Introducción

Los estudios de capacidad de procesos son una piedra angular del control de calidad estadística, proporcionando una medida cuantitativa de lo bien que un proceso de fabricación o servicio puede cumplir sus especificaciones. Aunque los estudios tradicionales univariados examinan una característica de calidad a la vez, muchos procesos reales implican múltiples variables interrelacionadas que deben ser consideradas juntas. Realizar un estudio de capacidad de proceso en un contexto multivariable es esencial cuando las características están correlativas, ya que evaluar cada variable por separado puede llevar a conclusiones de resultados avanzados.

Comprender la capacidad del proceso multivariable

La capacidad de proceso multivariable extiende los principios del análisis de la capacidad univariada a situaciones en las que dos o más características de calidad son simultáneamente importantes y a menudo correlacionadas. Por ejemplo, en un proceso de fabricación química, tanto la concentración como la temperatura de un producto pueden necesitar permanecer dentro de límites específicos, y estas variables interactúan frecuentemente. En tales casos, evaluar la capacidad utilizando sólo los índices individuales de Cp o Cpk para cada variable puede perder el comportamiento conjunto que define la calidad del producto.

La diferencia clave entre la capacidad univariada y multivariada es el tratamiento de la correlación. Un proceso puede parecer capaz para cada variable individualmente, pero la combinación de variables podría producir una alta proporción de unidades no conformantes que caen fuera de una región de especificación multivariada.

Otro concepto importante es el uso del análisis principal de componentes (PCA) para reducir la dimensionalidad preservando la estructura esencial de los datos. Al transformar las variables originales correlativas en componentes principales no relacionados, los analistas pueden calcular índices de capacidad de esos componentes o directamente en el espacio original utilizando la estadística T2 de Hotelling. La elección del método depende de la naturaleza de las especificaciones y los supuestos subyacentes de normalidad y linearidad.

Pasos para realizar un estudio de la capacidad multivariable del proceso

1. Definir el proceso y las variables

Comience por identificar claramente los límites del proceso y las características clave de calidad que deben ser controladas. Intente con los ingenieros de procesos, operadores y administradores de calidad seleccionar variables que son tanto críticas a los requisitos del cliente y que puedan mostrar correlación. Documente los límites de especificación para cada variable, señalando si son bilaterales (upper y menores) o unilaterales. Cuando las especificaciones se definen como una región (por ejemplo, un rectángulo o elipse en dos dimensiones).

También es importante determinar si el proceso es estable y en estado de control estadístico antes de intentar análisis de capacidades. Use los gráficos de control (como el gráfico de control T2 de Hotelling) para verificar que el proceso no presenta variaciones especiales de causa durante el período de reunión de datos.

2. Recopilar datos de los representantes

La recogida de datos para la capacidad multivariada requiere una planificación cuidadosa para asegurar que la muestra represente adecuadamente la variación del proceso en condiciones normales de funcionamiento. Una regla común del pulgar es recoger al menos 100 a 150 observaciones cuando el número de variables es pequeño (por ejemplo, 2–5), pero las muestras más grandes se hacen necesarias a medida que aumenta la dimensionalidad. La muestra debe abarcar un período suficiente para capturar la variación de causa común, como cambios en materia prima, cambios ambientales o desgaste de herramientas.

Recordar datos a tiempo para permitir cheques de autocorrelación y tendencias. Si el proceso está orientado al lote, considere el muestreo a través de lotes y dentro de lotes para capturar la variación a corto y largo plazo. Documentar cualquier ajuste de proceso o eventos de mantenimiento que ocurran durante el muestreo, ya que pueden ayudar a explicar anomalías más adelante.

3. Evaluar la calidad y los ensamblajes de datos

Antes de construir cualquier modelo multivariable, inspeccione los datos para los outliers, valores perdidos y salidas de la normalidad. Para la normalidad multivariada, puede utilizar el test de Mardia o una trama cuntil–cuántil de las distancias cuadradas de Mahalanobis. Si los datos se desvían significativamente de la normalidad, considere transformaciones (por ejemplo, Box-Cox) o enfoques noparamétricos.

Comprobar la multicollinearidad utilizando matrices de correlación y factores de inflación de varianza (VIFs). La alta multicollinearidad puede desestabilizar los cálculos de índice de capacidad y puede requerir reducción de la dimensional mediante PCA o selección de subconjuntos variables. Verifique también que el proceso es estable mediante la trama de los datos en orden de tiempo y el uso de gráficos de control multivariados.

