Pourquoi les équations de navigation comptent-elles?

Les équations Navier-Stokes forment l'épine dorsale mathématique de la dynamique des fluides. Elles décrivent comment la vitesse, la pression, la température et la densité évoluent dans les fluides mobiles. Chaque goutte de pluie, chaque rafale de vent, chaque turbine du moteur à réaction et chaque cellule sanguine se déplaçant à travers une artère obéit à ces équations. Pourtant, pour toute leur ubiquité, elles demeurent l'un des défis les plus tenaces en matière de calcul en physique et en ingénierie.

Depuis, les ingénieurs et les scientifiques ont lutté avec eux dans toutes les disciplines qui impliquent le mouvement des fluides. La prévision météorologique dépend de leur résolution dans toute l'atmosphère. Les concepteurs d'aéronefs ont besoin de solutions précises pour réduire la traînée et améliorer l'efficacité énergétique. Les ingénieurs chimiques comptent sur eux pour concevoir des réacteurs et des pipelines. Les chercheurs médicaux les utilisent pour modéliser le flux sanguin à travers les artères et les valves cardiaques prothétiques.

Les équations elles-mêmes sont de nature à être compactes, combinant la conservation de l'élan et la conservation de la masse et, dans de nombreux cas, la conservation de l'énergie. L'équation de l'élan comprend un terme d'inertie, un terme de gradient de pression, un terme de diffusion visqueux et un terme de force corporelle.

L'Institut de mathématiques de Clay a désigné le problème de l'existence et de la douceur des Naviers-Stokes comme l'un de ses sept problèmes du Prix du millénaire. Une preuve rigoureuse de l'existence de solutions fluides et globales pour les équations tridimensionnelles reste insaisissable. Même si une preuve émerge, le calcul pratique restera redoutable parce que l'étendue des échelles spatiales et temporelles dans le flux turbulent s'étend sur de nombreux ordres de grandeur.

Ce goulot d'étranglement informatique a motivé les chercheurs à explorer des paradigmes informatiques fondamentalement différents. L'informatique quantique, avec sa capacité à fonctionner sur des superpositions quantiques et à exploiter l'enchevêtrement, offre un chemin qui pourrait contourner l'échelle exponentielle qui rend les simulations Navier-Stokes prohibitivement coûteuses sur les machines classiques.

Le problème de l'échelle numérique

Pour comprendre pourquoi le calcul quantique peut aider, il est utile de comprendre exactement où les simulations classiques se décomposent. Les équations Navier-Stokes sont un ensemble d'équations différentielles partielles non linéaires. Dans un régime turbulent, le flux contient des tourbillons et des tourbillons qui couvrent une large gamme d'échelles de longueur. Les tourbillons les plus importants sont comparables à la taille du domaine, tandis que les plus petits tourbillons, appelés échelles Kolmogorov, dissipent l'énergie cinétique en chaleur par des effets visqueux.

Le rapport entre le plus grand et le plus petit nombre de longueurs augmente à mesure que le nombre de Reynolds atteint les trois quarts. Pour les débits de nombres élevés de Reynolds, qui sont courants dans les applications aérospatiales et géophysiques, ce rapport devient énorme. Une simulation numérique directe nécessite une maille assez fine pour résoudre les plus petits tourbillons dans tout le domaine. Le nombre de points de grille s'échelle comme le nombre de Reynolds à la puissance des neuf quarts. Pour un nombre de Reynolds de 10 millions, qui est typique pour un avion commercial en vol, le nombre de points de grille requis dans les billions. Chaque point de grille nécessite la résolution d'équations couplées à chaque étape, et le pas de temps lui-même doit être assez petit pour saisir la dynamique la plus rapide.

Cette échelle place la simulation numérique directe de nombreux flux importants hors de portée pour les ordinateurs classiques, indépendamment des améliorations de Moore Loi. Reynolds-moyenne Navier-Stokes (RANS) et la simulation de gros-eddy (LES) offrent des approximations qui réduisent le coût de calcul, mais ils sacrifient la précision, en particulier dans les flux avec séparation, réattachement, et fortes gradients de pression.

