How to Determine the Number of Right Half Plane Poles with Routh-hurwitz Criterion

Die Elemente der Zeile i werden dann durch:

d_j = – (1 / c₁x det[₁, b_j+1 ; [c₁ ] = (_{1j+1 – c1b1}

Für j = 1, 2, ... bis zum Ende der Zeile beachten Sie, dass c₁ das erste Element der vorherigen Zeile ist; es muss ungleich Null sein (wenn es Null wird, ist eine spezielle Handhabung erforderlich).

Der Prozess wird fortgesetzt, bis die Zeile n+1 (die s⁰ Zeile) erreicht ist. In der Regel enthält die letzte Zeile nur ein nicht-null-Element – den konstanten Term a₀, skaliert durch vorherige Faktoren, aber garantiert positiv, wenn die ursprünglichen Koeffizienten positiv sind.

Interpretieren der ersten Spalte: Zeichenänderungen und RHP-Pole

Wenn das Routh-Array vollständig aufgebaut ist, untersuchen Sie die erste Spalte des Arrays (die linke Spalte jeder Zeile). Zählen Sie die Anzahl der Zeichenänderungen, wenn Sie die Spalte hinuntergehen. Jedes Mal, wenn das Zeichen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeilen umschaltet (z. B. von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv), zählt es als ein Zeichenwechsel.

Die Gesamtzahl der Zeichenwechsel in der ersten Spalte entspricht der Anzahl der Pole in der rechten Halbebene (RHP). Wenn es Nullzeichenwechsel gibt, liegen alle Pole in der linken Halbebene (LHP) und das System ist stabil. Wenn die Zählung k ist, gibt es k Pole mit positiven Realteilen und das System ist instabil. Dies ist eine direkte Folge der Hurwitz-Determinanten und der Tatsache, dass Zeichenwechsel den Wurzeln entsprechen, die die imaginäre Achse kreuzen.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Routh-Hurwitz-Kriterium nur die -Zahl von RHP-Polen angibt, nicht deren genaue Werte.

Sonderfälle in Routh Array Construction

Beim Aufbau des Routh-Arrays können zwei Sonderfälle auftreten, die eine sorgfältige Handhabung erfordern:

Fall 1: Eine Null in der ersten Spalte

Wenn ein berechnetes erstes Element in einer Zeile Null ist, aber der Rest der Zeile nicht vollständig Null ist, dann verhindert die Null die Berechnung der nächsten Zeile, weil die Determinantenformel eine Division durch Null beinhaltet. Eine gängige Technik ist es, die Null durch eine kleine positive Zahl zu ersetzen ε (Epilon), dann fahren Sie mit der Berechnung fort. Nach Abschluss des Arrays nehmen Sie den Grenzwert als ε → 0, um Vorzeichenänderungen zu bewerten. Alternativ können Sie die Hilfspolynommethode verwenden (eng verwandt mit dem Fall einer ganzen Reihe von Nullen).

Fall 2: Eine ganze Reihe von Nullen

Wenn eine vollständige Zeile im Array zu Null wird (alle Elemente sind Null), zeigt dies an, dass das charakteristische Polynom symmetrische Wurzeln um den Ursprung hat — typischerweise ein Paar rein imaginärer Pole (±jω) oder ein Paar reeller Pole mit gleichen Größengegenzeichen. Wenn dies geschieht, müssen Sie ein Hilfspolynom aus der Zeile über der Nullzeile konstruieren. Das Hilfspolynom wird unter Verwendung der Koeffizienten dieser Zeile gebildet und ist von geradem Grad. Unterscheiden Sie dieses Hilfspolynom in Bezug auf s, um neue Koeffizienten zu erhalten, und verwenden Sie diese Koeffizienten, um die Nullzeile zu ersetzen. Fahren Sie dann mit dem Aufbau des Routh-Arrays fort.

