Fundaciones matemáticas de filtros Kalman extendidos en la localización de robots

El filtro de Kalman Extended (EKF) es un algoritmo ampliamente utilizado en la localización de robots. Estima la posición y orientación del robot combinando datos de sensores con un modelo matemático del movimiento del robot. Entender las bases matemáticas de EKF es esencial para la implementación y ajuste eficaz.

Representación y predicción del Estado

El núcleo de EKF implica representar el estado del robot como vector, incluyendo típicamente la posición y la orientación. El paso de predicción utiliza un modelo de movimiento no lineal para proyectar el estado actual hacia adelante en el tiempo. Esto implica calcular la matriz jacobina del modelo de movimiento para linearizar las ecuaciones no lineales alrededor de la estimación actual.

Actualización de la medición y linealización

Las mediciones de sensores se incorporan a través del paso de actualización. Como las mediciones son a menudo funciones no lineales del estado, EKF linealiza estas funciones utilizando sus Jacobianos. Este proceso ajusta el estado predicho basado en la diferencia entre las lecturas de sensores esperadas y reales.

Ecuaciones matemáticas

Las ecuaciones de predicción son:

Predicción del Estado:

x ⁇ k+1− = f(x ⁇ k, uk)

Predicción de laCovariancia:

Pk+1− = Fk Pk Fkt + Qk

donde f es el modelo de movimiento no lineal, Fk es su Jacobian, P es la matriz de covariancia, y Q es la covariancia de ruido de proceso.

Las ecuaciones de actualización son:

Ganancia de los hombres:

Kk = Pk− Hkt (Hk Pk− Hkt + Rk)−1

Actualización del Estado:

x ⁇ k = x ⁇ k + Kk (zk - h(x ⁇ k−))

Actualización de laCovariancia:

Pk = (I - Kk Hk) Pk−

Aquí, h es el modelo de medición no lineal, Hk es su Jacobian, Rk es la covariancia de ruido de medición, y zk es la medición de sensores real.