Introducción al diseño de filtros IIR

Los filtros de respuesta impulse infinito (IIR) son una piedra angular del procesamiento digital de señales, ofreciendo una selectividad de frecuencia eficiente con menos coeficientes que sus contrapartes de respuesta impulse finito (FIR). Conducir una función de transferencia de filtro IIR de un conjunto de especificaciones de rendimiento es un proceso sistemático que combina la teoría de prototipos analógicos con técnicas de transformación digital.

Comprender las especificaciones del filtro

Cada diseño de filtro comienza con un conjunto claro de requisitos. Cuanto más precisamente se definen, más fácil se convierte en seleccionar un prototipo apropiado y determinar el orden requerido.

  • ] Frecuencia de borde de banda (ωp): La frecuencia superior (o inferior) de la banda de paso, a menudo dada en radians por segundo o Hz. Para filtros de baja velocidad, esta es la frecuencia de corte donde la ganancia comienza a caer.
  • Frecuencia de borde de banda ancha (ω]s]):] La frecuencia más allá de la cual la atenuación debe ser al menos el valor de banda de parada especificado.
  • ]Passband ripple (δp): La variación máxima permitible en ganancia dentro de la banda, generalmente expresada en decibeles (dB) como Ap = 20 log10(1+δp] [FLT] [B] [
  • Atenuación de la banda ancha (A]s]):] La atenuación mínima requerida en la banda de parada, expresada en dB (p. ej., 60 dB). Esto equivale a la ganancia máxima permitida de la banda de parada.
  • Tipo de filtro: Baja pasa, alto paso, paso de banda, tapa de banda o todo. Cada una requiere una transformación de frecuencia diferente.
  • Frecuencia de muestreo (F]s]):] Crítica para la implementación digital, ya que todas las frecuencias analógicas deben ser normalizadas a la gama Nyquist (0 a Fs/2).

Otras consideraciones pueden incluir requisitos de linearidad de fase (a menudo mejor cumplidos por filtros Bessel o FIR) y límites de recursos computacionales. Todas las especificaciones deben ser registradas tanto en los dominios analógicos (prewarped) como digitales para evitar confusión durante la transformación.

Selección del Prototipo de Filtro

El prototipo es un filtro analógico de baja velocidad con una frecuencia de corte normalizada de 1 rad/s. Cuatro prototipos clásicos son ampliamente utilizados, cada uno ofrece un cambio diferente entre la onda de banda, la atenuación de la banda de parada y la linealidad de fase.

Filtro de Butterworth

El filtro Butterworth proporciona una respuesta de bandas planas máximas sin onda. Su ganancia disminuye monotonicamente con frecuencia, y su rebote es moderado — 20n dB/decade para un filtro de nth order. Es ideal cuando se requiere una magnitud de banda ancha suave y la atenuación de la banda de parada moderada es aceptable.

Chebyshev Tipo I Filtro

Los filtros Chebyshev Tipo I introducen el equiripple en la banda de paso pero logran un giro más pronunciado en la frecuencia de corte en comparación con Butterworth. La onda de banda de paso se especifica (por ejemplo, 0,5 dB). Estos filtros son útiles cuando se necesita una banda de transición más aguda, pero la onda de banda de pasas se puede tolerar.

Chebyshev Tipo II (Inverse Chebyshev) Filtro

Tipo II tiene ondulación en la banda de parada y una banda plana. Ofrece un rodillo empinado justo antes de la banda de parada, pero la banda de parada exhibe atenuación equiripple. Este tipo se selecciona cuando una banda plana es obligatoria pero una variación de parálisis es aceptable.

Filtro Elíptico (Cauer)

Los filtros elípticos proporcionan el mayor lanzamiento posible para un pedido dado permitiendo el ondulado en ambos lazos y la banda de parada. Son óptimos para aplicaciones que requieren alta selectividad con un orden de filtro bajo, como filtros antialiasing o separación de canales. El trade‐off es una fase no lineal significativa y sensibilidad a la cuantificación de coeficiente.

Filtro de oveja

Los filtros de oveja maximizan la flatness de retraso en grupo, preservando la forma de las señales de tiempo-dominio. Su respuesta de magnitud tiene un lanzamiento más lento que Butterworth, haciéndolos adecuados para comunicaciones basadas en pulsos o donde la fase lineal es crítica.

