Comment déterminer le nombre de pôles à demi-plan droit avec le critère de Roth-hurwitz

Le critère de Routh-Hurwitz est l'un des outils les plus importants en ingénierie de contrôle pour l'analyse de la stabilité des systèmes linéaires invariants du temps (LTI). Plutôt que de calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique, qui peut être calculablement intensif pour les systèmes à haut ordre, le critère de Routh-Hurwitz fournit un test algébrique simple. Une question centrale dans l'analyse de stabilité consiste à déterminer combien de pôles du système se trouvent dans la moitié droite du s-plan (la région avec des parties réelles positives). Les pôles du demi-plan droit (RHP) indiquent directement la croissance exponentielle de la réponse du système — en d'autres termes, l'instabilité.

Fondations du critère de Routh-Hurwitz

Le critère de Routh-Hurwitz est basé sur les coefficients du polynôme caractéristique, qui est le polynôme dans le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée (ou la fonction de transfert en boucle ouverte pour la stabilité interne).

P(s) = a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + ... + a_]1s + a₀] = 0]

Une condition nécessaire à la stabilité est que tous les coefficients sont présents (aucune puissance manquante) et qu'ils ont tous le même signe (généralement positif). Cependant, cette condition n'est pas suffisante. Le critère de Routh-Hurwitz fournit des conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilité: il détermine combien de racines du polynôme ont des parties réelles positives, zéros parties réelles (sur l'axe imaginaire), et des parties réelles négatives.

Le critère est appliqué en construisant un tableau de coefficients spécifique appelé tableau de Routh. Les deux premières lignes du tableau sont remplies à partir des coefficients du polynôme. Les lignes suivantes sont calculées à l'aide d'une formule déterminante systématique. Une fois le tableau terminé, le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau correspond directement au nombre de racines du polynôme avec des parties réelles positives — c'est-à-dire le nombre de pôles RHP. S'il n'y a pas de changement de signe, tous les pôles sont situés dans le demi-plan gauche (LHP) et le système est stable, en supposant qu'aucune annulation de pôle n'est possible.

Construire le tableau de routh : procédure étape par étape

Que le polynôme caractéristique soit:

P(s) = a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + a_n-2]s[^n-2] + ... + ₁s + _]0]

a_n -0. Le tableau de Routh comprend n+1 lignes (indexées de la ligne 1 à la ligne n+1. Les deux premières lignes sont construites directement à partir des coefficients:

• Row 1 ⁿ range:[Contient des coefficients de puissance égale de sss[à partir de la puissance la plus élevée: a_n, a[_n-2], a_]n-4, ... jusqu'au coefficient de s^]0]] ou la fin.
• Row 2 [^n-1 ligne:[Contient des coefficients de puissances impaires: a_n-1, a[_n-3, ]a_]n-5, ... .

Si le polynôme a un degré impair n[, la ligne 1 contiendra le coefficient de tête et les coefficients de pondération suivants; la ligne 2 contiendra le deuxième coefficient et alterne. Pour les polynômes de degré pair, la ligne 1 commence par le coefficient de tête et la ligne suivante par l'indice pair; la ligne 2 commence par le deuxième coefficient et la ligne suivante par l'indice impair. Dans les deux cas, si le nombre de coefficients dans une ligne est inférieur à la ligne précédente, les zéros sont rembourrés à la fin pour maintenir un tableau rectangulaire.

Calcul des lignes suivantes

Les lignes 3 à n+1 sont calculées à l'aide du motif suivant : Pour la ligne i (à partir de i=3), les éléments des deux lignes précédentes doivent être :

₁b₂, b[_{]b21[[FLT:][[FLT:]][[FLT:]][}[[[FLT:]][[[FLT:][[FLT:]][[FLT:]][[FLT:]][[FLT:]][[FLT:]][[FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:][FLT:]][[FLT:],[[FLT:]

Ensuite, les éléments de la ligne i sont donnés par:

d_j = – (1 / c_]1) × det [ [ b_1[, b_j+1 ] ; [ c[₁], c_j+1 ] ] = – [ b_]1·c_]j+1 – c₁·b_]j+1[] ) / c[₁]]]

Pour j = 1, 2, ... jusqu'à la fin de la ligne. Notez que c[₁ est le premier élément de la ligne précédente; il doit être non nul (si elle devient nulle, une manipulation spéciale est requise). La formule peut être simplifiée dans la pratique : pour chaque nouvel élément de ligne, prendre le négatif du déterminant d'une matrice 2×2 formée à partir de la première colonne des deux lignes ci-dessus et de la colonne qui s'aligne avec l'élément en cours de calcul.

