La conception de filtres efficaces à passe basse et à passe haute est une tâche fondamentale dans l'ingénierie de la radiofréquence (RF) et des micro-ondes. Ces filtres transmettent sélectivement des signaux en dessous ou au-dessus d'une fréquence de coupure spécifiée tout en atténuant les autres, les rendant essentiels pour le conditionnement des signaux, la sélection des fréquences et l'appariement des impédances. Parmi les différentes approches de conception, le graphique Smith se distingue comme un outil graphique qui simplifie les calculs d'impédance complexes inhérents à la synthèse des filtres.

Le graphique Smith : une fondation pour la conception de filtres

Le graphique Smith est un tracé polaire du coefficient de réflexion complexe 1, recouvert de résistance constante et de cercles de réaction constante. D'abord développé par Phillip H. Smith dans les années 1930, il demeure une pierre angulaire du design RF parce qu'il transforme les équations d'impédance compliquées en opérations géométriques simples. Une impédance normalisée z = Z / Z0 (où Z0 est l'impédance caractéristique du système, généralement 50 Φ) est cartographiée sur le graphique comme un point. Le graphique représente l'axe réel de la résistance pure, tandis que les arcs au-dessus et au-dessous correspondent respectivement à la réaction inductive (positive) et capacitive (négative).

Pour la conception du filtre, le graphique Smith permet aux ingénieurs de déterminer les éléments réactifs requis (condensateurs et inducteurs) qui transforment une impédance d'entrée en impédance de sortie tout en obtenant la réponse de fréquence souhaitée. En traçant l'impédance normalisée à la fréquence de coupure et en suivant des cercles de résistance ou de conductance constants, on peut déduire des valeurs de séries ou de shunt element. Cette approche graphique élimine la nécessité de résoudre les équations transcendantales et fournit une vue immédiate de la bande passante et des compromis correspondants.

Propriétés clés pour la conception du filtre:

  • Cercles de résistance constants – lignes horizontales? En fait, la résistance constante apparaît comme des cercles tangents au point le plus droit.
  • Arcs de réaction constants[ – ces arcs croisent l'axe réel en des points spécifiques et indiquent la trajectoire d'impédance en fonction des changements de fréquence.
  • La transformation de l'admission – la rotation d'un point de 180° autour du centre convertit l'impédance en admission, ce qui est utile pour analyser les éléments de chasse.

Pour tirer parti de ces propriétés, les concepteurs doivent apprendre à lire le graphique : se déplacer le long d'un cercle de résistance constant correspond à ajouter une inductance de série (dans le sens des aiguilles d'une montre) ou une capacitance (dans le sens des aiguilles d'une montre), tout en se déplaçant le long d'un cercle de conductance constant correspond à ajouter une inductance ou une capacitance de chasse.

Conception de filtres à passe basse avec la carte Smith

Un filtre passe-bas (LPF) passe les fréquences de DC à une fréquence de coupure fc et atténue les signaux au-dessus de lui. La réponse idéale a une perte d'insertion nulle dans le bandeau de passage et un rejet infini dans le bandeau de freinage, mais les filtres pratiques permettent un écoulement progressif déterminé par le nombre d'éléments réactifs (ordre).

Procédure de conception du FPL étape par étape

Étape 1: Définir les spécifications Choisissez la fréquence de coupure fc, l'impédance du système Z0 (p. ex. 50 ↓), l'ordre du filtre (p. ex. troisième ordre) et le type de prototype (p. ex. 0,5 dB ripple Chebyshev). Pour un filtre à passe basse, les valeurs de l'élément normalisé (g-paramètres) pour le prototype choisi sont disponibles dans les tables standard. Par exemple, un Butterworth LPF de troisième ordre avec Z0 = 50 ↓ utilise g1 = 1 H, g2 = 2 F, g3 = 1 H (échelle).

Étape 2: Normaliser et tracer l'impédance à la coupure. À la fréquence de coupure, l'impédance d'entrée du filtre est purement réelle et égale à Z0. Par conséquent, l'impédance normalisée z = 1 + j0 est le point de départ au centre du graphique Smith.