La elección depende de las especificaciones. Por ejemplo, si la onda de banda pasada debe ser inferior a 0.1 dB y se necesita una atenuación de banda de 60 dB, un diseño tipo I o elíptico Chebyshev podría ser apropiado. Recursos en línea como Butterworth filter, ]

Determinación de la orden de filtro requerida

Una vez que el tipo de prototipo es elegido, el orden mínimo n] que satisface tanto la atenuación de la banda de paso y la banda de parálisis debe ser calculado. Para los filtros Butterworth y Chebyshev, existen expresiones de forma cerrada. Por ejemplo, para un filtro de paso bajo Butterworth:

[FLT]] ] ceil( log10(((((((]0.1A)] ] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT] [10]]] [FLT] [

s ]s [FLT] [FLT]] ]s ] son las tablas de onda de onda de onda de onda de dB, y ωp [FLT]

Conducir la función de transferencia analógica H(s)

Con el tipo de prototipo y el orden conocido, el siguiente paso es obtener la función normalizada de transferencia de baja velocidad H(s)] con un corte de 1 rad/s. Para cada prototipo, los polos (y ceros para elíptico/Chebyshev Tipo II) son conocidos analíticamente.

  • Butterworth:] Los polacos se encuentran en un círculo de radio 1 en el medio plano izquierdo en ángulos (2k+1)π/(2n) + π/2, para k = 0,1,...,n−1. No hay ceros finitos.
  • Chebyshev Tipo I: Los polacos se encuentran en un elipse con foci en ± jωp. El eje menor está relacionado con el factor de onda ε = √(100.1A]p[FLT] [FLT]
  • Chebyshev Tipo II: Tiene ambos polos y ceros en el eje imaginario (marido superior). Los ceros están en s = ± j ωs / cos(...
  • Elíptico: Involucra funciones elípticas jacobinas; los polos y los ceros están disponibles en tablas o a través de rutinas numéricas.

La función de transferencia se forma entonces como una relación de polinomios: H(s) = K * N(s) / D(s), donde la ganancia K normaliza la respuesta de magnitud (por ejemplo, K = 1 para la ganancia de unidad DC). Para un prototipo de baja velocidad, H(s) es de baja relación con ω[LT][LT]

Transformaciones de frecuencias de aplicación

El filtro de prototipo normalizado debe ser transformado para satisfacer la frecuencia de corte deseada y el tipo de filtro. Las transformaciones de frecuencia reemplazan la variable compleja s] con una función de s] que mapea la respuesta prototipo a la banda anhelada.

Bajas paso a baja paso

Sustitúyase s] por s / ωc , donde ωc] es la frecuencia angular de corte deseada. Esto escala todas las frecuencias de polo y cero linealmente.

Bajas paso a paso alto

Sustituto s → ωc] / s]. Esto convierte ceros y polos recíprocamente, invirtiendo la respuesta de la magnitud.

Pasaje bajo a Band‐pass

La transformación de bandas es s → (s2 + ω]02) / (s Δω)], donde ω0 es la frecuencia central y Δω el ancho de banda. Esto duplica el orden porque se aplica un mapeo de segundo orden.

Bajas paso a la parada de banda

Similar a la banda-pass, pero con s → s Δω / (s2 + ω02)].

Después de la transformación, la función de transferencia H(s)] se expresa ahora en términos de la variable de frecuencia angular analógica que corresponde a los bordes de banda ancha deseados. En este punto, el filtro es todavía un diseño analógico; el siguiente paso lo convierte en un filtro digital.

Discretar el filtro usando la transformación bilineal

El método más utilizado para convertir el analógico H(s)] a un digital H(z) es el cambio bilineal:

s = (2/T) · (1 – z−1) / (1 + z−1)]

donde T] es el período de muestreo. Esta transformación mapea todo el plano izquierdo-medio en el círculo de unidad en el plano z, garantizando la estabilidad (siempre que el filtro analógico es estable). Sin embargo, el mapeo introduce el control de frecuencia: la frecuencia analógica Ω y la frecuencia digital ω están relacionados por

Ω = (2/T) tan( ω/2 )].

Para compensar, las frecuencias de corte analógicas utilizadas en la transformación deben ser preencadenadas. Si el corte digital deseado es ωd] (en radians por muestra), prewarp a Ωanlog] = (2/T) tan( ω] se aplica la función de transferencia analógica.

La transformación bilineal resulta en una función racional en z−1 del mismo orden que el filtro analógico. Los coeficientes pueden ser obtenidos por sustitución algebraica y expansión polinomio, o más comúnmente mediante el uso de funciones de diseño de filtros digitales en software como la función de MATLAB .

