Mathematische Grundlagen von erweiterten Kalman-Filtern in der Roboterlokalisierung

Der Extended Kalman Filter (EKF) ist ein weit verbreiteter Algorithmus bei der Roboterlokalisierung. Er schätzt die Position und Orientierung des Roboters, indem er Sensordaten mit einem mathematischen Modell der Bewegung des Roboters kombiniert. Das Verständnis der mathematischen Grundlagen von EKF ist für eine effektive Implementierung und Abstimmung unerlässlich.

Landesvertretung und Vorhersage

Der Kern von EKF besteht darin, den Zustand des Roboters als Vektor darzustellen, typischerweise einschließlich Position und Orientierung. Der Vorhersageschritt verwendet ein nichtlineares Bewegungsmodell, um den aktuellen Zustand zeitlich vorwärts zu projizieren. Hierbei wird die Jacobianische Matrix des Bewegungsmodells berechnet, um die nichtlinearen Gleichungen um die aktuelle Schätzung zu linearisieren.

Messaktualisierung und Linearisierung

Da es sich bei den Messungen häufig um nichtlineare Funktionen des Zustands handelt, linearisiert EKF diese Funktionen mit ihren Jakobianern, wobei dieser Prozess den vorhergesagten Zustand basierend auf der Differenz zwischen erwarteten und tatsächlichen Sensorwerten anpasst.

Mathematische Gleichungen

Die Vorhersagegleichungen lauten:

Zustandsvorhersage:

x ̇ k+1− = f(x ̇ k, uk)

Kovarianzvorhersage:

Pk+1− = Fk Pk Fkt + Qk

wobei f das nichtlineare Bewegungsmodell, Fk sein Jacobian, P die Kovarianzmatrix und Q die Prozessrauschkovarianz ist.

Die Aktualisierungsgleichungen lauten:

Kalman gewinnt:

Kk = Pk− Hkt (Hk Pk− Hkt + Rk)−1

Zustandsaktualisierung:

ẋk = ẋk− + Kk (zk - h(ẋk−))

Kovarianzaktualisierung:

Pk = (I - Kk Hk) Pk-

Hier ist h das nichtlineare Messmodell, Hk ist sein Jacobian, Rk ist die Messrauschkovarianz und zk ist die eigentliche Sensormessung.