Le processus se poursuit jusqu'à la ligne n+1 (le s⁰ ligne) est atteinte. En général, la dernière ligne ne contient qu'un élément non nul — le terme constant a₀ gradué par des facteurs antérieurs, mais garanti être positif si les coefficients initiaux sont positifs.

Interprétation de la première colonne : Changements de signe et pôles RHP

Une fois le tableau Routh entièrement construit, examinez la première colonne du tableau (la colonne la plus à gauche de chaque ligne). Comptez le nombre de signes change au fur et à mesure que vous descendez la colonne. Chaque fois que le signe bascule entre deux lignes consécutives (p. ex., de positif à négatif ou négatif à positif), il compte comme un changement de signe.

Le nombre total de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles dans le demi-plan droit (RHP) S'il y a des changements de signe zéro, tous les pôles sont situés dans le demi-plan gauche (LHP) et le système est stable. Si le nombre est k, il y a k des pôles avec des parties réelles positives, et le système est instable.

Il est important de noter que le critère de Routh-Hurwitz ne mentionne que le number des pôles RHP, et non leurs valeurs exactes. Pour localiser les pôles précisément, vous devez résoudre l'équation caractéristique ou utiliser des méthodes de locus racine.

Cas spéciaux dans la construction de Routh Array

Lors de la construction du tableau Routh, deux cas spéciaux peuvent se présenter qui nécessitent une manipulation soigneuse:

Cas 1 : Un zéro dans la première colonne

Si un premier élément calculé dans une rangée est zéro, mais que le reste de la rangée n'est pas entièrement zéro, alors le zéro empêche le calcul de la rangée suivante parce que la formule déterminante implique la division par zéro. Une technique courante est de remplacer le zéro par un petit nombre positif ε] (Epsilon), puis de continuer le calcul. Après avoir complété le tableau, prenez la limite comme ε → 0 pour évaluer les modifications de signe. Vous pouvez également utiliser la méthode polynomiale auxiliaire (prochement liée au cas d'une rangée entière de zéros).

Cas 2 : Une rangée entière de zéros

Si une rangée complète du tableau devient zéro (tous les éléments sont zéro), cela indique que le polynôme caractéristique a des racines symétriques sur l'origine — typiquement une paire de pôles purement imaginaires (±j=]) ou une paire de pôles réels avec des signes opposés de grandeur égale. Lorsque cela se produit, vous devez construire un polynôme auxiliaire à partir de la rangée au-dessus de la rangée zéro. Le polynôme auxiliaire est formé en utilisant les coefficients de cette rangée et est de degré égal. Different ce polynôme auxiliaire par rapport à s pour obtenir de nouveaux coefficients, et utiliser ces coefficients pour remplacer la rangée zéro. Puis, continuer à construire le tableau Routh. Le nombre de changements de signes dans la première colonne après cette substitution indique toujours le nombre de pôles RHP (à l'exclusion des pôles purement imaginaires, qui sont comptés séparément).

Exemples de travaux

Exemple 1: Système stable

Considérez le polynôme caractéristique:

P(s) = s⁴ + 3s³ + 5s² + 4s + 2]

Construire le tableau Routh:

• Ligne 1 (s⁴): 1, 5, 2
• Ligne 2 (³): 3, 4, 0 (puisqu'il n'y a que des coefficients pour s³ et s¹, pad avec 0)
• Ligne 3 (^2[): Calculer en utilisant les deux premières lignes: premier élément = –(1×4 – 3×5)/3 = –(4 – 15)/3 = 11/3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Ligne 4 [^1[): Utilisez les lignes 2 et 3: premier élément = –(3×2 – (11/3)×4)/(11/3) = –(6 – 44/3) / (11/3) = –( (18-44)/3) / (11/3) = –( -26/3) / (11/3) = 26/11 - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Ligne 5 (⁰): utilisant les lignes 3 et 4: premier élément = –( (11/3)×0 – (26/11)×2 ) / (26/11) = –( –(52/11) ) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2; ligne 5: [2]

Première colonne : 1 (pos), 3 (pos), 11/3 (pos), 26/11 (pos), 2 (pos). Aucun changement de signe → 0 pôles RHP → stable système.

