sphärische Partikel

Bei etwa kugelförmigen Partikeln (z. B. Glasperlen, gleichmäßigen Latexkugeln oder Öltröpfchen) gibt das Stokes'sche Gesetz eine direkte Schätzung. Betrachten wir beispielsweise einen Quarzsand mit einem Radius von 50 μm (5 μm (5 μm)−5 m), einer Dichte von 2650 kg/m³, der sich in Wasser bei 20°C (ρf = 998 kg/m³, η = 1,002 μ10−3 Pa·s) absetzt. Die Dichtedifferenz Δρ = 1652 kg/m³ mit g = 9,81 m/s²:

v = (2/9) · (5 × 10−5)² · 1652 · 9.81 / (1.002 · 10−3)

Dies ergibt v ≈ 0.009 m/s (9 mm/s). Die Reynolds-Zahl Re = (998 · 0.009 · 1 × 10−4) / 0.001 ≈ 0.9, was etwas über der Grenze des Stokes-Regimes (0.1) liegt, so dass eine Korrektur für moderate Reynolds-Zahlen für eine höhere Genauigkeit gerechtfertigt sein kann.

Beyond Stokes: Transition und turbulente Regime

Wenn die Teilchengröße zunimmt, werden Inertialeffekte signifikant und der Luftwiderstandskoeffizient CD weicht vom Stokes-Wert ab (CD = 24/Re). Für Zwischenreynolds-Zahlen (0,1 < Re < 1000) wird die Beziehung durch die Standard-Luftwiderstandskurve beschrieben. In diesem Regime kann die Endgeschwindigkeit durch das Lösen des Kraftgleichgewichts iterativ oder unter Verwendung empirischer Korrelationen wie der Schiller-Naumann-Korrelation gefunden werden: CD = (24/Re)(1 + 0,15 Re0,687 für Re < 800.

Für große, schnell absetzende Teilchen (Re > 1000) wird der Luftwiderstandskoeffizient ungefähr konstant (CD ≈ 0,44 für glatte Kugeln).

v = sqrt( (4 g d (ρp − ρf) / (3 ρf CD))

Für ein Kiespartikel mit einem Durchmesser von 2 mm, das in Wasser sinkt, liegt Re in der Größenordnung von Hunderten, und die Gleichung für turbulente Zustände sollte verwendet werden. Viele technische Konstruktionsleitfäden, wie die aus der Engineering Toolbox , stellen Rechenwerke und Tabellen für diese Berechnungen zur Verfügung.

Bearbeitetes Beispiel: Übergangsregime

Nehmen Sie eine Quarzkugel mit einem Durchmesser von 0,5 mm (ρp = 2650 kg/m³) in Wasser. Beginnen Sie mit dem Raten einer Geschwindigkeit, berechnen Sie Re, finden Sie CD und lösen Sie dann nach v. Eine erste Schätzung von Stokes (Ignorieren der Re-Korrektur) ergibt v ≈ 0,09 m/s, Re ≈ 45. Mit Hilfe von Schiller-Naumann, CD ≈ 1.1. Das Einstecken in das Kräftegleichgewicht ergibt v ≈ 0,074 m/s. Wiederholen der Iteration ergibt Konvergenz um v = 0,072 m/s, Re = 36, CD = 1,25. Die iterative Korrektur ist unerlässlich, wenn das Stokessche Gesetz die Geschwindigkeit um mehr als ein

Anpassungen für nicht-sphärische Partikel

Die meisten natürlichen und industriellen Teilchen sind keine perfekten Kugeln. Ihre unregelmäßige Form erhöht die Widerstandskraft, reduziert die Absetzgeschwindigkeit und macht die Charakterisierung komplexer. Der Standardansatz besteht darin, einen -Formfaktor (S oder ψ) zu definieren, der den Widerstand des Teilchens mit dem einer Kugel des gleichen Volumens in Beziehung setzt.

