Introducción a la cálculo de tamaño de muestra en muestreo de aceptación

La aceptación es una técnica de control de calidad estadística utilizada para determinar si un lote de productos cumple con los estándares de calidad predeterminados. En lugar de inspeccionar cada unidad, se dibuja y evalúa una muestra representativa. La decisión de aceptar o rechazar todo el lote se basa en el número de artículos defectuosos encontrados en esa muestra. Calcular el tamaño correcto de la muestra es crítico: demasiado pequeño una muestra puede no detectar niveles inaceptables de defecto, mientras que demasiado grandes una guía de rendimientos

Comprender los planes de muestreo de aceptación

[LT:6] El plan de muestreo de aceptación consiste en dos parámetros clave: el tamaño de la muestra (n) y el número de aceptación (c).El plan especifica que una muestra al azar de n es igual a las unidades de tamaño

Los planes de muestreo son esenciales en industrias donde la inspección del 100% es poco práctica debido a los requisitos de coste, tiempo o pruebas destructivas. Proporcionan un método estadísticamente racional para inferir la calidad de todo el lote, con niveles de riesgo conocidos. Los dos riesgos principales son: rechazar un buen lote (el riesgo del producto, α) y aceptar un lote mal (el riesgo del consumidor, β).

Cómo funciona la muestra de aceptación

El proceso comienza con la definición del lote y la selección de un plan de muestreo. Típicamente, el plan se deriva de estándares como ANSI/ASQ Z1.4 o ISO 2859, que proporcionan tablas de tamaños de muestra y números de aceptación basados en el tamaño del lote y nivel de calidad aceptable (AQL). El usuario selecciona un nivel de inspección (por ejemplo, normal, ajustado, reducido) y el número de inspección de muestra correspondiente.

Terminología y conceptos clave

Para calcular los tamaños de la muestra con precisión, se debe entender varios términos clave y sus relaciones:

  • ] Tamaño del lote (N): El número total de unidades en el lote presentado para la inspección. Los lotes más grandes generalmente requieren tamaños de muestras más grandes, pero la relación no es lineal debido a consideraciones estadísticas.
  • Tamaño de la muestra (n): El número de unidades extraídas del lote para la inspección. Esta es la variable principal que calculamos.
  • Número de aceptación (c): El número máximo permitido de unidades defectuosas en la muestra para que se acepte el lote. Si los defectos exceden c, el lote es rechazado.
  • Número de rechazo (r): En algunos planes (por ejemplo, muestreo doble), el número de rechazo es el umbral que desencadena rechazo inmediato. Para los planes de muestreo único, r] = c + 1.
  • Riesgo del productor (α): La probabilidad de rechazar mucho que realmente cumple con el estándar de calidad (es decir, un error tipo I). Típicamente se establece en 5% o 1%.
  • Riesgo del consumidor (β): La probabilidad de aceptar mucho que no cumple con el estándar de calidad (es decir, un error tipo II). Comúnmente establecido en 10% o 5%.
  • Nivel de calidad aceptable (AQL): El porcentaje máximo de unidades defectuosas que se considera aceptable para el lote. AQL representa la calidad media de proceso que el productor está dispuesto a suministrar.
  • La tolerancia de la humedad del consumidor (LTPD): El porcentaje de unidades defectuosas que el consumidor considera inaceptable. Corresponde a una alta probabilidad de rechazo (por ejemplo, 90% o 95%).

Factores que influencian el tamaño de la muestra

Varios factores interactúan para determinar el tamaño de la muestra requerido para un plan de muestreo de aceptación dado. Entender estos factores ayuda a seleccionar un plan adecuado que equilibra el riesgo y el costo.

  • Tamaño del lote (N):] Aunque el tamaño de la muestra afecta el tamaño de la muestra en algunos estándares (por ejemplo, ANSI/ASQ Z1.4 utiliza rangos de tamaño de lote para determinar la letra del código de tamaño de la muestra), el efecto estadístico es mínimo para grandes lotes. La distribución hipergeométrica representa el tamaño de lote finito, pero para grandes N[FLT:
  • Número de aceptación (c): Un número de aceptación mayor reduce el tamaño de la muestra requerido para un riesgo dado, pero también aumenta la probabilidad de aceptar mucho con más defectos. El número de aceptación es elegido a menudo para cumplir con los requisitos de AQL y LTPD.
  • Riesgos del productor y del consumidor: Los riesgos más altos (más bajos α y β) requieren tamaños de muestra más grandes. Por ejemplo, reducir el α del 5% al 1% mientras mantiene otros factores constantes puede duplicar o triplicar el tamaño de la muestra.
  • Nivel de calidad (p): La proporción esperada de elementos defectuosos en el lote influye en la variabilidad de la muestra. Para las bajas tasas de defecto, la muestra debe ser lo suficientemente grande como para detectar al menos un defecto con probabilidad aceptable.
  • Nivel de inspección: Las normas definen diferentes niveles de inspección (normales, ajustados, reducidos) que ajustan el tamaño de la muestra y los criterios de aceptación basados en antecedentes de calidad pasados.

