Introduction au calcul de la taille de l'échantillon dans l'échantillonnage d'acceptation

L'échantillonnage d'acceptation est une technique statistique de contrôle de la qualité utilisée pour déterminer si un lot de produits répond à des normes de qualité prédéterminées. Au lieu d'inspecter chaque unité, un échantillon représentatif est prélevé et évalué. La décision d'accepter ou de rejeter le lot entier est fondée sur le nombre d'articles défectueux trouvés dans cet échantillon. Il est essentiel de calculer la taille de l'échantillon correcte : un échantillon trop petit peut ne pas détecter des niveaux inacceptables de défauts, tandis qu'un échantillon trop important gaspille du temps et des ressources.

Comprendre les plans d'échantillonnage d'acceptation

Un plan d'échantillonnage d'acceptation comprend deux paramètres clés : la taille de l'échantillon (n) et le numéro d'acceptation ([c[). Le plan précise qu'un échantillon aléatoire d'unités n est prélevé sur un grand nombre de dimensions N[. Si le nombre d'unités défectueuses de l'échantillon est inférieur ou égal à c, le lot entier est accepté; si celui-ci dépasse c, le lot est rejeté.

Les plans d'échantillonnage sont essentiels dans les industries où l'inspection à 100 % est impossible en raison des exigences de coûts, de temps ou de tests destructeurs. Ils fournissent une méthode statistiquement solide pour déduire la qualité de l'ensemble du lot, avec des niveaux de risque connus.Les deux principaux risques sont : rejeter un bon lot (risque du producteur, α) et accepter un mauvais lot (risque du consommateur, β).

Comment fonctionne l'échantillonnage d'acceptation

Le processus commence par définir le lot et sélectionner un plan d'échantillonnage. Habituellement, le plan est dérivé de normes telles que ANSI/ASQ Z1.4 ou ISO 2859, qui fournissent des tableaux de tailles d'échantillons et des numéros d'acceptation en fonction de la taille du lot et du niveau de qualité acceptable (AQL). L'utilisateur choisit un niveau d'inspection (p. ex. normal, serré, réduit) et la QAL, puis lit la lettre de code correspondante. La lettre de code détermine la taille de l'échantillon et le numéro d'acceptation est lu à partir d'un tableau distinct. L'inspection procède ensuite : le nombre requis d'unités est échantillonné au hasard et inspecté.

Terminologie et concepts clés

Pour calculer avec précision la taille des échantillons, il faut comprendre plusieurs termes clés et leurs relations :

  • Lot Size (N):[ Le nombre total d'unités dans le lot soumis à l'inspection. Les lots plus grands nécessitent généralement des échantillons plus grands, mais la relation n'est pas linéaire en raison de considérations statistiques.
  • Simple Taille (n):[ Le nombre d'unités prélevées sur le lot pour l'inspection. C'est la variable primaire que nous calculons.
  • Numéro d'acceptation c):[ Le nombre maximal autorisé d'unités défectueuses dans l'échantillon pour le lot à accepter. Si les défauts dépassent c, le lot est rejeté.
  • Numéro de rejet (r):[ Dans certains plans (p. ex., double échantillonnage), le numéro de rejet est le seuil qui déclenche le rejet immédiat. r = c + 1.
  • Risque du producteur (α):[ La probabilité de rejeter un lot qui répond réellement à la norme de qualité (c.-à-d. une erreur de type I).
  • Risque du consommateur (β):[ La probabilité d'accepter un lot qui ne satisfait pas à la norme de qualité (c.-à-d. une erreur de type II).
  • Niveau de qualité acceptable (AQL):[ Le pourcentage maximal d'unités défectueuses qui est considéré comme acceptable pour le lot. AQL représente la qualité moyenne du procédé que le producteur est disposé à fournir.
  • Tolérance de la Lot Pourcentage Défaut (LTPD) :[ Pourcentage d'unités défectueuses que le consommateur considère inacceptables. Il correspond à une forte probabilité de rejet (p. ex., 90 % ou 95 %).

Facteurs influençant la taille de l'échantillon

Plusieurs facteurs interagissent pour déterminer la taille de l'échantillon nécessaire pour un plan d'échantillonnage d'acceptation donné. La compréhension de ces facteurs aide à choisir un plan approprié qui équilibre le risque et le coût.