Étape 3 : Synthétiser les composants par des trajectoires de diagramme. Pour une topologie de série-première, shunt-seconde (typique pour LPF), le dessin se déroule comme suit :

  • Premier élément (inducteur de série):[ Ajouter un inducteur de série déplace le point d'impédance le long d'un cercle de résistance constant dans le sens des aiguilles d'une montre (augmentation de la réactivité inductive).La réaction normalisée requise xL[] = g1 (inductance normalisée) = 1 pour Butterworth. Sur le graphique, localiser le cercle de résistance constant pour r=1, puis le déplacer du centre (z=1) au point où la réactivité normalisée est égale à 1. C'est l'intersection du cercle r=1 avec l'arc x=1. La nouvelle impédance est z = 1 + j1.
  • Deuxième élément (condensateur de chasse): Il est plus facile de travailler en admission en ajoutant des éléments de chasse. Rotation du point d'impédance 180° autour du centre pour obtenir l'admission correspondante y = 0,5 - j0.5. Ajouter un condensateur de chasse augmente la susceptance vers le haut (partie imaginaire positive). La susceptance normalisée requise bC] = g2 = 2. Sur la carte d'admission Smith (ou en utilisant la même carte avec interprétation d'admission), passer du point d'admission vers le haut le long d'un cercle de conductance constant (g=0.5) jusqu'à ce que la susceptance totale devienne y = 0,5 + j1.5.].
  • Troisième élément (inducteur de série):[ Retourner à l'impédance: le nouveau point d'admission (0,5 + j1.5) donne une impédance de z = 0,2 - j0.6. Ajouter l'inducteur de série final se déplace le long du cercle de résistance constante r=0,2 dans le sens des aiguilles d'une montre. La réaction normalisée requise est g3 = 1. Le mouvement se termine à z = 1 + j0 (centre), confirmant que le réseau est parfaitement ajusté à la fréquence de coupure.

Étape 4: Dénormaliser les composants. Convertir la réaction et la susceptance normalisées en valeurs physiques en utilisant la fréquence de coupure:

  • Inductance: L = (xL * Z0) / (2π fc)[
  • Capacité: C = bC / (2π fc * Z0)

Pour fc = 1 GHz et Z0 = 50 ↓, le premier inducteur devient 7,96 nH, le condensateur de chasse 6,37 pF et le second inducteur aussi 7,96 nH.

Vérification et alignement

Après avoir construit le filtre, tracez l'impédance à plusieurs fréquences à travers la bande passante et la bande stop sur la carte Smith. À de basses fréquences (bien en dessous de fc), l'impédance devrait rester près de 50 ↓ (centre). À des fréquences élevées, l'impédance se déplace vers le bord de la carte (haute réflexion), indiquant un rejet effectif. Si la perte de retour de la bande passante est insuffisante, de légers ajustements aux valeurs des composants peuvent être guidés par la carte – par exemple, ajouter une petite inductance série pour compenser la capacité parasitaire.

Topologies et prototypes alternatifs

La même procédure s'applique aux prototypes de Chebyshev et elliptiques, mais les valeurs de réaction et de susceptibilité normalisées sont différentes. Pour un LPF de Chebyshev avec 0,1 dB ondulation, g1 = 0,843, g2 = 0,622, g3 = 1,355. Les trajectoires de diagramme de Smith ne se termineront au même centre que si l'ordre est impair; pour même les ordres, le filtre peut nécessiter un transformateur d'impédance à un port. Le graphique peut également être utilisé pour concevoir des sections π- et T en échangeant des séries et des séquences d'éléments de chasse.

Conception de filtres à passe élevée avec la carte Smith

Les filtres à passe-haute (HPF) passent les fréquences au-dessus de la coupure et atténuent les basses fréquences. Ce sont des doubles de filtres à passe-bas : les condensateurs de série remplacent les inducteurs de série, et les inducteurs de chasse remplacent les condensateurs de chasse. La procédure de conception est analogue, mais les mouvements d'impédance sur la carte Smith sont dans la direction opposée parce que la réactivité capacitive diminue avec la fréquence (partie imaginaire négative se déplaçant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre pour les éléments de série) et la susceptance inductive diminue avec la fréquence (partie imaginaire négative se déplaçant vers le bas sur la carte d'admission pour les éléments de chasse).

