La vitesse de sédimentation – vitesse terminale à laquelle une particule descend sous la gravité par un liquide ou un gaz – détermine l'efficacité des clarificateurs, le transport des sédiments dans les rivières, la formation de roches sédimentaires et la séparation des cellules dans le biotraitement. Une prédiction précise de cette vitesse exige de tenir compte de la taille, de la densité, de la forme, de la viscosité du fluide et du régime d'écoulement. Cet article fournit un guide complet pour calculer la vitesse de sédimentation pour différents types de particules, des sphères idéales aux agrégats irréguliers, et explore les équations de régulation, les corrections et les techniques de mesure pratiques.

La physique de la sédimentation : paramètres clés

La sédimentation se produit lorsque la force gravitationnelle agissant sur une particule dépasse la force de flottaison et que la traînée visqueuse résiste à son mouvement. À vitesse terminale, la force gravitationnelle nette égale la force de traînée. Les principaux paramètres qui influencent cet équilibre sont :

  • Densité des particules (ρp[)[ et densité des fluides (ρf)[ — la différence de densité Δρ = ρ[]p − ρ[]f] fournit la force motrice.
  • Taille des particules[ — habituellement exprimée en un diamètre équivalent. Pour les sédiments naturels, le diamètre du tamis ou le diamètre des Stokes est couramment utilisé.
  • Viscosité du fluide (η) — la résistance au débit, qui dépend de la température et de la composition du fluide.
  • Forme des particules — les particules non sphériques subissent une traînée différente et se déposent souvent plus lentement que les sphères de la même masse.
  • Régime de fuite[ — caractérisé par le nombre de particules Reynolds (Re = ρf v d / η). La basse Re correspond au débit laminaire (régime Stokes), tandis que la haute Re indique le débit turbulent.

Ces paramètres sont combinés dans diverses formules empiriques et théoriques pour estimer la vitesse de décantation terminale. Le point de départ le plus simple et le plus largement utilisé est Stokes' Law, valable pour les petites particules sphériques se trouvant dans un fluide quiescent dans des conditions laminaires.

La loi des Stokes et ses hypothèses

La loi Stokes décrit la force de traînée sur une sphère se déplaçant à un nombre de Reynolds bas (Re < 0.1). La vitesse de décantation terminale v pour une particule sphérique est dérivée en équivalant à la force de traînée nette (poids moins flottabilité) à la force de traînée Stokes:

v = (2/9) · (r²) · (Δρ) · g / η

où r est le rayon de particules, g est l'accélération gravitationnelle, et les autres symboles sont tels que définis ci-dessus. Cette équation ne s'applique que lorsque les hypothèses suivantes sont satisfaites:

  • La particule est une sphère rigide.
  • Le liquide est incompressible et Newtonien.
  • Le flux est laminaire (Re < 0.1), ce qui signifie que les forces visqueuses dominent les forces d'inertie.
  • Les particules sont loin des parois et de l'autre (c.-à-d., suspension diluée).
  • Il n'y a pas d'interaction particule-particules, de floculation ou de décantation.

Dans la pratique, de nombreuses particules naturelles et industrielles violent une ou plusieurs de ces hypothèses. Par exemple, les grains de sable sont irréguliers, les cellules microbiennes peuvent se déformer et les flocs ont des structures fractales. Néanmoins, Stokes' Law reste une base de référence précieuse à partir de laquelle des corrections peuvent être appliquées. Une dérivation détaillée de Stokes' Law peut être trouvée dans les manuels de mécanique des fluides standard ou des ressources en ligne comme Wikipedia’s article on Stokes’ law.

Calcul de la vélocité pour les particules sphériques

Par exemple, il faut considérer une particule de sable de silice avec un rayon de 50 μm (5 × 10−5m), une densité de 2650 kg/m³, se déposer dans l'eau à 20°C (ρf = 998 kg/m³, η = 1,002 × 10−3 Pa·s). La différence de densité Δρ = 1652 kg/m³. Utilisation g = 9,81 m/s²:

v = (2/9) · (5 × 10−5)² · 1652 · 9.81 / (1.002 × 10−3][

Cela donne v ≈ 0.009 m/s (9 mm/s). Le nombre de Reynolds Re = (998 · 0.009 · 1 × 10−4) / 0.001 ≈ 0,9, qui est légèrement au-dessus de la limite du régime Stokes (0.1), de sorte qu'une correction pour les nombres modérés de Reynolds peut être justifiée pour une plus grande précision.