Expresando la función de transferencia final H(z)

Después de la descretización, la función de transferencia es una relación de polinomios en z−1:

H(z) = (b0 + b1 z−1 + ... + b]N z−N) / (1 + a1 z−1 + ... + a]M z−]M[FLT][LT] [F[4)]]

N] y M]] son típicamente iguales (el orden de filtro). Para una sección de segunda orden (SOS), los coeficientes se escriben a menudo como:

H(z) = (b0 + b1 z−1 + b2 z−2) / (1 + a1 z−1 + a2 z−2)

Los filtros de orden superior deben ser factorados en secciones de segundo orden cascada para mejorar la estabilidad numérica y reducir el ruido de cuarentena. La aplicación de la ecuación diferencia se deriva directamente de H(z):

y[n] = b0 x[n] + b1 x[n−1] + bN x[n−N] – a1 y[n−1] – aM y[n−M]

Consideraciones prácticas

La realización de una función de transferencia teórica es sólo parte del diseño; la implementación exitosa requiere atención a las realidades de procesamiento de señales digitales (DSP):

  • Efectos de cuantificación: La aritmética de precisión finita puede cambiar los polos, causando inestabilidad o alterando la respuesta de frecuencia. Use secciones de segundo orden con una longitud suficiente de palabra (por ejemplo, punto flotante de 32 bits o punto fijo de 24 bits).
  • ] Escalando: Las señales de entrada y salida deben ser escaladas para evitar el desbordamiento de los sistemas de puntos fijos. Se deben gestionar los beneficios intermedios de los nodos en cada etapa SOS.
  • Ferción de la presión: Los filtros IIR introducen fase no lineal, que puede ser inaceptable en ciertas aplicaciones. Si la linealidad de fase es crítica, considere un filtro FIR o un prototipo Bessel.
  • ]Iniciar los transientes: La memoria infinita de los filtros IIR causa un transitorio inicial; esto puede ser mitigado mediante la inicialización de las variables del estado o permitiendo un período de calentamiento.
  • Limitaciones de tiempo real: El número de operaciones multi-acumuladas por muestra afecta directamente la producción de rendimiento. Use código optimizado y considere las aproximaciones polinomios para el cálculo del coeficiente.

Ejemplo: Diseño de un filtro de bajo par de Chebyshev Tipo I

Supongamos que necesitamos un filtro digital de baja velocidad con las siguientes especificaciones:

  • Frecuencia de muestreo: 10 kHz
  • Filo de banda ancha: 2 kHz (ωp] = 0.4π rad/sample)
  • Borde de banda: 3 kHz (ωs = 0.6π rad/sample)
  • Banda de paso: 1 dB
  • Atenuación de la banda de parálisis: 40 dB

]Paso 1:] Preencadenar las frecuencias analógicas utilizando T = 1/10000 s. Ωp = 2 × 104 tan(0.4π/2) ♥ 2 × 104 1.376 ♥ 27520 rad/s; Ω × 2π]

Paso 2:] Determinar el orden utilizando la fórmula Chebyshev Tipo I: con 1 dB ondul y 40 dB atenuación, orden n ♥ 4 (redondeado).

Paso 3:] Encontrar la función normalizada de transferencia de Chebyshev Tipo I para n=4, 1 dB ondulado (poles y ganancia disponibles en tablas). Ejemplo del diseño estándar: H(s) = K / (s2 + 0.3473s + 0.8591)(s2 + 0.8506s + 0.3381) .

Paso 4:] Aplicar paso bajo preencadenado a la transformación de baja altura: reemplazar s con s / Ωp]. Esto produce nuevos coeficientes polinomios.

Paso 5:] Aplicar la transformación bilineal a la función de transferencia analógica preencadenada. Usar una herramienta o sustitución manual produce b y coeficientes para cada sección de segundo orden. La última H(z) estará en forma SOS cascada.

Este ejemplo, aunque se condensa, ilustra todo el oleoducto. Para la computación numérica completa, consulte la documentación del software DSP o referencias estándar.

Conclusión

El procesamiento de la función de transferencia de filtros IIR de especificaciones es un proceso metódico que se mueve de los requisitos a la selección de prototipos, determinación de pedidos, derivación de la función de transferencia analógica, transformación de frecuencias, discretización y aplicación. Cada paso tiene bases matemáticas bien establecidas y cambios prácticos. Al entender estos fundamentos, puede diseñar filtros que cumplan con criterios de rendimiento estrictos con los mínimos componentes computacionales.