  • Sphärizität (ψ): Verhältnis der Oberfläche einer Kugel des gleichen Volumens wie das Teilchen zur tatsächlichen Oberfläche des Teilchens. Die Sphärizität reicht von 0 (extrem langgestreckt oder flockig) bis 1 (perfekte Kugel).
  • Corey Formfaktor: Wird für Sedimentpartikel verwendet; definiert als c / sqrt(ab), wobei a, b, c die längsten, mittleren und kürzesten Dimensionen sind.
  • Dynamischer Formfaktor: Das Verhältnis der Schleppkraft auf das eigentliche Teilchen zu der auf einer Kugel gleichen Volumens und gleicher Dichte bei gleicher Einschwinggeschwindigkeit. Dieser Faktor wird oft empirisch bestimmt.

Für nicht-sphärische Partikel wird ein äquivalenter Durchmesser (wie der volumenäquivalente Durchmesser dv oder der Stokes-Durchmesser dst in der Stokes-Gleichung verwendet, und dann wird die berechnete Geschwindigkeit mit einem Korrekturfaktor multipliziert, der typischerweise kleiner als 1 ist. Zum Beispiel können sich Sandkörner mit einer Sphärizität von 0,7 bei 60-80% der für eine Kugel mit der gleichen Masse und Dichte vorhergesagten Geschwindigkeit absetzen. Detaillierte Tabellen für Formkorrekturfaktoren sind in Sedimentologiereferenzen verfügbar, wie z. B. Studien zur Absetzung natürlicher Sedimente.

Empirische Korrelationen für natürliche Sedimente

Viele Forscher haben Gleichungen für die Absetzgeschwindigkeit von natürlichem Sand und Schlammpartikeln vorgeschlagen, die Form enthalten. Eine der am häufigsten verwendeten ist die Formel von Soulsby (1997) für feinen Sand zu grobem Schlamm, die einen Drag-Law-Ansatz verwendet, aber den Durchmesser durch einen nominalen Durchmesser ersetzt und einen empirischen Koeffizienten anwendet. Eine andere oft zitierte Korrelation ist die Ferrion-Kirchen-Gleichung:

v = (g Δρ d²) / (C1 η + sqrt(C2 g Δρ d³ ) )

wobei C1 und C2 empirische Konstanten sind, die von der Teilchenform abhängen (z. B. C1 ≈ 18 für natürlichen Sand, C2 ≈ 0,4 bis 1,0 für sphärische zu eckige Teilchen).

Hemmende Ansiedlung und konzentrierte Aufschlämme

Bei vielen industriellen Prozessen (z. B. Sedimentation in Verdickern, Abwasserklärern) ist die Partikelkonzentration zu hoch, um Wechselwirkungen zu ignorieren. Bei behindertem Absetzen wird die Abwärtsbewegung jedes Partikels durch die Verdrängung von Flüssigkeit nach oben und Kollisionen mit Nachbarn behindert. Die effektive Absetzgeschwindigkeit vh ist kleiner als die Endgeschwindigkeit eines isolierten Partikels. Das beliebteste Modell ist die Richardson-Zaki-Gleichung:

vh = vt · (1 − φ)n

Wo φ ist der Volumenanteil von Feststoffen, und n ist ein Exponent, der von der Partikel-Reynolds-Zahl bei unendlicher Verdünnung (Ret abhängt. Für Ret < 0.2 (laminar), n ≈ 4.65; für Zwischenre, n nimmt ab, und für völlig turbulent (Ret > 500), n ≈ 2.4. Die Richardson-Zaki-Korrelation wird ausgiebig im Design von Sedimentationstanks verwendet und wird im Detail in hindered settlement theory diskutiert.

Wirkung der Flockung

In der Wasseraufbereitung und vielen natürlichen Umgebungen sind Partikel nicht individuell, sondern bilden Aggregate (Flocken), die eine fraktale Struktur haben. Die Flockendichte nimmt mit zunehmender Flockengröße ab, und die Flockenabsetzgeschwindigkeit folgt oft einer Macht-Gesetz-Beziehung mit dem Flockendurchmesser. Zum Beispiel können Tonflocken Absetzgeschwindigkeiten aufweisen, die durch v = k dm beschrieben werden, wobei m um 1–2 liegt (viel niedriger als die von Stokes’ Gesetz erwartete Leistung 2) Die effektive Dichte einer Flocke kann als ρfpfflocdf angenähert werden, wobei Df die fraktale Dimension ist (typischerweise 1,7–2,3 für Aggregate).