Au-delà des pièges : les régimes de transition et de turbulence

La taille des particules augmente, les effets d'inertie deviennent significatifs et le coefficient de traînée C[D s'écarte de la valeur Stokes (C[D[ = 24/Re). Pour les nombres intermédiaires de Reynolds (0.1 < Re < 1000), la relation est décrite par la courbe de traînée [ standard. Dans ce régime, la vitesse terminale peut être trouvée en résolvant le bilan de force itératif ou en utilisant des corrélations empiriques telles que la corrélation Schiller-Naumann: C[D[ = (24/Re)(1 + 0,15 Re0.687) pour Re < 800.

Pour les particules de grande taille à résolution rapide (Re > 1000), le coefficient de traînée devient approximativement constant (CD ≈ 0,44 pour les sphères lisses). La vitesse de sédimentation dans le régime de la loi de Newton&rsquo est indépendante de la viscosité et donnée par:

v = quat( (4 g d (ρp[ − ρf)) /f C[D[) )[

Pour une particule de gravier de diamètre 2 mm qui coule dans l'eau, Re sera de l'ordre de centaines, et l'équation du régime turbulent devrait être utilisée. De nombreux guides techniques de conception, comme ceux de la , fournissent des calculatrices et des tableaux pour ces calculs.

Exemple travaillé : Régime de transition

Prendre une sphère de quartz de diamètre 0,5 mm (ρp = 2650 kg/m³) dans l'eau. Commencez par deviner une vitesse, calculer Re, trouver C[D, puis résoudre pour v. Une estimation initiale de Stokes (en ignorant la correction Re) donne v ≈ 0,09 m/s, Re ≈ 45. Utiliser Schiller-Naumann, CD ≈ 1.1. L'intégration dans le bilan de force donne v ≈ 0,074 m/s. Répéter l'itération donne une convergence autour de v = 0,072 m/s, Re = 36, C]D[] = 1,25. La correction itérative est essentielle lorsque Stokes' Law surestime la vitesse de plus de quelques pour cent.

Ajustements pour les particules non sphériques

La plupart des particules naturelles et industrielles ne sont pas des sphères parfaites. Leur forme irrégulière augmente la force de traînée, réduit la vitesse de décantation et rend la caractérisation plus complexe. L'approche standard consiste à définir un facteur de forme (S ou ψ) qui relie la traînée de la particule à celle d'une sphère du même volume. Les facteurs de forme communs comprennent:

  • Sphéricité (ψ): Rapport de la surface d'une sphère du même volume que la particule à la surface réelle de la particule. La sphéricité varie de 0 (extrêmement allongée ou floquée) à 1 (sphéricité parfaite).
  • Facteur de forme de corail : Utilisé pour les particules de sédiments; défini comme c / sqrt(ab) où a, b, c sont les dimensions les plus longues, intermédiaires et les plus courtes.
  • Facteur de forme dynamique: Le rapport de la force de traînée sur la particule réelle à celui sur une sphère du même volume et de la même densité à la même vitesse de décantation. Ce facteur est souvent déterminé empiriquement.

Pour les particules non sphériques, un diamètre équivalent (comme le diamètre équivalent en volume dv ou le diamètre Stokes d[st) est utilisé dans l'équation Stokes, et la vitesse calculée est alors multipliée par un facteur de correction généralement inférieur à 1. Par exemple, les grains de sable ayant une sphéricité de 0,7 peuvent se déposer à 60–80% de la vitesse prévue pour une sphère de la même masse et densité. Des tableaux détaillés pour les facteurs de correction de la forme sont disponibles dans les références sédimentologiques, comme des études sur le dépôt de sédiments naturels.

Correlations empiriques pour les sédiments naturels

De nombreux chercheurs ont proposé des équations pour la vitesse de décantation des particules de sable naturel et de limon qui incorporent la forme. L'une des plus largement utilisée est la formule de Soulsby (1997) pour le sable fin au limon grossier, qui utilise une approche de la loi de traînée mais remplace le diamètre par un diamètre nominal et applique un coefficient empirique.

v = (g Δρ d²) / (C1 η + sumrt( C2 g Δρ d³ )][

où C1 et C[2 sont des constantes empiriques qui dépendent de la forme des particules (p. ex., C1 ≈ 18 pour le sable naturel, C2 ≈ 0,4 à 1,0 pour les particules sphériques à angulaires). Cette équation passe en douceur du régime Stokes (petit d) au régime turbulent (grand d) et explique intrinsèquement la forme par les constantes.