Exemple 2: Système instable avec deux pôles RHP

Envisagez: P(s) = s³ + 2s² + 3s + 4

Tableau de routh & #160;:

• Ligne 1: 1, 3
• Ligne 2: 2, 4
• Ligne 3: des lignes 1 et 2: premier élément = –(1×4 – 2×3)/2 = –(4 – 6)/2 = –( –2)/2 = 1; deuxième élément: –(1×0 – 2×0)/2 = 0; ligne 3: [1, 0]
• Ligne 4: des lignes 2 et 3: premier élément = –(2×0 – 1×4)/1 = –( –4) = 4; ligne 4: [4]

[[f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f][f]

Je vais en donner l'exemple.

Exemple 3 : Cas spécial avec ligne zéro

Envisagez: P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 2

Tableau de routh & #160;:

• Ligne 1 : [1, 3, 2]
• Ligne 2 : [2, 6, 0]
• Ligne 3 : [ (2*3 - 1*6)/2 = (6-6)/2=0 , (2*2 - 1*0)/2 = 4/2=2, 0 ] → ligne 3 = [0, 2]
• Comme le premier élément est 0, remplacer par ε, continuer: ligne3 = [ε, 2]
• Ligne4: de la ligne2 et de la ligne3: premier élément = –(2*2 – ε*6)/ε = –(4 – 6ε)/ε = –4/ε + 6. Comme ε→0, cela tend à – ε (négatif). deuxième élément = –(2*0 – ε*0)/ε = 0. Donc ligne4 ε [–4/ε, 0] (négatif grand).
• Ligne5: à partir de la ligne3 et de la ligne4: premier élément = –(ε*0 – (–4/ε)*2)/(–4/ε) = –(0 + 8/ε)/( –4/ε) = –(8/ε) * ( –ε/4) = 2.
• Première colonne : 1 (pos), 2 (pos), ε (pos small), –4/ε (nég grand), 2 (pos). Changements de signe : pos à neg (1 changement), neg à pos (1 changement) → 2 changements → 2 pôles RHP.

Ceci montre la manipulation d'un zéro dans la première colonne.

Exemple 4: Tout à fait une rangée de zéros

Envisager: P(s) = s⁴ + 2s³ + s² + 2s + 1

Tableau de routh & #160;:

• Ligne 1 : [1, 1, 1]
• Ligne2: [2, 2, 0]
• Ligne 3 : [ (2*1 - 1*2)/2 = (2-2)/2 = 0 , (2*1 - 1*0)/2 = 1, 0 ] => [0, 1]
• P(s) = s⁴ + s^]3 + 2s² + 2s + 1 pourrait donner une rangée de zéros? Mieux connu: P(s) = s⁵ + 2s^]4] + 3s^]3] + 6s^]]2 + 2s+4? Choisissons un classique: P(s): 2s^]2[FLT:[FLT:[FLT:[F][F][F][F]
• Ligne1: [1, 3, 1]
• Ligne2: [2, 2, 0]
• Ligne 3 : [ (2*3 - 1*2)/2 = (6-2)/2=2 , (2*1 - 1*0)/2 = 2/2=1, 0] => [2, 1]
• Ligne4: [ (2*2 - 2*1)/2? Formule d'attente: des lignes 2 et 3: premier élém = –(2*1 – 2*2)/2 = –(2-4)/2 = –(-2)/2 = 1; deuxième: –(2*0 – 2*0)/2 = 0 .
• Ligne5: des lignes 3 et 4: [ (1*1 – 2*0)/1 = 1 ] -
• No zero row. That's stable. Let's use a polynomial with symmetric roots: P(s) = s⁴ + s³ + 2s² + s + 1 might have a row of zeros? I'd rather use the classic example: P(s) = s⁵ + 2s⁴ + 24s³ + 48s² + 25s + 50 yields a zero row. But that's messy. I'll create a simple one: From known case, the polynomial s⁴ + s³ + s² + s + 1 has roots on unit circle? Actually not. Let's stick with the general explanation for the special case rather than a full worked example due to space. But I can reference the auxiliary polynomial method. I'll include a short illustrative example using P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4? Might produce zero row. Simpler: Provide the standard mention: "For example, consider the polynomial s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 4 which leads to an all-zero row in the Routh array. The auxiliary polynomial from the row above yields a new row, and after substitution, the first column shows no sign changes, indicating the presence of purely imaginary poles and no RHP poles." I'll keep it conceptual. Due to length constraints, I will include at least two worked examples (stable and unstable with sign changes) and briefly describe special cases with reference to external resources. External links (choose authoritative sources): - Wikipedia: Routh-Hurwitz stability criterion - MathWorks documentation on routh function - Control Tutorials from University of Michigan (CTMS) - A reputable textbook reference (maybe link to MIT OpenCourseWare) I'll include 3 links. Now construct the final HTML article. Ensure it's clean, no markdown, no Gutenberg comments. Target word count: 2200-2500. I will write expansive paragraphs, detailed explanation, and examples. Ensure not to exceed 2500 words. Let me write the article body.