Die Anzahl der Vorzeichenänderungen in der ersten Spalte nach dieser Substitution gibt immer noch die Anzahl der RHP-Pole an (ohne die rein imaginären Pole, die separat gezählt werden). Die rein imaginären Pole entsprechen Wurzeln auf der imaginären Achse - sie sind marginal stabil und werden nicht als

Bearbeitete Beispiele

Beispiel 1: Stabiles System

Betrachten Sie das charakteristische Polynom:

P(s) = s⁴ + 3s³ + 5s² + 4s + 2

Bauen Sie das Routh-Array:

• Zeile 1 (s⁴): 1, 5, 2
• Zeile 2 (s³): 3, 4, 0 (da es nur Koeffizienten für s³ und s¹ gibt, Pad mit 0)
• Zeile 3 (s²): Berechnen Sie mit den ersten beiden Zeilen: erstes Element = –(1 × 4 – 3 × 5)/3 = –(4 – 15)/3 = 11/3 ≈ 3.6667; zweites Element = –(1 × 0 – 3 × 2)/3 = –(0 – 6)/3 = 2; also Zeile 3: [11/3, 2]
• Zeile 4 (s¹): Verwende die Zeilen 2 und 3: erstes Element = –(3×2 – (11/3)×4)/(11/3) = –(6 – 44/3) / (11/3) = –(18-44)/3 ) / (11/3) = –(-26/3 ) / (11/3) = 26/11 ≈ 2,3636; zweites Element: –(3×0 – (11/3)×0)/(11/3) = 0; also Zeile 4: [26/11, 0]
• Zeile 5 (s⁰): Verwendung der Zeilen 3 und 4: erstes Element = –( (11/3)×0 – (26/11)×2 ) / (26/11) = –( –(52/11) ) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2; Zeile 5: [2]

Erste Spalte: 1 (pos), 3 (pos), 11/3 (pos), 26/11 (pos), 2 (pos).

Beispiel 2: Instabiles System mit zwei RHP-Polen

Betrachten Sie: P(s) = s³ + 2s² + 3s + 4

Routh-Array:

• Reihe 1: 1, 3
• Reihe 2: 2, 4
• Zeile 3: aus den Zeilen 1 und 2: erstes Element = –(1 × 4 – 2 × 3)/2 = –(4 – 6)/2 = –( –2)/2 = 1; zweites Element: –(1 × 0 – 2 × 0)/2 = 0; Zeile 3: [1, 0]
• Zeile 4: aus den Zeilen 2 und 3: erstes Element = –(2 × 0 – 1 × 4)/1 = –( –4) = 4; Zeile 4: [4]

Erste Spalte: 1 (positiv), 2 (positiv), 1 (positiv) → keine Vorzeichenänderungen? Warten Sie, überprüfen Sie noch einmal: Zeile 3 erstes Element = 1 positiv, Zeile 4 = 4 positiv. Keine Vorzeichenänderungen. Aber wir haben früher Zeile 3 als 1 berechnet? Lasst uns das erste Element sorgfältig berechnen.

• Reihe1: [1, 1, 1]
• Zeile 2: [2, 2, 0]
• Zeile3: [ (2*1 - 1*2)/2 = (2-2)/2 =0 , (2*1 - 1*0)/2 = 1, 0 ] => [0, 1]
• Zeile 4: Hilfspolynom aus Zeile 3 verwenden? Eigentlich haben wir das erste Element null, nicht die ganze Zeile. Verwenden wir ein anderes Polynom: P(s) = s⁴32 + 2s + 1⁵ + 2s³ + 2s + 4⁴]32 ^{+ 2s + 1}
• Reihe1: [1, 3, 1]
• Zeile 2: [2, 2, 0]
• Reihe3: [(2*3 - 1*2)/2 = (6-2)/2=2 , (2*1 - 1*0)/2 = 2/2=1, 0] => [2, 1]
• Zeile4: [(2*2 - 2*1)/2? Warteformel: aus den Zeilen 2 und 3: erstes elem = –(2*1 - 2*2)/2 = –(2-4)/2 = –(–2)/2 = 1; zweites: –(2*0 – 2*0)/2=0 ⇒ [1,0]
• Zeile5: aus den Zeilen 3 und 4: [ (1*1 – 2*0)/1 = 1 ] ⇒ [1]
• No zero row. That's stable. Let's use a polynomial with symmetric roots: P(s) = s⁴ + s³ + 2s² + s + 1 might have a row of zeros? I'd rather use the classic example: P(s) = s⁵ + 2s⁴ + 24s³ + 48s² + 25s + 50 yields a zero row. But that's messy. I'll create a simple one: From known case, the polynomial s⁴ + s³ + s² + s + 1 has roots on unit circle? Actually not. Let's stick with the general explanation for the special case rather than a full worked example due to space. But I can reference the auxiliary polynomial method. I'll include a short illustrative example using P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4? Might produce zero row. Simpler: Provide the standard mention: "For example, consider the polynomial s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4 which leads to an all-zero row in the Routh array. The auxiliary polynomial from the row above yields a new row, and after substitution, the first column shows no sign changes, indicating the presence of purely imaginary poles and no RHP poles." I'll keep it conceptual. Due to length constraints, I will include at least two worked examples (stable and unstable with sign changes) and briefly describe special cases with reference to external resources. External links (choose authoritative sources): - Wikipedia: Routh-Hurwitz stability criterion - MathWorks documentation on routh function - Control Tutorials from University of Michigan (CTMS) - A reputable textbook reference (maybe link to MIT OpenCourseWare) I'll include 3 links. Now construct the final HTML article. Ensure it's clean, no markdown, no Gutenberg comments. Target word count: 2200-2500. I will write expansive paragraphs, detailed explanation, and examples. Ensure not to exceed 2500 words. Let me write the article body.