4. Analizar las relaciones variables

Comprender la estructura de correlación es central a la capacidad multivariada. Computar la matriz de correlación de muestra y visualizarla usando matrices o mapas de calor dispersos. Si las variables están altamente correlacionadas, considere el análisis principal de componentes (PCA) para transformarlas en componentes no cocorreccionados. PCA no sólo simplifica el análisis sino que también revela qué direcciones en el espacio variable contribuyen más a la variación general.

Otra técnica útil es el análisis de factores, que puede identificar factores latentes que impulsan las correlaciones. Sin embargo, para la mayoría de los estudios de capacidad, PCA es preferido porque se relaciona directamente con la varianza contabilizada y se puede utilizar para calcular índices de capacidad en las puntuaciones de componentes.

5. Modelar el proceso

Existen varios enfoques de modelado para el análisis de la capacidad multivariable:

  • Estadística T2 de Hotelling: Para un proceso que es multivariable normalmente distribuido, la estadística T2 mide la distancia de la muestra media al objetivo. Puede calcular la proporción de puntos de datos que se encuentran dentro de un límite de control T2 especificado, que sirve como medida de capacidad.
  • Análisis principal de componentes (PCA): Después de PCA, puede calcular índices de capacidad univariados en cada componente principal, porque los componentes son independientes. Sin embargo, los límites de especificación original deben ser transformados en el espacio de componentes, que pueden ser complejos si los límites no son elípticos.
  • Índices de capacidad de Multivariate (Cp]MV y CpkMV): Estos índices son extensiones de Cp y Cpk que utilizan el concepto de una región de tolerancia de formulación multivariada (detenidos una variación de ellipsoide

Cuando las especificaciones forman una región rectangular (el caso más común en la práctica), un enfoque común es utilizar la proporción de unidades no conformes estimadas de la distribución normal multivariada. Esta proporción se puede convertir en un índice de capacidad análogo a Cpk utilizando una transformación normal inversa.

6. Cálculo de índices de capacidad

Veamos más de cerca el cálculo de CpMV. Supongamos que tenemos dos variables (X1, X2) con una distribución bivariada normal. La región de especificación se define por los límites de especificación inferiores y superiores (LSL1, USL1, LSL2, USL2).La variación del proceso se describe por la matriz de covariancia .

CpMV = (Volumen de región de especificación) / (Volumen de región de variación de procesos)

La región de variación de proceso se define como el elipsoide más pequeño que contiene una cierta proporción (normalmente 99.73%) de la producción de proceso, correspondiente a una esfera de 3-sigma en el espacio multivariable. El volumen de un elipsoide p-dimensional es proporcional a la raíz cuadrada del determinante de la matriz de covariancia. Por lo tanto, Cp]MV

CpMV = ( ⁇ (USLi]i i ) / (χ2 ) [FLT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT]] [FLT] [

donde χ2p, 0.9973] es el valor crítico de la par de la libertad para el 99,73% de cobertura.

[LT2] [FLT] MV, que representa el enfoque de procesos, un índice común es el propuesto por Chan, Cheng y Spiring (1988). Utiliza la relación de la distancia del proceso significa al límite de especificación más cercano a lo largo de la dirección multivariada a la variación de proceso en esa dirección.

7. Interpretar resultados e identificar áreas de mejora

La interpretación de los índices de capacidad multivariable requiere atención. Un valor de CpMV mayor a 1 indica que la variación del proceso ocupa una región más pequeña que la región de especificación, pero no garantiza que el proceso esté centrado. CpkMV] debe ser utilizado para evaluar el enfoque.

Examinar qué variables contribuyen más a la falta de capacidad. Las cargas PCA pueden indicar qué variables originales impulsan los componentes principales con baja capacidad. Por ejemplo, si el primer componente principal (que explica la mayor variación) muestra un índice de baja capacidad, las variables con altas cargas en ese componente son los primeros candidatos para la mejora del proceso.

Parcela los datos y la región de especificación (por ejemplo, superpone un elipse de confianza del 99.73% en una parcela dispersa) para evaluar visualmente cómo el proceso se compara con las especificaciones. Busque grupos de puntos cerca de un límite de especificación o fuera de la región.

Herramientas y técnicas

Análisis de componentes principales (PCA)

PCA transforma un conjunto de variables correlativas en un conjunto más pequeño de componentes principales no correlativos que capturan la varianza máxima. Es especialmente útil cuando el número de variables es grande (por ejemplo, 10 o más) o cuando existe multicollinearidad. Después de PCA, puede calcular índices de capacidad univariate en los primeros pocos componentes que representan la mayoría de la variación. Sin embargo, interpretar estos índices en términos de la copia de espalda original requiere.