Bases de calcul quantiques pour la dynamique des fluides

Contrairement aux bits classiques qui sont toujours 0 ou 1, un qubit peut exister dans une superposition des deux états. Lorsque plusieurs qubits sont enchevêtrés, l'état de l'ensemble du système ne peut pas être décrit indépendamment pour chaque qubit. Ces propriétés permettent aux ordinateurs quantiques d'explorer simultanément de nombreux chemins de calcul.

Pour résoudre les équations différentielles, les algorithmes quantiques peuvent atteindre des accélérations exponentielles dans certaines conditions. Les approches les plus prometteuses pour Navier-Stokes se divisent en deux grandes catégories : les algorithmes quantiques linéaires et les méthodes de simulation hamiltoniennes.

Les algorithmes de systèmes linéaires quantiques, comme l'algorithme Harrow-Hassidim-Lloyd, résolvent les systèmes linéaires d'équations exponentiellement plus rapides que les algorithmes classiques dans certains régimes. Les équations Navier-Stokes sont non linéaires, mais elles peuvent être linéarisées par discrétisation et itération, ou transformées par des techniques comme la linéarisation Carleman. La question clé est de savoir si ces linéarisations préservent l'avantage de vitesse quantique après avoir tenu compte du surcoût de l'intégration du problème dans un circuit quantique.

Les approches de simulation hamiltoniennes traitent le flux de fluide comme un système quantique qui évolue sous un Hamiltonien spécifique qui correspond mathématiquement à l'opérateur Navier-Stokes. L'ordinateur quantique simule cette évolution directement, captant potentiellement la dynamique non linéaire complète sans avoir besoin de grilles de discrétisation massives.Ces méthodes sont encore hautement théoriques, mais elles offrent les accélérations les plus spectaculaires possibles.

Estimation de la phase quantique et problème de valeur propre des navires-cargos

L'estimation quantique de phase (QPE) est un algorithme fondamental dans le calcul quantique. Il évalue les valeurs propres d'un opérateur unitaire. Lorsqu'il est appliqué à la dynamique des fluides, QPE peut être utilisé pour analyser la stabilité des configurations d'écoulement ou pour trouver les modes dominants dans un champ d'écoulement turbulent. Ces modes, connus comme des modes de décomposition orthogonale appropriés ou des modes de décomposition dynamique, révèlent les structures cohérentes qui dominent le transport de l'énergie et de l'élan dans les flux turbulents.

Le calcul classique de ces modes nécessite la résolution de grands problèmes de valeur propre qui s'échellent mal avec la taille de la discrétisation. QPE offre une voie à la vitesse exponentielle pour cette sous-tâche spécifique. Les chercheurs des institutions dont MIT, Caltech, et l'Université technique de Munich ont publié des cadres théoriques montrant comment QPE pourrait extraire les modes les plus énergétiques d'un champ de flux en utilisant beaucoup moins de ressources de calcul que les méthodes classiques ne nécessitent.

L'implémentation pratique est confrontée à des défis matériels importants. QPE nécessite de longues périodes de cohérence et des portes quantiques de haute fidélité. Les appareils actuels à échelle intermédiaire bruyante quantique (NISQ) ne peuvent pas supporter les profondeurs de circuit nécessaires pour les calculs QPE utiles sur les problèmes Navier-Stokes.

Variante quantique Eigensolvers

Les variables quantiques Eigensolvers (VQE) adoptent une approche différente. Elles combinent un ordinateur quantique avec un optimisateur classique. L'ordinateur quantique prépare un état quantique paramétré et mesure son énergie par rapport à un Hamiltonien donné. L'optimiseur classique ajuste les paramètres pour minimiser l'énergie, trouvant efficacement l'état du sol du système. Pour les applications Navier-Stokes, VQE peut être utilisé pour trouver la configuration du débit d'énergie minimale dans des conditions de limites données, ou pour résoudre des problèmes d'optimisation dans la conception du contrôle du débit et de la forme aérodynamique.