  Le critère de Routh-Hurwitz est l'un des outils les plus importants en ingénierie de contrôle pour l'analyse de la stabilité des systèmes linéaires invariants du temps (LTI). Plutôt que de calculer explicitement les racines du polynôme caractéristique, qui peut être calculablement intensif pour les systèmes à haut ordre, le critère de Routh-Hurwitz fournit un test algébrique simple. Une question centrale dans l'analyse de stabilité est de déterminer combien de pôles du système se trouvent dans la moitié droite du s-plan (la région avec des parties réelles positives). Les pôles dans le demi-plan droit (RHP) indiquent directement la croissance exponentielle de la réponse du système — en d'autres termes, l'instabilité.

  Fondations du critère de Routh-Hurwitz

  Le critère de Routh-Hurwitz est basé sur les coefficients du polynôme caractéristique, qui est le polynôme dans le dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée (ou la fonction de transfert en boucle ouverte pour la stabilité interne).

  P(s) = a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + ... + a_]1s + a₀] = 0]

  Une condition nécessaire à la stabilité est que tous les coefficients sont présents (aucune puissance manquante) et qu'ils ont tous le même signe (généralement positif). Cependant, cette condition n'est pas suffisante. Le critère de Routh-Hurwitz fournit des conditions à la fois nécessaires et suffisantes pour la stabilité: il détermine combien de racines du polynôme ont des parties réelles positives, zéro parties réelles (sur l'axe imaginaire), et des parties réelles négatives.

  Le critère est appliqué en construisant un tableau de coefficients spécifique appelé tableau de Routh. Les deux premières lignes du tableau sont remplies à partir des coefficients du polynôme. Les lignes suivantes sont calculées à l'aide d'une formule déterminante systématique. Une fois le tableau terminé, le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau correspond directement au nombre de racines du polynôme avec des parties réelles positives, c'est-à-dire le nombre de pôles RHP. S'il n'y a pas de changement de signe, tous les pôles sont situés dans le demi-plan gauche (LHP) et le système est stable, en supposant qu'aucune annulation de pôle n'est possible.

  Construire le tableau de routh : procédure étape par étape

  Que le polynôme caractéristique soit:

  P(s) = a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + a_n-2s[^n-2] + ... + ₁s + _]0]

  a_n -0. Le tableau de Routh comprend n+1 lignes (indexées de la ligne 1 à la ligne n+1. Les deux premières lignes sont construites directement à partir des coefficients:

  • Row 1 ⁿ range:[Contient des coefficients de puissance égale de sss[à partir de la puissance la plus élevée: a_na[_n-2, a_]n-4], ... jusqu'au coefficient de s^]0]] ou la fin.
  • Row 2 [^n-1 ligne:[Contient des coefficients de puissances impaires: a_n-1, a[_n-3, ]a_]n-5, ....

  Si le polynôme a un degré impair n[, la ligne 1 contiendra le coefficient de tête et les coefficients de pondération suivants; la ligne 2 contiendra le deuxième coefficient et alterne. Pour les polynômes de degré pair, la ligne 1 commence par le coefficient de tête et la ligne suivante par l'indice pair; la ligne 2 commence par le deuxième coefficient et la ligne suivante par l'indice impair. Dans les deux cas, si le nombre de coefficients dans une ligne est inférieur à la ligne précédente, les zéros sont rembourrés à la fin pour maintenir un tableau rectangulaire.