Cargos de control multivariable

Antes de realizar el análisis de la capacidad, utilice gráficos de control multivariados como el gráfico T2 de Hotelling (para análisis de fase I) y gráficos MEWMA o MCUSUM (para monitoreo de fase II). Un proceso estable es un requisito previo para estimaciones de la capacidad válidas. El gráfico T2 muestra la distancia total del objetivo; un punto por encima del límite de control sugiere un outlier multivariado o un cambio de proceso.

Índices de capacidad multivariable

Además de CpMV] y CpkMV], existen otros índices, como el índice de capacidad multivariable propuesto por Wierda (1992) basado en la proporción de unidades no conformes. Los paquetes de software como Minitab, JMP y R (utilizando las funciones [F compF limit]

Interpretación de resultados de la capacidad multivariable

Al interpretar la salida de un estudio de capacidad multivariable, considere las siguientes pautas:

  • Cp]MV √≥1.33:] La variación del proceso está bien dentro de la región de especificación, indicando una excelente capacidad potencial.
  • 1.00 ≤ Cp]MV ≤ 1.33:] El proceso es capaz de ser controlado para evitar el deterioro.
  • CpMV < 1.00: La variación del proceso excede la región de especificación; se necesita una mejora inmediata.
  • CpkMV vs. CpMV: Una gran brecha indica que el proceso está fuera de centro. Enfóquese en ajustar la media hacia el objetivo.
  • ] Índices multivariables univariados vs.: Si los valores univariados de Cp/Cpk son todos índices altos pero multivariables son bajos, la correlación entre variables es el probable culpable. La reducción de la correlación mediante cambios de diseño o mejor control de los insumos puede ayudar.

Tenga en cuenta que los índices de capacidad multivariados son sensibles a la hipótesis de la normalidad multivariada. Si los datos no son normales, considere utilizar métodos no paramétricos que estiman la proporción de unidades no conformes directamente de la distribución empírica, como el enfoque multivariable descrito por Shore (2005).

Mejores prácticas y saltos comunes

Buenas prácticas

  • Colectar datos suficientes: Objetivo para al menos 100 observaciones para casos de baja dimensión, más para dimensiones superiores. Use análisis de potencia para determinar el tamaño de la muestra para la precisión requerida.
  • Verificar supuestos: Siempre prueba para la normalidad y la estructura de correlación multivariada antes de los índices de computación. Usar transformaciones si es necesario.
  • Utilizar el software adecuado: Promedio de paquetes estadísticos que apoyan el análisis de capacidades multivariable, como Minitab, JMP, R o Python con bibliotecas como y . El e-Handbook NIST/SEMATECH ofrece orientaciones detalladas y ejemplos. [LTH2]
  • Colabora con expertos en dominio: Trabaja con ingenieros de procesos y estadísticos para asegurar que las variables y especificaciones elegidas sean significativas y que el análisis se ajuste a las limitaciones prácticas.
  • Validar el modelo: Utilizar datos de retención o validación cruzada para confirmar que las estimaciones de capacidad son fiables y estables con el tiempo.

Pitfalls comunes

  • Ignorando la correlación: Este es el error más frecuente. La capacidad univar puede verse bien, pero las variables correlativas pueden causar un alto porcentaje de unidades no conformantes. Realizar siempre un análisis multivariable cuando se conocen o se sospecha que las variables están correlacionadas.
  • Usando datos insuficientes: Las muestras pequeñas conducen a errores de muestreo grandes en las estimaciones de la matriz de covariancia, lo que da lugar a índices de capacidad inalcanzables.
  • ] Calidad de los datos: Los valores y los datos perdidos pueden distorsionar severamente los índices multivariados. Realizar limpieza de datos rigurosa.
  • ]Indices de interpretación: CpMV] no cuenta con el centro; siempre usa CpkMV en conjunto. Además, recuerde que muchos índices dependen de la forma de la región de especificación; especificaciones rectangulares pueden requerir un enfoque diferente al elliptical.
  • Aplicar métodos multivariados a procesos inestables:] El análisis de la capacidad no tiene sentido si el proceso no está en control estadístico. Controle primero el proceso y luego evalúe la capacidad.

Conclusión

La realización de un estudio de capacidad de proceso en un contexto multivariable es más compleja que su contraparte univariada, pero proporciona una imagen mucho más precisa del rendimiento de proceso cuando las variables interactúan. Al definir cuidadosamente, recopilar datos representativos, verificar supuestos, utilizando herramientas estadísticas apropiadas como PCA y el T2 de Hotelling, y computar índices de capacidad multivariable robustos, las organizaciones pueden identificar más el estado de producción y mejoras de objetivo.