  • Lot Size (N):[ Bien que la taille du lot affecte la taille de l'échantillon dans certaines normes (p. ex. ANSI/ASQ Z1.4 utilise des plages de taille du lot pour déterminer la lettre de code de taille de l'échantillon), l'effet statistique est minimal pour les grands lots. La distribution hypergéométrique tient compte de la taille finie du lot, mais pour les grands N, l'approximation binomiale est adéquate.
  • Numéro d'acceptation (c):[ Un numéro d'acceptation plus grand réduit la taille de l'échantillon nécessaire pour un risque donné, mais il augmente également la probabilité d'accepter un lot avec plus de défauts. Le numéro d'acceptation est souvent choisi pour répondre aux exigences de la LAQ et de la LTPD.
  • Risques des producteurs et des consommateurs : Les risques plus serrés (faible α et β) nécessitent une taille d'échantillon plus grande. Par exemple, réduire α de 5 % à 1 % tout en maintenant d'autres facteurs constants peut doubler ou tripler la taille de l'échantillon.
  • Niveau de qualité (p):[ La proportion prévue d'éléments défectueux dans le lot influence la variabilité de l'échantillon. Pour les faibles taux de défaut, l'échantillon doit être suffisamment grand pour détecter au moins un défaut avec une probabilité acceptable.
  • Niveau d'inspection:[ Les normes définissent différents niveaux d'inspection (normal, serré, réduit) qui permettent d'ajuster la taille de l'échantillon et les critères d'acceptation en fonction des antécédents de qualité.

Bases statistiques pour le calcul de la taille de l'échantillon

La distribution hypergéométrique

Lors d'un échantillonnage sans remplacement d'un lot fini, le nombre d'unités défectueuses de l'échantillon suit une distribution hypergéométrique. La probabilité d'observer exactement x défectueuses dans un échantillon de taille n à partir d'un lot de taille N[ contenant D[ défectueuses est donnée par:

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)

Cette distribution est exacte mais intensive en calcul pour les grandes N. Les calculs de taille d'échantillon utilisant la distribution hypergéométrique sont souvent effectués au moyen de tables standard ou de logiciels spécialisés.

L'approximation binôme

Pour les grands lots (généralement lorsque n ≤ 0.1N), la distribution hypergéométrique est bien approximative par la distribution binomiale. La distribution binomiale suppose un échantillonnage avec remplacement, mais elle est précise lorsque la taille du lot est importante par rapport à l'échantillon. La probabilité d'un défaut x exact est:

P(X = x) = C(n, x) * px * (1-p)(n-x)

où p = D[/N est la fraction de lot défectueuse.

L'approximation Poisson

Pour les taux de défaut très faibles (p < 0.1) et les grandes tailles d'échantillons, la distribution binomiale peut être approchée davantage par la distribution de Poisson. Ceci est utile pour calculer la taille d'échantillon dans des situations telles que la surveillance de la qualité des événements rares. L'approximation de Poisson utilise le paramètre λ = np et la probabilité de x défectueuses est:

P(X = x) = (e-λ * λx) / x!

Méthodes de calcul de la taille de l'échantillon

Utilisation de tableaux standards : ANSI/ASQ Z1.4 et ISO 2859

L'approche la plus courante dans l'industrie consiste à utiliser des normes publiées qui fournissent des plans d'échantillonnage précalculés. ANSI/ASQ Z1.4 (équivalent à la norme ISO 2859-1) est la norme de référence pour l'échantillonnage des attributs.

  1. Niveau d'inspection:[Nivaux I, II, III pour les inspections normales, serrées ou réduites.Le niveau II est par défaut.
  2. Niveau de qualité acceptable (AQL):[ Pourcentage maximal de défauts que le producteur considère acceptables (p. ex. 0,1 %, 1,0 %, 2,5 %).
  3. Taille de la parcelle: Le nombre total d'unités dans le lot.

À partir de la taille du lot et du niveau d'inspection, on détermine une lettre de code (A à R). Cette lettre de code indique ensuite une table qui indique la taille de l'échantillon (n) et le numéro d'acceptation ([c) pour la LQA choisie. Par exemple, pour une taille de lot de 1 000 unités et le niveau d'inspection II normal, la lettre de code est J. Pour la LQA = 1,0 %, la taille de l'échantillon est de 80 et le numéro d'acceptation est 2. Ces tableaux sont conçus pour fournir une forte probabilité d'acceptation pour les lots situés à ou en dessous de la LQA, tout en protégeant le consommateur contre les lots situés au-dessus de la LTPD.