VQE est plus tolérant au bruit que QPE parce que les circuits quantiques sont plus faibles et que l'optimiseur classique peut compenser certaines erreurs. Cela rend VQE possible sur le matériel NISQ, du moins pour de petits problèmes de test. Les chercheurs d'IBM Quantum ont démontré des solutions basées sur VQE pour des problèmes simplifiés de dynamique des fluides, y compris l'équation unidimensionnelle de Burgers et les flux de cavités bidimensionnelles. Ces démonstrations sont loin de l'échelle nécessaire pour les applications industrielles, mais ils valident l'approche conceptuelle et mettent en évidence les domaines où les améliorations matérielles auront le plus d'impact.

Algorithmes quantiques pour les équations différentielles non linéaires

Les équations Navier-Stokes sont fondamentalement non linéaires. Le terme advection, où la vitesse multiplie le gradient de vitesse, introduit des produits de variables inconnues. Cette non-linéarité est la source principale de turbulence et le principal obstacle à une simulation quantique efficace.

Plusieurs stratégies ont été mises en place pour relever ce défi. Une approche utilise la linéarisation Carleman, qui refond le système non linéaire comme un ensemble infini d'équations linéaires en introduisant de nouvelles variables qui représentent les produits des variables originales. La tronquage de ce système infini à un ordre fini produit une approximation linéaire qui peut être résolue avec des algorithmes de systèmes linéaires quantiques. La précision de l'approximation s'améliore à mesure que plus de termes sont retenus, mais la taille du système augmente exponentiellement avec l'ordre de troncation. La question pratique est de savoir si la vitesse quantique l'emporte sur cette croissance pour des tailles de problèmes réalistes.

Une autre approche utilise des unités de traitement quantiques non linéaires, qui sont des circuits quantiques spécialisés conçus pour appliquer des transformations non linéaires à des états quantiques. Ces circuits exploitent le fait que la mesure d'un état quantique produit une fonction non linéaire des amplitudes d'état. En interlivant des opérations unitaires avec des mesures et des post-traitements classiques, il est possible de mettre en œuvre des opérations non linéaires au sein d'un algorithme quantique.

Une troisième stratégie utilise des machines de calcul quantique et d'apprentissage quantique extrême. Ce sont des approches classiques-quantiques hybrides où un circuit quantique fixe et aléatoire cartographie l'entrée dans un espace de caractéristiques haute dimension, et un modèle linéaire classique apprend à prédire la sortie de ces caractéristiques. Le circuit quantique agit comme un système dynamique non linéaire qui peut approximationner le comportement des équations Navier-Stokes sans les résoudre explicitement. Cette approche est particulièrement attrayante pour la prévision en temps réel et les applications de contrôle, où la vitesse est plus importante que la précision absolue.

Méthodes de lattice Boltzmann sur ordinateurs quantiques

Les méthodes de Lattice Boltzmann (LBM) offrent un chemin différent. Au lieu de discrétiser directement les équations Navier-Stokes, LBM simule le mouvement et la collision des particules sur un réseau discret. Le comportement du fluide macroscopique émerge de la dynamique des particules microscopiques. LBM est déjà populaire sur les ordinateurs classiques pour les flux complexes, en particulier dans les médias poreux et les systèmes multiphasés, car il est plus facile de paralléliser que les résolveurs directs Navier-Stokes.

Sur les ordinateurs quantiques, LBM cartographie naturellement les marches quantiques et les automates cellulaires quantiques. L'étape de collision devient une opération unitaire sur les qubits représentant les fonctions de distribution des particules. L'étape de streaming devient une opération de changement dans le réseau.

