Comprender el diagrama de Nyquist

La trama de Nyquist es una herramienta fundamental en la ingeniería de control, utilizada para analizar la estabilidad de los sistemas de retroalimentación. Nombrada después de Harry Nyquist, esta representación gráfica representa la respuesta de frecuencia de un sistema mediante la trama de la función de transferencia compleja G(jω) como la frecuencia angular ω varia de 0 a ∞.

El argumento de la construcción de N.F. [LT] [4]], que se extiende directamente a través del plano de construcción complejo, debe comprender el concepto de la lógica [FLT] [4]

Evaluación de la función de transferencia compleja

[LT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT] [FLT]] [FLT]] [FLT]]] s ]] = σ + s [FLT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT]

G(jω)H(jω) = Re(ω) + j Im(ω) = M(ω) e^{jφ(ω)}

Aquí, M(ω)] es la magnitud (también llamada ganancia) y φ(ω)] es el ángulo de fase. Construir la trama de Nyquist implica evaluar G(jω)H(jω)[FNIC:5]] en muchos puntos de dinámica y trama

Para calcular G(jω)H(jω)] matemáticamente, considere una función de transferencia general factorizada en polos y ceros:

G(s)H(s) = K \frac{\prod {i=1}^{m} (s - z i)}{\prod {k=1} {n} (s - p k)}

s = j]] Identificar, cada término se convierte en un vector complejo desde la ubicación cero o poste hasta el punto j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pasos de construcción matemática

La construcción de una parcela de Nyquist a mano (o utilizando software) implica una evaluación sistemática de G(jω)H(jω)] sobre un rango de frecuencias.

  1. ]Identidad de la función de transferencia y escríbala en forma Bode (poles y ceros). Para los sistemas con retrasos en el tiempo, incluya el factor e^{-jωT}].
  2. Computar la magnitud y la fase en un conjunto de frecuencias. Típicamente, se eligen frecuencias bajas (cerca de 0) y frecuencias altas (cerca de їных) con puntos intermedios cerca de las frecuencias de rotura (donde las contribuciones de polo o cero cambian de signo).
  3. ]Iniciar en ω = 0: El punto depende del tipo de sistema. Para el tipo 0 (sin integradores), la parcela comienza en K (el beneficio DC) del eje real positivo. Para el tipo 1 (un integrador), la parcela comienza en una magnitud infinita con una fase de ∙90°.
  4. Puntos de trama en frecuencias crecientes], conectándolos suavemente. A medida que aumenta la frecuencia, la curva generalmente se mueve hacia el origen (desde la magnitud disminuye).La fase puede cruzar −180° a la frecuencia de cruce de fase donde la magnitud es crítica para el análisis de estabilidad.
  5. Mirror para frecuencias negativas (si se utiliza el contorno completo de Nyquist). La trama para ω de −∞ a 0 es el complejo conjugado de la trama para NIC positivo, reflejado en el eje real. Combinado con la rama de frecuencia positiva (y el semicírculo infinito si el sistema tiene un exceso de polo-cero neto), el camino completo de Nyquist es obtenido.
  6. Identificar el número de circunscripciones de −1 + 0]j para aplicar el criterio de estabilidad.

Matemáticamente, la curva de Nyquist para frecuencias positivas puede ser parametizada como ω Marítima [0,∞). Para sistemas con grado relativo (n − m) ≥ 1, la curva termina en el origen, acercándose a ella con una fase de − (n−m)×90°. Para el grado relativo 0 (samo número de polos y ceros), el punto final es un número finito no-cero ►.

La Criterio de Estabilidad de Nyquist en Detalle

[LT] [LT] [FLT] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [L] [S] [L] [L] [L] [L] [L] [L]

[LT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT] [FLT] [F] [FLT] [4]] [4]] [4]] [4]

N = Z − P

Donde:

  • N] = número de circunscripciones de −1 + 0j por la parcela de Nyquist (contada en una dirección de reloj como positiva, en sentido contrario como negativa).
  • Z] = número de polos cerrados en el RHP (zeros de 1 + G(s)H(s) en el RHP.
  • P = número de polos abiertos en el RHP.

[LT] [LT] [FLT] [L]] [L]] [L] [L]] [L]] [L]] [L] [L]] [L] [L]] [L] [L] [L]] [L] [L]] [L]] [L]] [L]]

Aplicando el Criterio: Conteo de Encirclement

Contando rigurosos círculos implica analizar el camino de Nyquist sobre el contorno completo, incluyendo el mapeo del semicírculo infinito. Para sistemas con grado relativo ≥ 1, los mapas de semicírculo infinito a un pequeño círculo alrededor del origen en el plano G(s)H(s)] (o a un punto fijo si grado relativo cero).