  Das Routh-Hurwitz-Kriterium ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Regelungstechnik zur Analyse der Stabilität von linearen zeitinvarianten (LTI) Systemen. Anstatt die Wurzeln des charakteristischen Polynoms, das rechenintensiv für Systeme höherer Ordnung sein kann, explizit zu berechnen, stellt das Routh-Hurwitz-Kriterium einen einfachen algebraischen Test dar. Eine zentrale Frage in der Stabilitätsanalyse ist die Bestimmung, wie viele Pole des Systems in der rechten Hälfte der s-Ebene (der Region mit positiven reellen Teilen) liegen. Pole in der rechten Halbebene (RHP) zeigen direkt exponentielles Wachstum der Reaktion des Systems an - mit anderen Worten, Instabilität. Dieser Artikel bietet eine umfassende Anleitung zur Verwendung des Routh-Hurwitz-Kriteriums, um die Anzahl der RHP-Pole zu zählen, wobei die Theorie, die Array-Konstruktion, die Handhabung von Spezialfällen und bearbeitete Beispiele behandelt werden.

  Grundlagen des Routh-Hurwitz-Kriteriums

  Das Routh-Hurwitz-Kriterium basiert auf den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms, das das Polynom im Nenner der Closed-Loop-Übertragungsfunktion (oder der Open-Loop-Übertragungsfunktion für die innere Stabilität) ist.

  P(s) = a_nsⁿn-1s^n-1 + ... + a_{s + a}s + a = 0

  Eine notwendige Bedingung für die Stabilität ist, dass alle Koeffizienten vorhanden sind (keine fehlenden Potenzen) und dass sie alle das gleiche Vorzeichen haben (normalerweise positiv), diese Bedingung ist jedoch nicht ausreichend. Das Routh-Hurwitz-Kriterium bietet sowohl notwendige als auch ausreichende Bedingungen für die Stabilität: Es bestimmt, wie viele Wurzeln des Polynoms positive reelle Teile, null reelle Teile (auf der imaginären Achse) und negative reelle Teile haben.

  Das Kriterium wird durch die Konstruktion eines spezifischen Arrays von Koeffizienten, genannt Routh-Array, angewandt. Die ersten beiden Zeilen des Arrays werden aus den Koeffizienten des Polynoms ausgefüllt. Nachfolgende Zeilen werden mit einer systematischen Determinantenformel berechnet. Sobald das Array vollständig ist, entspricht die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte des Arrays direkt der Anzahl der Wurzeln des Polynoms mit positiven Realteilen, d. h. der Anzahl der RHP-Pole. Wenn es keine Vorzeichenwechsel gibt, liegen alle Pole in der linken Halbebene (LHP) und das System ist stabil, wenn keine Pol-Null-Korrekturen angenommen werden.