Fundaciones estadísticas para la cálculo del tamaño de la muestra

Distribución hipergeométrica

Cuando el muestreo sin reemplazo de un lote finito, el número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución hipergeométrica. La probabilidad de observar exactamente x defectuosos en una muestra de tamaño n de un gran tamaño N[LT] [LT] [4) [FLT]

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)

Esta distribución es exacta pero computacionalmente intensa para grandes N]. Los cálculos de tamaño muestral utilizando la distribución hipergeométrica se realizan a menudo a través de tablas estándar o software especializado.

La aproximación binomial

Para grandes tamaños de lote (típicamente cuando n]] ≤ 0.1N]), la distribución hipergeométrica está bien aproximada por la distribución binomio. La distribución binomio supone muestreo con reemplazo, pero es preciso cuando el tamaño de lote es grande en relación con la muestra.

P(X = x) = C(n, x) * p]x * (1-p)(n-x)

p] = D]/N es la fracción de lote defectuoso. Esto simplifica los cálculos y se utiliza ampliamente en las fórmulas de tamaño de muestra.

La aproximación Poisson

Para las tasas de defecto muy bajas (p] < 0.1) y tamaños de muestra grandes, la distribución binomial puede ser más aproximada por la distribución Poisson. Esto es útil para calcular tamaños de muestra en situaciones como la vigilancia de calidad de los eventos raros.La aproximación Poisson utiliza el parámetro λ = np[FLT]

P(X = x) = (e]]-λ] * λx) / x!

Métodos para calcular el tamaño de la muestra

Usando Tablas Estándar: ANSI/ASQ Z1.4 e ISO 2859

El enfoque más común en la industria es utilizar estándares publicados que proporcionan planes de muestreo precalculado. ANSI/ASQ Z1.4 (equivalente a ISO 2859-1) es el estándar líder para muestreo de atributos.

  1. Nivel de inspección: Niveles I, II, III para inspección normal, ajustada o reducida. Nivel II es predeterminado.
  2. Nivel de calidad aceptable (AQL): El máximo porcentaje defectuoso que el productor considera aceptable (por ejemplo, 0,1%, 1,0%, 2,5%).
  3. Tamaño del lote: El número total de unidades en el lote.

El tamaño de la carta es de un tamaño de la carta y de un número de la prueba de la cantidad de la cantidad de la cantidad de la carta (A a R) se determina. Esta carta de código apunta a una tabla que proporciona el tamaño de la muestra (n) y el número de aceptación de la muestra de alta calidad () para el número de prueba elegido.

Enfoque basado en la fórmula

Cuando no se aplican normas específicas, o cuando se requieren niveles de riesgo personalizados, una fórmula puede utilizarse para estimar el tamaño de la muestra. Una fórmula común para la estimación del tamaño de la muestra en muestreo de atributos se deriva de la aproximación normal a la distribución binomial:

n = (Z]]α/2 2 * p * (1 - p)) / E]2[]

Donde:

  • Z]α/2] es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza de dos colas (por ejemplo, 1,96 para un 95% de confianza).
  • p] es la proporción esperada de defectuosos en el lote (a menudo estimados de datos históricos o asumidos como el AQL).
  • E] es el margen de error, la diferencia máxima aceptable entre la tasa de defecto de muestra y la tasa de defecto de lote real.

Por ejemplo, si usted espera 5% defectuosos, quiere confianza del 95%, y permite un margen de error del 2%, el cálculo produce:

n = (1.96]2 × 0.05 × 0.95) / (0.02)]2 = (3.8416 × 0,0475) / 0,0004 ♥ ♥ 456.2

La redondeo da n] = 457. Sin embargo, esta fórmula no incorpora directamente el número de aceptación o los riesgos α y β de la misma manera que los estándares. Es más apropiado para estimar el tamaño de la muestra para estimar una proporción en lugar de un plan de decisión.

Un enfoque más riguroso utiliza las distribuciones de probabilidad para resolver n] y c simultáneamente. Para un par de puntos dados en la curva OC (AQL con probabilidad 1-α, y LTPD con probabilidad β), se puede resolver las ecuaciones:

P(aceptar TENIDO p = AQL) ≥ 1 - α
P(aceptar TEN p = LTPD) ≤ β

Para la distribución binomio, la probabilidad de aceptación de un plan de muestreo único con tamaño de muestra n] y número de aceptación c es:

P(aceptar TEN) p) = NOV]x=0 c C(n, x) px (1-p) ] ] ] [[

Encontrar n] y c] que satisfagan ambas desigualdades a menudo requiere métodos numéricos iterativos o tablas de búsqueda. Las normas como ANSI/ASQ Z1.4 se basan en tales cálculos.

Curvas de características operativas (OC)

Un plan de la curva OLT proporciona la probabilidad de aceptar el lote como una función de la tasa de defectos verdaderos p. Para un tamaño de muestra determinado n] y número de aceptación c], la curva OC muestra el rendimiento del proyecto en todos los niveles de calidad.

