Fondations mathématiques de filtres Kalman étendus dans la localisation des robots

Le filtre Kalman étendu (EKF) est un algorithme largement utilisé dans la localisation des robots. Il évalue la position et l'orientation du robot en combinant les données de capteur avec un modèle mathématique du mouvement du robot. Comprendre les fondements mathématiques de l'EKF est essentiel pour une mise en œuvre et un réglage efficaces.

Représentation et prévision de l'État

Le noyau de l'EKF consiste à représenter l'état du robot comme vecteur, incluant généralement la position et l'orientation. L'étape de prédiction utilise un modèle de mouvement non linéaire pour projeter l'état courant en avant dans le temps. Ceci implique de calculer la matrice jacobinienne du modèle de mouvement pour linéariser les équations non linéaires autour de l'estimation du courant.

Mise à jour et linéarisation des mesures

Les mesures de capteur sont intégrées à l'étape de mise à jour. Comme les mesures sont souvent des fonctions non linéaires de l'état, EKF linéarise ces fonctions en utilisant leurs Jacobiens. Ce processus ajuste l'état prédit en fonction de la différence entre les lectures attendues et réelles de capteur.

Équations mathématiques

Les équations de prédiction sont les suivantes :

Prédiction de l'état:

x.k+1− = f.(x.k., uk)

Prédiction de la covariance:

Pk+1− = Fk Pk Fkt + Qk

où f est le modèle de mouvement non linéaire, Fk est son jacobin, P est la matrice de covariance, et Q est la covariance de bruit de processus.

Les équations de mise à jour sont les suivantes:

Gagne de Kalman:

Kk = Pk− Hkt (Hk Pk− Hkt + Rk)−1

Mise à jour de l'état:

x.k = x.k− + Kk (zk - h(x.k−))

][Mise à jour de la covariance]

Pk = (I - Kk Hk) Pk −

Ici, h est le modèle de mesure non linéaire, Hk est son Jacobian, Rk est la covariance de bruit de mesure, et zk est la mesure réelle du capteur.