  Bau des Routh Array: Schritt-für-Schritt-Verfahren

  Das charakteristische Polynom sei:

  P(s) = a_nsⁿn_n-1s^n-1 + a_n-2n-2 + ... + a_{1s + a0}

  Die Routh-Anordnung besteht aus n+1 Zeilen (indexiert von Zeile 1 bis Zeile n+1). Die ersten beiden Zeilen werden direkt aus den Koeffizienten aufgebaut:

  • Zeile 1 (sⁿ Zeile): Enthält Koeffizienten gerader Potenzen von s _{beginnend mit der höchsten Potenz: a, a}, _an-4, ... bis zum Koeffizienten von ⁰ oder dem Ende.
  • Zeile 2 (s^n-1 Zeile):Enthält Koeffizienten ungerader Potenzen: a_n-1, a_n-3, a_n-5, ... .

  Wenn das Polynom einen ungeraden Grad hat n, wird Zeile 1 den führenden Koeffizienten und die nächsten geraden indizierten Koeffizienten enthalten; Zeile 2 enthält den zweiten Koeffizienten und den zweiten alternativen. Für gerade Grad-Polynome beginnt Zeile 1 mit dem führenden Koeffizienten und dem nächsten geraden indiziert; Zeile 2 beginnt mit dem zweiten Koeffizienten und dem nächsten ungeraden indiziert. In beiden Fällen, wenn die Anzahl der Koeffizienten in einer Zeile kleiner ist als die vorherige Zeile, werden Nullen am Ende gepolstert, um ein rechteckiges Array zu erhalten.

  Berechnung der nachfolgenden Zeilen

  Zeilen 3 bis n+1 werden mit dem folgenden Muster berechnet.

  Zeile (i-2): b₁₂3-1:c]c₂c₃, ...

  Die Elemente der Zeile i werden dann durch:

  d_j = – (1 / c₁x det[₁, b_j+1 ; [c₁ ] ] = ((_{]1j+1 – c1b1}

  Für j = 1, 2, ... bis zum Ende der Zeile beachten Sie, dass c₁ das erste Element der vorherigen Zeile ist; es muss ungleich Null sein (wenn es Null wird, ist eine spezielle Handhabung erforderlich).

  Der Prozess wird fortgesetzt, bis die Zeile n+1 (die s⁰ Zeile) erreicht ist. In der Regel enthält die letzte Zeile nur ein nicht-null-Element – den konstanten Term a₀, skaliert durch vorherige Faktoren, aber garantiert positiv, wenn die ursprünglichen Koeffizienten positiv sind.

  Interpretieren der ersten Spalte: Zeichenänderungen und RHP-Pole

  Wenn das Routh-Array vollständig aufgebaut ist, untersuchen Sie die erste Spalte des Arrays (die linke Spalte jeder Zeile). Zählen Sie die Anzahl der Zeichenänderungen, wenn Sie die Spalte hinuntergehen. Jedes Mal, wenn das Zeichen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeilen umschaltet (z. B. von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv), zählt es als ein Zeichenwechsel.

  Die Gesamtzahl der Zeichenwechsel in der ersten Spalte entspricht der Anzahl der Pole in der rechten Halbebene (RHP). Wenn es Nullzeichenwechsel gibt, liegen alle Pole in der linken Halbebene (LHP) und das System ist stabil. Wenn die Zählung k ist, gibt es k Pole mit positiven Realteilen und das System ist instabil. Dies ist eine direkte Folge der Hurwitz-Determinanten und der Tatsache, dass Zeichenwechsel den Wurzeln entsprechen, die die imaginäre Achse kreuzen.

  Es ist wichtig zu beachten, dass das Routh-Hurwitz-Kriterium nur die -Zahl von RHP-Polen angibt, nicht deren genaue Werte.

  Sonderfälle in Routh Array Construction

  Beim Aufbau des Routh-Arrays können zwei Sonderfälle auftreten, die eine sorgfältige Handhabung erfordern:

  Fall 1: Eine Null in der ersten Spalte

  Wenn ein berechnetes erstes Element in einer Zeile Null ist, aber der Rest der Zeile nicht vollständig Null ist, dann verhindert die Null die Berechnung der nächsten Zeile, weil die Determinantenformel eine Division durch Null beinhaltet. Eine gängige Technik ist es, die Null durch eine kleine positive Zahl zu ersetzen ε (Epilon), dann fahren Sie mit der Berechnung fort. Nach Abschluss des Arrays nehmen Sie den Grenzwert als ε → 0, um Vorzeichenänderungen zu bewerten. Alternativ können Sie die Hilfspolynommethode verwenden (eng verwandt mit dem Fall einer ganzen Reihe von Nullen).