Les chercheurs de l'Université d'Édimbourg et de l'Université de Genève ont publié des algorithmes quantiques LBM qui permettent de réaliser des accélérations polynômes sur les simulations LBM classiques. La rapidité vient du fait qu'un ordinateur quantique peut représenter la distribution des particules sur tous les sites de réseau simultanément, plutôt que d'aller sur des sites un par un. Pour les grandes grilles tridimensionnelles, ce parallélisme procure un avantage significatif.

Blocs routiers et voie à suivre

Le matériel quantique a rapidement progressé au cours de la dernière décennie, mais les simulations pratiques Navier-Stokes restent hors de portée pour les appareils actuels. Les principales limitations sont le nombre de qubits, le temps de cohérence, la fidélité des portes et la correction des erreurs.

Nombre de qubits et connectivité

Les appareils NISQ actuels offrent au plus quelques centaines de qubits physiques. Chaque qubit logique pour le calcul de la tolérance aux défauts peut nécessiter des centaines ou des milliers de qubits physiques pour la correction des erreurs. Le nombre total de qubits physiques nécessaires pour les simulations Navier-Stokes pertinentes au niveau industriel pourrait être de dizaines de millions. Cette échelle est au moins à une décennie, basée sur les feuilles de route actuelles d'IBM, Google et d'autres développeurs de matériel quantique.

Même si suffisamment de qubits deviennent disponibles, la connectivité entre qubits importe. Les simulations Navier-Stokes nécessitent des interactions entre les points de grille voisins, qui cartographient les interactions entre qubits voisins dans le processeur quantique. La connectivité de grille bidimensionnelle, où chaque qubit se connecte à ses quatre voisins les plus proches, cartographie bien à correction d'erreur de code de surface et est disponible dans de nombreux processeurs de qubit supraconducteurs actuels.

Cohérence et fidélité des portes

Les calculs quantiques doivent être effectués avant que le qubits ne décèle et ne perde leur information quantique. Le temps de cohérence des qubits supraconducteurs actuels est de l'ordre de dizaines à centaines de microsecondes. Un circuit de simulation Navier-Stokes pourrait nécessiter des milliards de opérations de portails, dépassant de loin les limites de cohérence actuelles.

La correction d'erreur quantique peut protéger contre les erreurs de décohérence et de porte, mais elle introduit des frais généraux importants. Le code de surface, le schéma de correction d'erreur le plus étudié, nécessite un réseau de qubits physiques pour coder un qubit logique. Le facteur de frais généraux dépend du taux d'erreur physique et du taux d'erreur logique souhaité.

Stratégies de l'ère NISQ

En attendant un matériel tolérant aux défauts, les chercheurs développent des algorithmes NISQ-ère qui peuvent fonctionner sur des appareils bruyants existants. Ces algorithmes échangent une partie de la vitesse quantique théorique pour augmenter la robustesse au bruit. Méthodes de variation, approches hybrides classiques-quantum, et calcul quantique réservoir tous entrent dans cette catégorie. Ils peuvent gérer de petits problèmes de dynamique de fluide bidimensionnelle aujourd'hui, et ils vont s'étendre à des problèmes plus grands à mesure que le matériel s'améliore.

La stratégie NISQ déplace l'accent de la résolution des équations complètes Navier-Stokes vers la résolution de modèles à ordre réduit ou de sous-problèmes spécifiques. Par exemple, un appareil NISQ ne peut pas simuler l'ensemble du flux turbulent autour d'une aile d'aéronef, mais il peut calculer les modes d'instabilité dominants ou optimiser les paramètres dans un modèle de turbulence.

Demandes qui profiteront d'abord

Même des solutions quantiques partielles pour les problèmes de Navier-Stokes transformeront plusieurs industries. Les applications qui bénéficieront d'abord sont celles où les limitations de calcul actuelles sont les plus aiguës et où les solutions approximatives sont insuffisantes.