Lisiers et lisiers concentrés

Dans de nombreux procédés industriels (p. ex. sédimentation dans des épaississants, clarificateurs d'eaux usées), la concentration de particules est trop élevée pour ignorer les interactions. Sous un tassement entravé, le mouvement vers le bas de chaque particule est entravé par le déplacement vers le haut du fluide et les collisions avec les voisins. La vitesse de décantation effective vh est inférieure à la vitesse terminale d'une particule isolée. Le modèle le plus populaire est l'équation Richardson-Zaki:

vh = vt · (1 &moins; φ)[n

où φ est la fraction de volume des solides, et n est un exposant qui dépend du nombre de particules Reynolds à dilution infinie (Ret. Pour Ret < 0.2 (laminar), n ≈ 4.65; pour les valeurs intermédiaires Re, n diminue et pour les valeurs turbulentes (Ret > 500), n ≈ 2.4. La corrélation Richardson-Zaki est largement utilisée dans la conception des réservoirs de sédimentation et est discutée en détail dans la théorie de la décantation avec entrave.

Effet de la floculation

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Méthodes pratiques de mesure de la vélocité de la sédimentation

Bien que les formules théoriques et empiriques soient utiles, il est souvent nécessaire de mesurer directement les particules hétérogènes ou irrégulières.

  • Méthode de pipette Andrewen: Technique classique pour les sédiments; un échantillon est autorisé à se déposer dans un cylindre étalonné et des aliquotes sont retirées à différents moments pour déterminer la distribution granulométrique par la masse cumulative.
  • Équilibre de sédimentation: La masse de matériau stabilisé sur une casserole submergée est enregistrée au fil du temps, et la vitesse est dérivée de la courbe d'accumulation.
  • Systèmes de diffraction laser: Des instruments tels que le maître Malvern utilisent le principe de diffraction laser pour déduire la distribution de la taille des particules à partir de laquelle les vitesses de décantation peuvent être calculées à l'aide du modèle de traînée approprié.
  • Microscopie vidéo[: L'observation directe de la décantation des particules dans une cellule permet de suivre les particules individuelles, particulièrement utiles pour l'étude des particules irrégulières ou floculantes.

Lors de la mesure, il est essentiel de contrôler la température (changement de viscosité ≈2% par degré Celsius pour l'eau) et d'utiliser suffisamment de suspensions diluées pour éviter les décantations.

Applications dans les industries

Des calculs précis de vitesse de sédimentation sont essentiels dans de nombreux domaines :

  • Traitement de l'eau et des eaux usées: La conception des clarificateurs primaires, des réservoirs de décantation secondaire et des épaississants de boues repose sur la distribution de la vitesse de décantation pour obtenir la qualité requise de l'effluent.
  • Traitement minier et minéral[: Classification des minerais par taille dans les hydrocyclones et les épaississants utilise des modèles de décantation entravés; la conception des bassins de résidus exige une connaissance de la consolidation des particules fines.
  • Océanographie et transport des sédiments[ : La prévision du devenir des panaches de sédiments des rivières, des opérations de dragage ou de l'exploitation minière en haute mer dépend des vitesses de décantation du sable, de la limon et de l'argile, y compris la floculation dans les eaux salines.
  • Pharmaceutiques et biotechnologie[: Récolte cellulaire en centrifugation et sédimentation; aussi pour caractériser la taille des agrégats ou émulsions de protéines.
  • Ingénierie environnementale[: Modélisation de l'élimination des polluants dans les milieux humides construits, les bassins de retenue des eaux pluviales et les séparateurs d'eau de pétrole.

Dans chaque cas, le type de particule dicte le modèle approprié. Par exemple, dans les clarificateurs d'eaux usées où des flocs biologiques sont présents, on utilise le modèle de floc fractal combiné à un dépôt entravé, alors que pour l'élimination du grain dans la même usine, la loi Stokes avec correction de la forme est appliquée.

Conclusion

Pour les particules plus grandes ou plus rapides, le coefficient de traînée doit être ajusté pour la transition ou le flux turbulent. Les formes irrégulières sont manipulées par des facteurs de forme et des corrélations empiriques comme l'équation Ferguson-Church. Dans les suspensions concentrées, les modèles de décantation entravés (Richardson-Zaki) sont nécessaires, et pour les systèmes de floculation, la nature fractale des agrégats doit être prise en compte. En appliquant systématiquement le modèle approprié pour le type de particules et le régime de débit, les ingénieurs et les scientifiques peuvent prédire avec précision le comportement de sédimentation, optimiser les processus de séparation et mieux comprendre la dynamique naturelle des sédiments.