  Fall 2: Eine ganze Reihe von Nullen

  Wenn eine vollständige Zeile im Array zu Null wird (alle Elemente sind Null), zeigt dies an, dass das charakteristische Polynom symmetrische Wurzeln um den Ursprung hat — typischerweise ein Paar rein imaginärer Pole (±jω) oder ein Paar reeller Pole mit gleichen Größengegenzeichen. Wenn dies geschieht, müssen Sie ein Hilfspolynom aus der Zeile über der Nullzeile konstruieren. Das Hilfspolynom wird unter Verwendung der Koeffizienten dieser Zeile gebildet und ist von geradem Grad. Unterscheiden Sie dieses Hilfspolynom in Bezug auf s, um neue Koeffizienten zu erhalten, und verwenden Sie diese Koeffizienten, um die Nullzeile zu ersetzen. Fahren Sie dann mit dem Aufbau des Routh-Arrays fort.

  Die Anzahl der Vorzeichenänderungen in der ersten Spalte nach dieser Substitution gibt immer noch die Anzahl der RHP-Pole an (ohne die rein imaginären Pole, die separat gezählt werden). Die rein imaginären Pole entsprechen Wurzeln auf der imaginären Achse - sie sind marginal stabil und werden nicht als

  Bearbeitete Beispiele

  Beispiel 1: Stabiles System

  Betrachten Sie das charakteristische Polynom:

  P(s) = s⁴ + 3s³ + 5s² + 4s + 2

  Bauen Sie das Routh-Array:

  • Zeile 1 (s⁴): 1, 5, 2
  • Zeile 2 (s³): 3, 4, 0
  • Zeile 3 (s²): Berechnen Sie mit den ersten beiden Zeilen: erstes Element = –(1 × 4 – 3 × 5)/3 = –(4 – 15)/3 = 11/3 ≈ 3,6667; zweites Element = –(1 × 0 – 3 × 2)/3 = –(0 – 6)/3 = 2; also Zeile 3: [11/3, 2]
  • Zeile 4 (s¹): Verwenden Sie die Zeilen 2 und 3: erstes Element = –(3×2 – (11/3)×4)/(11/3) = –(6 – 44/3) / (11/3) = –(18-44)/3 ) / (11/3) = –( -26/3 ) / (11/3) = 26/11 ≈ 2,3636; zweites Element: –(3×0 – (11/3)×0)/(11/3) = 0; also Zeile 4: [26/11, 0]
  • Zeile 5 (s⁰): Verwendung der Zeilen 3 und 4: erstes Element = –( (11/3)×0 – (26/11)×2 ) / (26/11) = –( –(52/11) ) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2; Zeile 5: [2]

  Erste Spalte: 1 (pos), 3 (pos), 11/3 (pos), 26/11 (pos), 2 (pos).

  Beispiel 2: Instabiles System mit zwei RHP-Polen

  Betrachten Sie das charakteristische Polynom:

  P(s) = s³ + s² + 2s + 8

  Routh-Array:

  • Reihe 1: 1, 2
  • Reihe 2: 1, 8
  • Zeile 3: erstes Element = –(1 × 8 – 1 × 2)/1 = –(8 – 2)/1 = –6; zweites Element = –(1 × 0 – 1 × 0)/1 = 0 → Zeile 3: [–6, 0]
  • Zeile 4: aus den Zeilen 2 und 3: erstes Element = –(1 × 0 – (–6) × 8/(–6) = –(0 + 48)/(–6) = –48/(–6) = 8 → Zeile 4: [8]

  Erste Spalte: 1 (pos), 1 (pos), -6 (neg), 8 (pos). Vorzeichenwechsel: von positiv zu negativ (1 Änderung) und von negativ zu positiv (1 Änderung) → insgesamt 2 Vorzeichenwechsel → 2 RHP-Pole. Überprüfung: Die Wurzeln dieses Polynoms sind -2, 0,5 ± 1,9365i, was zwei Pole mit positiven Realteilen bestätigt.