Procédure de conception du FPH étape par étape

Étape 1: Obtenir un prototype de passe bas normalisé. Utiliser les mêmes valeurs g d'un prototype de passe bas (p. ex., Butterworth du troisième ordre: g1=1, g2=2, g3=1). Pour un filtre à passe haut, les valeurs normalisées sont converties par transformation de fréquence s → 1/s]. Les valeurs équivalentes des éléments de passe haut deviennent : capacité de série avec susceptance normalisée = 1/g1, inductance de chasse avec réactivité normalisée = 1/g2, et capacité de série à nouveau avec 1/g3.

Étape 2: Déplacez l'impédance à la coupure.] Au point de coupure, le filtre passe-haut présente également une impédance de Z0, donc le point de départ est à nouveau le centre du graphique Smith avec z=1.

Étape 3: Synthétiser les composants par des trajectoires de diagramme (en mouvement dans le sens contraire des aiguilles d'une montre pour la capacité de série, vers le bas pour l'inductance de la chasse)

  • Premier élément (condensateur de série):[ Un condensateur de série ajoute une réactivité capacitive (négative). Du centre, se déplacer le long du cercle de résistance constante r=1 dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. La réactivité normalisée requise xC = -1/g1 = -1. La nouvelle impédance est z = 1 - j1.
  • Second élément (inducteur de chasse):[ Rotation à l'admission: y = 0,5 + j0.5. Ajouter un inducteur de chasse augmente la susceptance inductive, qui est négative sur le graphique d'admission. La susceptance normalisée requise bL = -1/g2 = -0.5]. Déplacer vers le bas le long du cercle de conductance constante g=0,5 jusqu'à ce que la susceptance totale devienne y = 0,5 - j0.0? En fait, à partir de y=0,5+j0.5, nous devons ajouter b=-0,5, donc nouveau y = 0,5 + j0.0.
  • La valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la

Résistance HPF corrigée (troisième ordre Butterworth): Valeurs de passage élevé normalisées: C1 = 1 F, L2 = 0,5 H, C3 = 1 F. Au seuil, le filtre est adapté: impédance à tous les nœuds? En fait, la table standard pour le passage élevé donne des valeurs d'éléments directement. Pour un passage supérieur de 50 γ, 1 GHz: C1 = 1/(2π×1e9×50×g1) = 3,18 pF, L2 = (50×g2)/(2π×1e9) = 7,96 nH (depuis g2=1 pour la valeur transformée? Attendez, la confusion se produit.

Approche simplifiée: Utilisez le graphique d'admission Smith pour les éléments de chasse. Commençant à impédance centrale z=1 (admittance y=1).

  1. Condensateur de série: se déplacer dans le sens inverse des aiguilles d'une montre avec la résistance constante r=1. Arrivez à z=1-j1 (y=0,5+j0,5).
  2. Inducteur de shunt : rotation vers l'espace d'admission (déjà y=0.5+j0.5). Pour ajouter l'inducteur de shunt, il faut ajouter une susceptibilité inductive positive? La susceptibilité inductive est négative (puisque Y = j-C pour condensateur, mais pour l'inducteur Y = 1/j-L = -j/(-L)). L'ajout d'un inducteur dans shunt réduit la susceptance totale (la rend plus négative). La susceptance normalisée requise pour l'inducteur de shunt est b L = -1/g2 = -0.5 (depuis g2=2). À partir de y=0.5+j0.5, soustrayez 0,5 de la partie imaginaire : nouveau y = 0.5 + j0.0.
  3. Revenir à l'impédance : y=0.5+j0.0 donne z=2+j0. Ajoutez maintenant le condensateur de série final : déplacez-vous dans le sens inverse des aiguilles d'une montre le long de r=2 par x=-1. Arrivez à z=2 - j1 (y=0.4+j0.2). Cela ne correspond pas au centre. La raison est que le réseau T-pass supérieur n'est pas symétrique au sens de l'impédance après chaque élément; le condensateur de série final doit être choisi de manière à ce que l'impédance globale à l'entrée soit Z0. En pratique, les valeurs de l'élément sont précalculées à partir de tables prototypes, non dérivées par étapes sur le graphique. Le graphique est plus utile pour l'impédance appariement après la conception du filtre ou pour vérifier la réponse à diverses fréquences.