  Calcul des lignes suivantes

  Les lignes 3 à n+1 sont calculées à l'aide du motif suivant : Pour la ligne i (à partir de i=3), laisser les éléments des deux lignes précédentes être :

  ₁b₂, b[_{]b2, b[]3, ...
  Row [i]-1]: [c1], c]2], c]3][,[}

  Ensuite, les éléments de la ligne i sont donnés par:

  d_j = – (1 / c_]1) × det [ [ b_1[, b_j+1 ] ; [ c₁], c_j+1] ] ] = – [ b_]1·c_]j+1 – c₁·b_]j+1[] ) / c[₁]]]

  Pour j = 1, 2, ... jusqu'à la fin de la ligne. Notez que c[₁ est le premier élément de la ligne précédente; il doit être non nul (si elle devient zéro, une manipulation spéciale est requise). La formule peut être simplifiée dans la pratique : pour chaque nouvel élément de ligne, prendre le négatif du déterminant d'une matrice 2×2 formée de la première colonne des deux lignes ci-dessus et de la colonne qui s'aligne avec l'élément en cours de calcul.

  Le processus se poursuit jusqu'à la ligne n+1 (le s⁰ ligne) est atteinte. En général, la dernière ligne ne contient qu'un élément non nul — le terme constant a₀ gradué par des facteurs antérieurs, mais garanti être positif si les coefficients initiaux sont positifs.

  Interprétation de la première colonne : Changements de signe et pôles RHP

  Une fois le tableau Routh entièrement construit, examinez la première colonne du tableau (la colonne la plus à gauche de chaque ligne). Comptez le nombre de signes change au fur et à mesure que vous descendez la colonne. Chaque fois que le signe bascule entre deux lignes consécutives (p. ex., de positif à négatif ou négatif à positif), il compte comme un changement de signe.

  Le nombre total de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles dans le demi-plan droit (RHP) S'il y a des changements de signe zéro, tous les pôles sont situés dans le demi-plan gauche (LHP) et le système est stable. Si le nombre est k, il y a k des pôles avec des parties réelles positives, et le système est instable.

  Il est important de noter que le critère de Routh-Hurwitz ne mentionne que le number des pôles RHP, et non leurs valeurs exactes. Pour localiser précisément les pôles, il faut résoudre l'équation caractéristique ou utiliser des méthodes de locus racine.

  Cas spéciaux dans la construction de Routh Array

  Lors de la construction du tableau Routh, deux cas spéciaux peuvent se présenter qui nécessitent une manipulation soigneuse:

  Cas 1 : Un zéro dans la première colonne

  Si un premier élément calculé dans une ligne est zéro, mais que le reste de la ligne n'est pas entièrement zéro, alors le zéro empêche le calcul de la ligne suivante parce que la formule déterminante implique la division par zéro. Une technique courante est de remplacer le zéro par un petit nombre positif ε] (Epsilon), puis de continuer le calcul. Après avoir terminé le tableau, prenez la limite comme ε → 0 pour évaluer les changements de signe. Vous pouvez également utiliser la méthode polynôme auxiliaire (prochement liée au cas d'une ligne entière de zéros).

  Cas 2 : Une rangée entière de zéros

  Si une ligne complète du tableau devient zéro (tous les éléments sont zéro), cela indique que le polynôme caractéristique a des racines symétriques sur l'origine — typiquement une paire de pôles purement imaginaires (±j=]) ou une paire de pôles réels avec des signes opposés de même grandeur. Lorsque cela se produit, vous devez construire un polynôme auxiliaire à partir de la ligne au-dessus de la ligne zéro. Le polynôme auxiliaire est formé en utilisant les coefficients de cette ligne et est de degré égal. Differencier ce polynôme auxiliaire par rapport à ss] pour obtenir de nouveaux coefficients, et utiliser ces coefficients pour remplacer la ligne zéro. Puis continuer à construire le tableau Routh. Le nombre de changements de signe dans la première colonne après cette substitution indique toujours le nombre de pôles RHP (à l'exception des pôles purement imaginaires, qui sont comptés séparément).

  Exemples de travaux

  Exemple 1: Système stable

  Considérez le polynôme caractéristique:

  P(s) = s⁴ + 3s³ + 5s² + 4s + 2]

  Construire le tableau Routh:

  • Ligne 1 (s⁴): 1, 5, 2
  • Ligne 2 (s³): 3, 4, 0
  • Ligne 3 (^2[): Calculer en utilisant les deux premières lignes: premier élément = –(1×4 – 3×5)/3 = –(4 – 15)/3 = 11/3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  • Ligne 4 [^1[): Utilisez les lignes 2 et 3: premier élément = –(3×2 – (11/3)×4)/(11/3) = –(6 – 44/3) / (11/3) = –( (18-44)/3) / (11/3) = –( -26/3) / (11/3) = 26/11 - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  • Ligne 5 (⁰): utilisant les lignes 3 et 4: premier élément = –( (11/3)×0 – (26/11)×2 ) / (26/11) = –( –(52/11) ) / (26/11) = (52/11) / (26/11) = 2; ligne 5: [2]

  Première colonne : 1 (pos), 3 (pos), 11/3 (pos), 26/11 (pos), 2 (pos). Aucun changement de signe → 0 pôles RHP → stable système.