Approche fondée sur la formule

Lorsque des normes spécifiques ne s'appliquent pas ou lorsque des niveaux de risque personnalisés sont requis, une formule peut être utilisée pour estimer la taille de l'échantillon. Une formule commune pour l'estimation de la taille de l'échantillon dans l'échantillonnage d'attributs est dérivée de l'approximation normale de la distribution binomiale :

n = (Zα/22 * p * (1 - p) / E2

où:

  • Zα/2 est la valeur critique de la distribution normale standard pour un niveau de confiance à deux queues (p. ex. 1,96 pour une confiance à 95 %).
  • p est la proportion prévue de défauts dans le lot (souvent estimée à partir de données historiques ou supposée être la LQA).
  • E est la marge d'erreur — la différence maximale acceptable entre le taux de défaut de l'échantillon et le taux de défaut du lot réel.

Par exemple, si vous attendez 5 % de défauts, que vous voulez une confiance de 95 % et que vous autorisez une marge d'erreur de 2 %, le calcul donne :

n = (1,962 × 0,05 × 0,95) / (0,02)2 = (3,8416 × 0,0475) / 0,0004 -456,2

L'arrondissement donne n = 457. Toutefois, cette formule n'inclut pas directement le numéro d'acceptation ni les risques α et β de la même manière que les normes. Il est plus approprié d'estimer la taille de l'échantillon pour estimer une proportion plutôt que pour un plan de décision.

Une approche plus rigoureuse utilise les distributions de probabilité pour résoudre simultanément n et c. Pour une paire donnée de points sur la courbe OC (AQL avec probabilité 1-α, et LTPD avec probabilité β), on peut résoudre les équations:

P(accept=" p = AQL) ≥ 1 - α
P(accept=" p = LTPD) ≤ β]

Pour la distribution binomiale, la probabilité d'acceptation d'un plan d'échantillonnage unique avec la taille de l'échantillon n et le numéro d'acceptation c est:

P(accept=" p) = -"x=0c C(n, x) px (1-p)(n-x)

Constatation n et c qui satisfont aux deux inégalités nécessite souvent des méthodes numériques itératives ou des tables de recherche. Des normes comme ANSI/ASQ Z1.4 sont construites sur ces calculs.

Caractéristiques de fonctionnement (OC) Courbes

Pour une taille d'échantillon donnée n et le numéro d'acceptation c, la courbe d'OC montre la performance du plan à tous les niveaux de qualité. Pour évaluer un plan d'échantillonnage, l'utilisateur vérifie que la courbe d'OC passe par les points souhaités : près de 1-α à l'AQL et près de β à la LTD. En examinant différentes n] et c, on peut sélectionner le plan qui fournit le meilleur compromis. Les courbes d'OC peuvent être générées à l'aide d'un logiciel statistique ou par calcul manuel à l'aide des distributions binomiales ou hypergéométriques.

Outils logiciels pour le calcul de la taille d'échantillon

Les calculs manuels exigent beaucoup de temps, surtout pour les plans d'échantillonnage à deux ou plusieurs reprises.

  • R logiciel statistique:[ Des paquets comme permettent aux utilisateurs de concevoir et d'évaluer des plans d'échantillonnage, de calculer des courbes d'OC et de trouver l'optimum n et c.
  • Minitab: Comprend un module d'échantillonnage d'acceptation dédié pour les plans d'attributs et de variables.
  • Les sites Web tels que ]NIST Engineering Statistics Handbook fournissent des outils interactifs pour générer des plans d'échantillonnage et des courbes de CO.
  • Les modèles de feuilles de rechange:[ Excel peuvent être utilisés avec des fonctions intégrées comme pour évaluer les probabilités binômes et effectuer une recherche itérative pour n et c.

Ces outils réduisent le risque d'erreurs manuelles et permettent d'analyser la sensibilité pour comprendre comment les changements dans n ou c[ affectent le rendement du plan.

Exemple pratique : conception d'un plan d'échantillonnage unique

Supposons qu'un fabricant reçoive des lots de 2 000 unités et qu'il souhaite utiliser un plan d'échantillonnage d'acceptation avec une QQA de 1 % et une QLPD de 5,0 %. Le producteur accepte un risque α de 5 % et le consommateur un risque β de 10 %. Déterminer la taille de l'échantillon n et le numéro d'acceptation c.