Herramientas de software para la cálculo de tamaño de muestra

Los cálculos manuales son de tiempo, especialmente para los planes de muestreo doble o múltiple. Varios paquetes de software y calculadoras en línea proporcionan determinación de tamaño muestral para el muestreo de aceptación:

  • R Statistical Software:] Los paquetes como permiten a los usuarios diseñar y evaluar los planes de muestreo, calcular las curvas de OC y encontrar óptimo n y c.
  • Minitab: Incluye un módulo dedicado de muestreo de aceptación para atributos y planes variables.
  • Calculadoras on-line: Los sitios web como el NIST Engineering Statistics Handbook proporcionan herramientas interactivas para generar planes de muestreo y curvas OC.
  • Tamaños de hoja de cálculo: Excel puede utilizarse con funciones integradas como para evaluar las probabilidades binomiales y realizar búsqueda iterativa para n] y c.

Estas herramientas reducen el riesgo de errores manuales y permiten el análisis de sensibilidad para comprender cómo los cambios en n] o c afectan el rendimiento del plan.

Ejemplo práctico: Diseño de un plan de muestreo único

Supongamos que un fabricante recibe un montón de 2.000 unidades y quiere utilizar un plan de muestreo de aceptación con un AQL de 1.0% y un LTPD de 5.0%. El productor acepta un riesgo α del 5% y el consumidor un riesgo β del 10%. Determinar el tamaño de la muestra n]] y número de aceptación c

]Paso 1: Usar una tabla estándar. Para el tamaño de la lotería 2000 y el nivel de inspección normal II, la letra de código es K. Desde ANSI/ASQ Z1.4, para AQL = 1,0%, la letra de código K da n] = 125 y c]]] [Este plan común es] 3.

[LT=0] [0]]Paso 2: Evaluar la curva de OC en el AQL y el LTPD. Usar la distribución binomio con n=125, [FLT: 0,2]c[FLT: 0,2]

[LT] [0,0] [4]] [4]] [4] [4]] [4]] [4]]] [4] [4]] [2]]] [2]]] [2]] [2]]] [2]]] [2]]] [2]]] [2]]] [2]] [2]]] [2]]]

Paso 3: Si se utiliza el enfoque de la fórmula, se establecen las dos desigualdades y se resuelven numéricamente. Utilizando el software, un plan con n=145, c]=4 da α=0.048 y β=0.099, cumpliendo con los requisitos que pueden ser más convenientes.

Planes de muestreo doble y múltiple

[LT] [LT] [LT] [LT] [LT] [4]

Los múltiples planes de muestreo extienden este concepto a varias etapas, reduciendo aún más el tamaño promedio de la muestra. Las normas como ANSI/ASQ Z1.4 también proporcionan planes de muestreo dobles y múltiples. El cálculo del tamaño de la muestra para estos planes implica computaciones de probabilidad más complejas, pero se aplican los mismos principios estadísticos. La curva OC y la curva promedio de la muestra (ASN) son herramientas clave para evaluar dichos planes.

Elegir el Plan de muestreo adecuado

La selección entre los planes de muestreo individuales, dobles o múltiples depende de varios factores: simplicidad administrativa, tamaño promedio de muestra, costo de prueba por unidad, y la disponibilidad de pruebas rápidas. Los planes de muestreo simple son más fáciles de administrar y son deterministas en el tamaño de la muestra. Los planes dobles y múltiples son más eficientes en términos de tamaño promedio de muestra, pero requieren una logística más compleja y posibles demoras si se necesita una segunda muestra.

Al calcular los tamaños de las muestras, siempre considere las siguientes mejores prácticas:

  • Use normas siempre que sea posible para asegurar la coherencia con la práctica industrial y los requisitos reglamentarios.
  • Validar la curva OC del plan para asegurar que cumple con los riesgos del productor y el consumidor especificados.
  • Para pequeños tamaños de lote, utilice la distribución hipergeométrica en lugar de aproximaciones para evitar errores.
  • Documentar las suposiciones (por ejemplo, AQL, LTPD, nivel de inspección) utilizadas en el cálculo del tamaño de la muestra.
  • Realizar exámenes periódicos de calidad para ajustar los planes de muestreo basados en el rendimiento del proceso real.

Conclusión

Calculando el tamaño correcto de la muestra para los planes de muestreo de aceptación es una tarea fundamental en la garantía de calidad. Al entender los factores clave —el tamaño de la lotería, el número de aceptación, los riesgos del productor y del consumidor, y aplicar métodos estadísticos como distribuciones binomio o hipergeométricas, los profesionales de calidad pueden diseñar planes que proporcionan una toma de decisiones confiable mientras controlan los costos de inspección.

Para más lectura, consulte la Guía de muestreo de aceptación de ASQ], la norma ISO 2859-1:1999, y la NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods para tablas detalladas y ejemplos.