  Exemple 2: Système instable avec deux pôles RHP

  Considérez le polynôme caractéristique:

  P(s) = s³ + s² + 2s + 8

  Tableau de routh & #160;:

  • Ligne 1: 1, 2
  • Ligne 2: 1, 8
  • Ligne 3: premier élément = –(1×8 – 1×2)/1 = –(8 – 2)/1 = –6; deuxième élément = –(1×0 – 1×0)/1 = 0 → ligne 3: [–6, 0]
  • Ligne 4: des lignes 2 et 3: premier élément = –(1×0 – (–6×8)/(–6) = –(0 + 48)/(–6) = –48/(–6) = 8 → ligne 4: [8]

  Première colonne : 1 (pos), 1 (pos), –6 (nég), 8 (pos). Changements de signe : de positif à négatif (1 changement) et de négatif à positif (1 changement) → total 2 changements de signe → 2 pôles RHP. Vérification : les racines de ce polynôme sont –2, 0,5 ± 1,9365.

  Exemple 3: Manipulation d'un zéro dans la première colonne

  Envisagez: P(s) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 6s + 2

  Le calcul du tableau de routh commence :

  • Ligne 1: 1, 3, 2
  • Ligne 2: 2, 6, 0
  • Ligne 3: premier élément = (2×3 – 1×6)/2 = (6 – 6)/2 = 0; deuxième élément = (2×2 – 1×0)/2 = 4/2 = 2 → ligne 3: [0, 2]

  Puisque le premier élément est zéro, le remplacer par un petit ε positif. Continuer:

  • Ligne 3 (avec ε): [ε, 2]
  • Ligne 4: des lignes 2 et 3: premier élément = –(2×2 – ε×6)/ε = –(4 – 6ε)/ε = –4/ε + 6. Comme ε→0+, ce dernier tend à – ε (négatif).
  • Ligne 5: des lignes 3 et 4: premier élément = –(ε×0 – (–4/ε)×2)/(–4/ε) = –(8/ε)/(–4/ε) = 2 → ligne 5: [2]

  Première colonne: 1 (pos), 2 (pos), ε (pos small), –4/ε (nég grand), 2 (pos). Changements de signe: positif→négatif (1), négatif→positif (1) → total 2 changements de signe → 2 pôles RHP.

  Considérations et limites pratiques

  Le critère de Routh-Hurwitz est principalement utilisé pour les systèmes à temps continu décrits par des polynômes avec des coefficients réels. Il ne peut pas gérer directement les retards de temps, les non-linéarités ou les systèmes à paramètres distribués à moins qu'ils ne soient approchés par des polynômes rationnels. De plus, le critère ne fournit que des informations sur le nombre de pôles RHP; il ne donne pas les emplacements exacts des pôles, les rapports d'amortissement ou les fréquences naturelles.

  Rapport avec d'autres essais de stabilité

  Le critère de Routh-Hurwitz est étroitement lié aux déterminants de Hurwitz et aux méthodes Lyapunov. En fait, le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh peut être interprété comme le nombre de changements de signe dans la séquence des principaux mineurs principaux de la matrice de Hurwitz. Pour les systèmes à temps discret (z-domaine), un test similaire existe appelé critère de stabilité du jury, qui est plus complexe mais suit la même philosophie. Le critère de Routh-Hurwitz est également un bloc de construction pour le critère de stabilité plus général Routh–Hurwitz décrit mathématiquement par les déterminants de Hurwitz.

  Conclusion

  Le critère de contrôle de l'Université du Michigan fournit une méthode algébrique efficace et systématique pour déterminer le nombre de pôles dans le demi-plan droit sans résoudre l'équation caractéristique. En construisant le tableau de Routh et en comptant les changements de signe dans sa première colonne, les ingénieurs peuvent rapidement évaluer si un système LTI en continu est stable, et si non, combien de pôles instables sont présents. Des cas spéciaux comme un premier élément zéro ou une rangée complète de zéros sont traités avec des modifications simples, assurant que le test reste applicable à une grande variété de polynômes.