Génie aérospatial

Les simulations RANS et ERP actuelles peuvent prédire le levage et la traînée avec une précision raisonnable pour les débits fixés, mais elles ont des difficultés avec les débits séparés, le décrochage, les ondes de choc transoniques et le transfert de chaleur. Le calcul quantique pourrait permettre une simulation numérique directe des configurations complètes d'aéronefs au vol Les numéros Reynolds, éliminant ainsi la nécessité de modéliser les turbulences en fonction de la confiance, ce qui permettrait aux concepteurs d'optimiser les configurations avec des temps d'essai dans les souffles et de permettre des aéronefs plus efficaces, plus silencieux et plus sûrs.

Les fabricants de moteurs profiteraient de la capacité de simuler la dynamique de combustion à l'intérieur des moteurs à turbine à gaz. L'interaction entre le flux turbulent, les réactions chimiques et le transfert de chaleur dans un combustible est extrêmement complexe et mal captée par les modèles actuels.

Prévisions météorologiques et climatiques

Les modèles météorologiques résolvent les équations Navier-Stokes sur une grille globale. La résolution des modèles opérationnels actuels est d'environ 5 à 10 kilomètres. De nombreux processus importants, y compris la formation de nuages, la convection et la turbulence des couches limites, se produisent à des échelles plus petites que l'espacement de la grille et doivent être paramétrés.

Le calcul quantique pourrait éventuellement permettre des modèles météorologiques mondiaux avec une résolution à l'échelle du kilomètre, en résolvant explicitement les orages, les ouragans et les fronts atmosphériques, ce qui améliorerait considérablement la précision des prévisions météorologiques sévères et des projections climatiques.

Dynamique des fluides médicaux

Dans les maladies cardiovasculaires, les modèles de débit deviennent perturbés et le stress de cisaillement des parois joue un rôle critique dans la formation et la progression des plaques. Les simulations de flux sanguin spécifiques au patient peuvent aider les chirurgiens à planifier des interventions, mais les simulations actuelles sont lentes et coûteuses. Le calcul quantique pourrait permettre des simulations hémodynamiques en temps réel et spécifiques au patient qui s'intègrent directement aux données d'imagerie médicale.

Au-delà du flux sanguin, d'autres applications médicales comprennent le débit d'air dans les poumons pour la modélisation des maladies respiratoires, la dynamique des fluides céphaliques pour comprendre l'hydrocéphalie et les lésions cérébrales traumatiques, et la livraison de médicaments par le flux sanguin.

Applications environnementales et énergétiques

L'optimisation de la disposition des parcs éoliens nécessite la modélisation des interactions turbulentes entre les turbines. Les modèles actuels utilisent des approximations qui peuvent surestimer la production d'énergie de 10% ou plus. Le calcul quantique pourrait permettre des simulations précises de sillage, ce qui conduirait à des aménagements des parcs éoliens qui produisent plus de puissance et réduisent les charges de fatigue des turbines.

Dans l'industrie pétrolière et gazière, le débit de fluides dans les roches poreuses détermine les performances du réservoir. Les simulations actuelles de réservoirs utilisent des modèles à échelle supérieure qui permettent de calculer des pores à l'échelle moyenne sur les structures micrométriques.

La Feuille de route pour une dynamique des fluides quantiques pratiques

La trajectoire des démonstrations à petite échelle actuelles vers les simulations quantiques pertinentes pour l'industrie Navier-Stokes suit une progression claire. Chaque étape s'appuie sur la précédente, avec le développement du matériel et de l'algorithme en parallèle.

Première étape : Preuve de concept

Nous en sommes à ce stade. Des chercheurs ont démontré des solutions quantiques pour l'équation unidimensionnelle de Burgers, les débits de cavités bidimensionnelles et les flux de canaux à faible nombre de Reynolds sur des simulateurs quantiques et de petits appareils NISQ. Ces démonstrations valident les algorithmes et identifient les principales sources d'erreur.