Étape 1: Utilisez un tableau standard.Pour les lots de 2 000 et le niveau d'inspection normal II, la lettre de code est K. De ANSI/ASQ Z1.4, pour AQL = 1,0%, la lettre de code K donne n = 125 et c = 3. (Il s'agit d'un plan commun.)

Étape 2: Évaluer la courbe de CO à l'AQL et à la DLDP. Utiliser la distribution binomiale avec n=125, c=3:
À p=0,01 (AQL): P(accept) = --]x=0]3 C(125, x) (0.01)x[[0.99]125-x. Calculer: x=0: 0,286, x=1: 0,362, x=2: 0,226, x=3: 0,093 → somme --0,967.

À p=0,05 (LTD): P(accepter) = γx=03[ C(125, x) (0,05)x (0,95]125-x[. approximative utilisant Poisson: λ = 125×0,05 = 6,25. P(X=3) = e-6.25 (1 + 6,25 + 19,53 + 40,57) γ 0,0019 × 67,35 γ 0,13. Ainsi, le risque du consommateur = 0,13 (13 %), légèrement supérieur au 10 % désiré. Dans la pratique, un plan différent (par exemple, ]]n]=200, c]=5) pourrait être choisi pour diminuer β, ou les risques sont acceptés de manière suffisamment proche.

Étape 3: Si vous utilisez l'approche de la formule, définissez les deux inégalités et résolvez numériquement. En utilisant un logiciel, un plan avec n=145, c=4 donne α=0.048 et β=0.099, répondant aux exigences plus étroitement. Ceci illustre que les tableaux standard fournissent des plans pratiques, mais les plans personnalisés peuvent être optimisés pour des cibles de risque spécifiques.

Plans d'échantillonnage double et multiple

n1c1r1]][[FLT:][FLT:][[FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:[FLT:][FLT:[F:][FLT:[F][

Les plans d'échantillonnage multiples s'étendent à plusieurs étapes, réduisant encore davantage la taille moyenne de l'échantillon. Les normes comme ANSI/ASQ Z1.4 fournissent également des plans d'échantillonnage doubles et multiples. Le calcul de la taille de l'échantillon pour ces plans comporte des calculs de probabilité plus complexes, mais les mêmes principes statistiques s'appliquent.

Choisir le bon plan d'échantillonnage

Le choix entre des plans d'échantillonnage simples, doubles ou multiples dépend de plusieurs facteurs : simplicité administrative, taille moyenne de l'échantillon, coût d'essai par unité, et disponibilité d'essais rapides. Les plans d'échantillonnage uniques sont plus faciles à administrer et déterministes en termes de taille de l'échantillon.

Lors du calcul de la taille des échantillons, il faut toujours tenir compte des pratiques exemplaires suivantes :

  • Utiliser les normes dans la mesure du possible pour assurer la cohérence avec les pratiques et les exigences réglementaires de l'industrie.
  • Valider la courbe de CO du plan pour s'assurer qu'il satisfait aux risques du producteur et du consommateur.
  • Pour les petits lots, utilisez la distribution hypergéométrique plutôt que les approximations pour éviter les erreurs.
  • Documenter les hypothèses (p. ex., LQA, DLPT, niveau d'inspection) utilisées dans le calcul de la taille de l'échantillon.
  • Effectuer des examens périodiques de la qualité pour ajuster les plans d'échantillonnage en fonction du rendement réel du processus.

Conclusion

En comprenant les facteurs clés - taille du lot, numéro d'acceptation, risques pour le producteur et le consommateur, et niveaux de qualité - et en appliquant des méthodes statistiques telles que les distributions binomiales ou hypergéométriques, les professionnels de la qualité peuvent concevoir des plans qui permettent de prendre des décisions fiables tout en contrôlant les coûts d'inspection. Que ce soit en utilisant des tableaux standards comme ANSI/ASQ Z1.4 ou des formules personnalisées, l'objectif est d'atteindre un équilibre approprié entre le risque d'accepter des lots défectueux et les frais d'inspection.

Pour plus de détails, voir le Guide d'échantillonnage d'acceptation de l'ASQ[, la norme ISO 2859-1:1999 et le Manuel électronique NIST/SEMATECH des méthodes statistiques pour des tableaux et des exemples détaillés.