  1. Dibujar la trama de Nyquist para ω de 0 a ∞.
  2. Reflejalo a través del eje real para ω de 0 a −∞.
  3. Si el sistema tiene postes en el eje imaginario (por ejemplo, integradores), seña el contorno Nyquist con pequeños semicírculos a la derecha para evitar estos polos, y mapea esas indentaciones a arcos grandes en el plano G(s)H(s)].
  4. Contar el número neto de circunscripciones en sentido de reloj de −1 por rastrear la curva cerrada completa (incluyendo el mapeo de semicírculo infinito).

Matemáticamente, el recuento de circunvalación N] puede ser calculado a través del número de enrollamiento integral:

N = \frac{1}{2πj} \oint {Nyquist \, contour} \frac{G'(s)H'(s)}{1+G(s)H(s)} \, ds

[LT][FLT][FLT][4] [FLT] [4]] [Fátimamente se evalúa analíticamente; los ingenieros dependen de herramientas de inspección geométrica o software. La idea clave es que los círculos ocurren cuando la fase G(jω)H(jω)[FLT] [FLT2] [FLT]

Ejemplos prácticos de construcción

Para solidificar el entendimiento, consideramos un sistema simple de primera orden y un sistema de segunda orden con amortiguación.

Sistema de Primera Orden: G(s) = 1/(s+1)]

[LT] [FLT] [4]] [4]] [4]] [4]]] [4]] [4]]] [4]]] [4]]

Sistema de segundo orden con represamiento: G(s) = ω n2/(s2 + 2cepticula n s + ω n2)

[LT] [LT] [4] El sistema de N°2 se encuentra en la fase de la N° 180, y no se puede utilizar en la fase de la PN.

Para ver una adecuada fase de cruce, considere un sistema con un polo adicional a baja frecuencia: G(s) = 1/(s+1)(s2 + 2 segundos s + 1)). Aquí la fase puede cruzar −180° en alguna NIC finita, y la parcela puede circundar −1 si la ganancia es suficientemente alta.

Conectando Nyquist, Bode y Nichols Plots

La trama de Nyquist está íntimamente relacionada con la trama de Bode (magnitud y fase) y la tabla de Nichols. La trama de Bode proporciona la magnitud en dB y la fase en grados como funciones de frecuencia de registro. La trama de Nyquist es una combinación paramétrica de la magnitud y fase: cada punto en la curva de Nyquist corresponde a una magnitud y fase dada.

El gráfico Nichols transforma la trama Nyquist en una trama cartesiana de magnitud (dB) vs fase (dg). Esta transformación es útil para diseñar controladores porque se ven fácilmente los márgenes de ganancia y fase, y la respuesta de cierre puede leerse usando M-circles. Las tres representaciones son equivalentes matemáticamente; elegir uno depende del contexto y la preferencia del ingeniero.

Limitaciones y consideraciones avanzadas

Mientras que poderoso, la trama de Nyquist tiene limitaciones que los ingenieros deben reconocer. Primero, para sistemas con retrasos de tiempo, la curva de Nyquist se convierte en infinita y altamente curvada, requiriendo un manejo cuidadoso de la cartografía semicircular infinita. La demora añade un cambio de fase −ωT que acumula linealmente, causando que la trama de Nyquist excluya hacia dentro o hacia fuera dependiendo del retraso.

En segundo lugar, la trama de Nyquist como se describe es para sistemas de tiempo continuo. Para sistemas discretos (z-dominio), el contorno de Nyquist se convierte en el círculo de unidad, y el criterio de estabilidad examina los círculos de −1 en el plano w o el uso de la transformación bilineal en mapa al plano s. Los cimientos matemáticos siguen siendo similares, pero los cambios de contorno.

Tercero, el criterio de Nyquist supone que el sistema de cierre cerrado es estable si y sólo si el encirco de trama abierto de Nyquist −1 adecuadamente. Sin embargo, esto requiere que el carácter de los polos de apertura en el RHP se conoce a priori infinito. Si la función de transferencia de apertura tiene polos en el axidentrismo puro

Finalmente, la trama de Nyquist es una herramienta de dominio de frecuencias; proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad sólo para sistemas lineales de tiempo invariable (LTI). Para sistemas no lineales o de tiempo, el criterio de Nyquist no se aplica directamente, aunque existen extensiones como el criterio del círculo para ciertas clases de no linearidades.

Conclusión

La construcción de una trama de Nyquist está profundamente arraigada en un análisis complejo, en particular la cartografía del contorno de Nyquist a través de la función de transferencia abierta y el principio del argumento. Al dominar los pasos matemáticos – valorar G(jω)H(jω) , interpretar los puntos complejos, y contar los métodos de visión de −1 potentes

Para más lectura, consulte los libros de texto estándar como El artículo de Wikipedia sobre el criterio de estabilidad de Nyquist, ] Tutoriales de control para MATLAB y Simulink, o el texto clásico ]]Ingeniería de control moderno].