Conseil pratique de conception: Au lieu de la synthèse par étapes, les concepteurs commencent souvent par un prototype connu de passe bas et se convertissent à l'aide du graphique: tracer la trajectoire d'impédance de passe bas à la fréquence de coupure, puis l'inverser par rapport au centre (rotation 180°) pour obtenir la réponse de passage haut. Cette transformation graphique double est moins fréquente mais illustre la symétrie.

Vérification et sélection des composantes

Pour un filtre à passes hautes construit avec des composants de montage en surface, le diagramme Smith peut afficher les paramètres S mesurés. À des fréquences bien au-dessus de la coupure, l'impédance doit se regrouper près du centre (apparié). Lorsque la fréquence diminue vers la coupure, l'impédance s'enroule vers l'extérieur vers le circuit ouvert ou court, selon la topologie.

Techniques avancées et considérations pratiques

Au-delà de la synthèse de base, le graphique Smith facilite plusieurs tâches de conception de filtres avancés. Par exemple, lors de la conception de filtres multi-étapes (par exemple, cinquième ordre), le graphique aide à visualiser la transformation d'impédance dans chaque section. Chaque étape rapproche l'impédance du centre à la fréquence de coupure, mais loin de celle-ci à d'autres fréquences. En traçant les loci pour plusieurs fréquences, le concepteur peut vérifier que la réponse combinée répond aux exigences de rejet.

Les réseaux de couplage intégrés avec des filtres: Souvent, un filtre doit aussi correspondre à l'impédance d'entrée à une source ou à une charge non-50 Φ. Le graphique Smith peut incorporer une section de couplage (p. ex. un réseau L ou un stub) directement dans le filtre en ajustant les valeurs du premier ou du dernier élément. Par exemple, un filtre passe-bas avec une entrée 75 Φ peut être conçu en commençant le graphique avec une impédance normalisée de z=1,5 (pour la référence 75 Φ) et en suivant ensuite les mêmes trajectoires mais en étalant les composants en conséquence.

Déalage avec effets parasitaires:[ Les inducteurs réels ont des fréquences autorésonnes et une résistance de série équivalente (ESR), tandis que les condensateurs ont une inductance de série équivalente (ESL). Ces parasites ajoutent une réaction fallacieuse qui déplace l'impédance sur le graphique Smith. Une technique courante est de mesurer l'impédance de composant à plusieurs fréquences et de le tracer sur le graphique, puis d'ajuster les valeurs nominales pour compenser. Par exemple, si un condensateur destiné à un filtre à passe élevée montre un comportement inductif au-dessus de l'autorésonance, le filtre peut devenir passe-bas à haute fréquences. Le graphique révèle immédiatement de telles anomalies dépendantes de fréquence.

Comparaison avec d'autres méthodes de conception: Bien que la conception de diagramme Smith soit graphique et intuitive, elle est limitée à une complexité modérée (jusqu'à environ le cinquième ordre) en raison de l'effort manuel. Pour les commandes plus élevées, les outils logiciels comme ADS, HFSS ou MATLAB fournissent une optimisation. Cependant, le graphique reste particulièrement utile pour le prototypage rapide, des fins éducatives, et pour travailler avec l'équipement ou les calculs manuels.

Pour plus de détails sur les fondamentaux des graphiques de Smith, consultez le guide Microwaves101 des bases des graphiques de Smith. Un tutoriel détaillé sur la conception des filtres à l'aide du graphique est disponible à partir du , qui fournit des exemples étape par étape avec des valeurs réelles des composants.Pour ceux qui recherchent une référence complète sur la synthèse des filtres RF, le texte classique de Matthaei, Young et Jones est inestimable, mais une ressource pratique en ligne est la page du graphique de Café Smith, qui comprend des modèles de graphiques téléchargeables et des outils de calcul.

Conclusion

Le graphique Smith demeure un outil durable pour la conception de filtres à passe basse et à passe haute en génie RF. Sa démarche graphique transforme les calculs d'impédance fastidieuses en constructions géométriques simples, permettant aux ingénieurs de synthétiser et de vérifier rapidement les réseaux de filtres. En maîtrisant la technique de se déplacer le long de cercles de résistance constante et de conductance constante, on peut concevoir Butterworth, Chebyshev et d'autres filtres prototypes avec confiance. De plus, le graphique Smith sert de puissant outil de vérification et de dépannage lorsqu'il travaille avec des composants réels qui comprennent des parasites.