  Beispiel 3: Umgang mit einer Null in der ersten Spalte

  Betrachten Sie: P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 2

  Routh-Array-Berechnung beginnt:

  • Reihe 1: 1, 3, 2
  • Reihe 2: 2, 6, 0
  • Reihe 3: erstes Element = (2 × 3 – 1 × 6)/2 = (6 – 6)/2 = 0; zweites Element = (2 × 2 – 1 × 0)/2 = 4/2 = 2 → Zeile 3: [0, 2]

  Da das erste Element Null ist, ersetzen Sie es mit einem kleinen positiven ε.

  • Zeile 3 (mit ε): [ε, 2]
  • Zeile 4: aus den Zeilen 2 und 3: erstes Element = –(2 × 2 – ε × 6)/ε = –(4 – 6ε)/ε = –4/ε + 6. Als ε→0+ tendiert dies zu –∞ (negativ).
  • Zeile 5: aus den Zeilen 3 und 4: erstes Element = –(ε×0 – (–4/ε)×2)/(–4/ε) = –(8/ε)/(–4/ε) = 2 → Zeile 5: [2]

  Erste Spalte: 1 (pos), 2 (pos), ε (pos small), –4/ε (neg large), 2 (pos), Vorzeichenwechsel: positiv → negativ (1), negativ → positiv (1) → insgesamt 2 Vorzeichenwechsel → 2 RHP-Pole.

  Praktische Überlegungen und Einschränkungen

  Das Routh-Hurwitz-Kriterium wird hauptsächlich für Systeme mit kontinuierlicher Zeit verwendet, die durch Polynome mit reellen Koeffizienten beschrieben werden. Es kann nicht direkt mit Zeitverzögerungen, Nichtlinearitäten oder verteilten Parametersystemen umgehen, wenn sie nicht durch rationale Polynome angenähert werden. Darüber hinaus liefert das Kriterium nur Informationen über die Anzahl der RHP-Pole; es gibt keine genauen Polpositionen, Dämpfungsverhältnisse oder Eigenfrequenzen. Für eine vollständige Stabilitätsanalyse wird es oft mit Wurzelort, Bode-Plots oder Nyquist-Kriterien kombiniert. Trotz seiner Einschränkungen bleibt das Routh-Hurwitz-Kriterium ein Standard-erster Schritt im Regeldesign, da es schnell erkennen kann, ob ein System stabil ist oder wie viele instabile Pole existieren, so dass Ingenieure entscheiden können, ob weitere Analysen - oder Kompensatordesign - erforderlich sind.

  Verhältnis zu anderen Stabilitätsprüfungen

  Das Routh-Hurwitz-Kriterium steht in engem Zusammenhang mit den Hurwitz-Determinanten und den Lyapunov-Methoden. Tatsächlich kann die Anzahl der Zeichenänderungen in der ersten Spalte des Routh-Arrays als die Anzahl der Zeichenänderungen in der Sequenz der führenden Hauptmäler der Hurwitz-Matrix interpretiert werden. Für zeitdiskrete Systeme (z-Domäne) existiert ein ähnlicher Test, der als Jury-Stabilitätskriterium bezeichnet wird, das komplexer ist, aber der gleichen Philosophie folgt. Das Routh-Hurwitz-Kriterium ist auch ein Baustein für das allgemeinere Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium, das mathematisch von Hurwitz-Determinanten beschrieben wird. MATLAB und andere Rechenwerkzeuge implementieren das Routh-Array über Funktionen wie in der Control System Toolbox; siehe MathWorks-Dokumentation für Details.

  Schlussfolgerung

  Das Routh-Hurwitz-Kriterium bietet eine effiziente und systematische algebraische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Pole in der rechten Halbebene, ohne die charakteristische Gleichung zu lösen. Durch die Konstruktion des Routh-Arrays und die Änderung der Vorzeichen in der ersten Spalte können Ingenieure schnell beurteilen, ob ein LTI-System mit kontinuierlicher Zeit stabil ist und wenn nicht, wie viele instabile Pole vorhanden sind. Sonderfälle wie ein Null-Element oder eine ganze Reihe von Nullen werden mit einfachen Modifikationen behandelt, so dass der Test für eine Vielzahl von Polynomen anwendbar bleibt. Neben klassischen und modernen Steuerungstechniken bleibt das Routh-Hurwitz-Kriterium eine grundlegende Fähigkeit für jeden Steuerungsingenieur.