Praktische Methoden zur Messung der Sedimentationsgeschwindigkeit

Während theoretische und empirische Formeln nützlich sind, ist eine direkte Messung häufig bei heterogenen oder unregelmäßigen Partikeln erforderlich.

  • Andreasen Pipettenmethode: Eine klassische Technik für Sedimente; eine Probe wird in einem kalibrierten Zylinder absetzen dürfen, und Aliquote werden zu verschiedenen Zeiten entnommen, um die Partikelgrößenverteilung über die kumulative Masse zu bestimmen.
  • Sedimentationsbilanz: Die Masse des abgesetzten Materials auf einer untergetauchten Pfanne wird über die Zeit aufgezeichnet und die Geschwindigkeit wird aus der Akkumulationskurve abgeleitet.
  • Laserbeugungssysteme: Instrumente wie der Malvern Mastersizer verwenden das Prinzip der Laserbeugung, um auf die Partikelgrößenverteilung zu schließen, aus der sich die Geschwindigkeiten mit dem entsprechenden Drag-Modell berechnen lassen.
  • Videomikroskopie: Direkte Beobachtung von Partikeln, die sich in einer Zelle absetzen, ermöglicht die Verfolgung einzelner Partikel, insbesondere für die Untersuchung unregelmäßiger oder flockiger Partikel.

Bei der Messung ist es wichtig, die Temperatur zu kontrollieren (Viskositätsänderungen & asymp; 2% pro Grad Celsius für Wasser) und genug verdünnte Suspensionen zu verwenden, um ein behindertes Absetzen zu vermeiden.

Anwendungen in allen Branchen

Genaue Berechnungen der Sedimentationsgeschwindigkeit sind in vielen Bereichen unerlässlich:

  • Wasser- und Abwasserbehandlung: Das Design von Primärklärern, Sekundärabsetzbecken und Schlammverdickern beruht auf Absetzgeschwindigkeitsverteilungen, um die erforderliche Abwasserqualität zu erreichen.
  • Bergbau und Mineralverarbeitung : Klassifikation von Erzen nach Größe in Hydrozyklonen und Verdickern verwendet behinderte Absetzmodelle; Tailings Teich Design erfordert Wissen darüber, wie feine Partikel konsolidieren.
  • Ozeanographie und Sedimenttransport: Das Vorhersagen des Schicksals von Sedimentfahnen aus Flüssen, Baggerarbeiten oder Tiefseebergbau hängt von Absetzgeschwindigkeiten von Sand, Schluff und Ton ab, einschließlich Flockung in Salzwasser.
  • Pharmazeutika und Biotechnologie: Zellernte in Zentrifugation und Sedimentation; auch zur Charakterisierung der Größe von Proteinaggregaten oder Emulsionen.
  • Umwelttechnik : Modellierung der Entfernung von Schadstoffen in gebauten Feuchtgebieten, Regenwasser-Auffangbecken und Öl-Wasser-Separatoren.

In jedem Fall bestimmt die Partikelart, welches Modell geeignet ist, beispielsweise wird in Abwasserklärern, in denen biologische Flocken vorhanden sind, das Fraktalflockenmodell in Kombination mit behinderter Ablagerung verwendet, während für die Kornentfernung in der gleichen Anlage das Stokessche Gesetz mit Formkorrektur angewendet wird.

Schlussfolgerung

Die Berechnung der Sedimentationsgeschwindigkeit beginnt mit dem Stokesschen Gesetz für einfache kugelförmige Teilchen unter laminaren Bedingungen. Für größere oder schneller bewegte Teilchen muss der Luftwiderstandskoeffizient für Übergangs- oder turbulente Strömungen angepasst werden. Unregelmäßige Formen werden durch Formfaktoren und empirische Korrelationen wie die Ferguson-Kirche-Gleichung gehandhabt. In konzentrierten Suspensionen sind Modelle für die Einstellung von Sedimenten (Richardson-Zaki) erforderlich, und für Ausflockungssysteme muss die fraktale Natur von Aggregaten berücksichtigt werden. Durch systematische Anwendung des geeigneten Modells für den Partikeltyp und das Strömungsregime können Ingenieure und Wissenschaftler das Sedimentationsverhalten genau vorhersagen, Trennprozesse optimieren und die natürliche Sedimentdynamik besser verstehen.