Deuxième étape : Validation à petite échelle

Dans les cinq prochaines années, à mesure que le matériel quantique s'améliore jusqu'à des centaines de qubits logiques avec des taux d'erreur plus faibles, les chercheurs s'attaqueront aux flux bidimensionnels à des nombres modérés de Reynolds. Ces simulations seront validées par des simulations numériques directes classiques et des données expérimentales.

Troisième étape : Simulations pertinentes pour l'industrie

Avec des ordinateurs quantiques tolérants aux défauts de milliers de qubits logiques, prévus pour la fin des années 2020 au début des années 2030 selon la plupart des feuilles de route, des simulations tridimensionnelles deviendront possibles. Ces simulations seront encore limitées à des géométries relativement simples et des nombres modérés de Reynolds, mais elles dépasseront les capacités de simulation numérique directe classique pour ces cas. Les partenaires industriels commenceront à utiliser des simulations quantiques pour des sous-problèmes spécifiques, tels que l'optimisation des formes de la nappe d'air ou la prévision du bruit provenant de jets turbulents.

Quatrième étape : Utilisation courante

Au milieu des années 2030 à 2040, des systèmes à million de qubits pourraient permettre des simulations quantiques de routine Navier-Stokes pour des géométries complexes et des nombres élevés de Reynolds. À ce stade, les simulations quantiques compléteront les simulations et expériences classiques comme outil standard dans la boîte à outils de dynamique des fluides.

Collaboration entre les disciplines

Débloquer le potentiel de l'informatique quantique pour les équations Navier-Stokes nécessite une collaboration au-delà de ce qui est typique dans la recherche académique ou industrielle. Les dynamiques fluides doivent apprendre à penser en termes d'algorithmes quantiques. Les chercheurs en calcul quantique doivent développer une intuition pour la physique des fluides.

Plusieurs initiatives favorisent déjà cet environnement interdisciplinaire.Le Groupe de recherche sur les fluides quantiques de l'Université de Cambridge réunit des physiciens et des ingénieurs pour développer des algorithmes quantiques pour la turbulence. Le Réseau IBM Quantum regroupe des entreprises aérospatiales comme Airbus et Boeing, ainsi que des entreprises énergétiques et des instituts de recherche, pour explorer les applications quantiques en dynamique des fluides.

Les universités proposent des cours de calcul quantique adaptés aux ingénieurs et aux scientifiques appliqués, en mettant l'accent sur les algorithmes pratiques plutôt que sur la mécanique quantique abstraite. Les écoles et ateliers d'été, comme l'atelier Quantum Computing for Fluid Dynamics, organisé à l'Institut de mathématiques pures et appliquées de l'UCLA, forment la prochaine génération de chercheurs qui feront avancer ce domaine.

À quoi ressemblera le succès

La mesure ultime du succès des résolveurs quantiques Navier-Stokes sera la capacité de calculer les débits impossibles avec les méthodes classiques. Cela ne signifie pas nécessairement simuler chaque écoulement dans un flux turbulent de zéro. Cela pourrait signifier obtenir une précision équivalente avec des ordres de grandeur moins de temps ou d'énergie computationnel. Cela pourrait signifier résoudre des problèmes inverses, où les ingénieurs demandent pas "quel flux résulte de cette géométrie" mais "quelle géométrie produit le flux désiré." La conception inverse est extrêmement coûteuse avec les méthodes classiques parce qu'elle nécessite de nombreuses simulations avant.

Le succès pourrait également provenir d'approches hybrides quantiques-classiques où un processeur quantique gère les parties les plus intensives de la simulation, tandis que le processeur classique gère le reste. Cette vision hybride est réaliste pour le court terme et permet l'adoption progressive à mesure que le matériel quantique s'améliore.

Les équations Navier-Stokes résistent à une solution de calcul complète depuis près de deux siècles. L'informatique quantique offre la première voie plausible pour franchir la barrière de graduation qui a limité les méthodes classiques. La route est longue et les défis sont importants, mais l'impact potentiel sur la science, l'ingénierie et la société est énorme.