Comprendre le terrain de Nyquist

Le tracé Nyquist est un outil fondamental de l'ingénierie de contrôle, utilisé pour analyser la stabilité des systèmes de rétroaction. Nommé après Harry Nyquist, cette représentation graphique représente la réponse de fréquence d'un système en traçant la fonction de transfert complexe G(j-] comme la fréquence angulaire - - varie de 0 à -. Le tracé est tracé dans le plan complexe, avec la partie réelle de G(j-] sur l'axe horizontal et la partie imaginaire sur l'axe vertical. Son utilité principale consiste à évaluer la stabilité de boucle fermée à partir de la réponse de fréquence ouverte, sans calculer explicitement les pôles de boucle fermée.

Les fondements mathématiques des tracés de Nyquist exigent une compréhension approfondie de l'analyse complexe, en particulier l'évaluation des fonctions de transfert sur l'axe imaginaire et l'interprétation géométrique de la cartographie des contours. Les ingénieurs doivent saisir le concept du contour Nyquist, un chemin fermé dans le plan complexe qui enferme tout le demi-plan droit (RHP), et comment ce contour se plane à travers la fonction de transfert en boucle ouverte G(s)H(s) pour produire le chemin Nyquist. Le tracé résultant se reroulait autour du point critique −1 + 0]j indique directement la stabilité du système, suivant le critère de stabilité de Nyquist.

Évaluation de la fonction de transfert complexe

La fonction de transfert en boucle ouverte G(s)H(s) est une fonction rationnelle de la variable complexe s = φ + j. Pour l'analyse de la réponse en fréquence, nous définissons φ = 0, de sorte que s = j[.

G(j-)H(j-) = Re(-) + j-Im(-) = M(-) e^{j-)}

Ici, M(.] est l'angle de phase. La construction de la courbe Nyquist implique l'évaluation G(j-)H(j-) à de nombreuses fréquences et la représentation des points complexes. Pour un système typique, la courbe commence à -0 (souvent à un point de l'axe réel) et se termine à -- → - (habituellement à l'origine, à moins que le système ait des intégrateurs purs). La forme de la courbe révèle des propriétés dynamiques clés : par exemple, comment la phase diminue avec une fréquence croissante, ou comment la magnitude se décroît.

Pour calculer G(j-)H(j-) mathématiquement, considérer une fonction de transfert générale calculée en pôles et zéros:

G(s)H(s) = K \frac{\prod {i=1}^{m} (s - z i)}{\prod {k=1}^{n} (s - p k)}

Lorsque s = j), chaque terme devient un vecteur complexe de la position zéro ou pôle jusqu'au point j . La magnitude totale est le produit des longueurs des vecteurs zéro divisées par le produit des longueurs des vecteurs pôles, multipliées par .K. La phase totale est la somme des angles des vecteurs zéro moins la somme des angles des vecteurs pôles, plus la phase de K (qui est 0 si K est réelle et positive). Cette interprétation géométrique est essentielle pour comprendre comment se comporte la courbe Nyquist, surtout près des fréquences correspondant aux fréquences naturelles du système.

Étapes mathématiques de construction

La construction d'un graphique Nyquist à la main (ou en utilisant un logiciel) implique une évaluation systématique de G(j-)H(j-) sur une plage de fréquences.

  1. Identity la fonction de transfert et écrivez-la sous forme de Bode (pôles et zéros). Pour les systèmes avec des retards dans le temps, inclure le facteur e^{-j-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  2. Calculer la grandeur et la phase[ à un ensemble de fréquences. Typiquement, les basses fréquences (près de 0) et les hautes fréquences (près de -) sont choisies, avec des points intermédiaires près des fréquences de rupture (où les contributions de pôles ou de zéro changent de signe).
  3. Démarrer à -: Le point dépend du type de système. Pour le type 0 (sans intégrateur), le tracé commence à K (le gain en courant continu) sur l'axe réel positif. Pour le type 1 (un intégrateur), le tracé commence à une grandeur infinie avec une phase de −90°. Pour le type 2 (deux intégrateurs), la phase est −180° à ---0°.
  4. Plot pointe à des fréquences croissantes, les reliant sans heurts. À mesure que la fréquence augmente, la courbe se déplace généralement vers l'origine (puisque la magnitude diminue).La phase peut traverser −180° à la fréquence de croisement de phase où la magnitude est critique pour l'analyse de stabilité.
  5. Mirreur pour les fréquences négatives (si l'on utilise le contour complet du Nyquist). Le tracé pour -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  6. Identifiez le nombre d'encerclements de −1 + 0j pour appliquer le critère de stabilité.

Pour les systèmes avec un degré relatif (n − m) ≥ 1, la courbe se termine à l'origine, l'approchant avec une phase de − (n − m)×90°. Pour le degré relatif 0 (même nombre de pôles et de zéros), le point final est un nombre complexe fini non zéro à --(n − m)×90°.

Le critère de stabilité Nyquist en détail

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F(s) est lié à la fonction de transfert en boucle ouverte par F(s) = 1 + G(s)H(s), la carte de F(s) par le contour de Nyquist est simplement la parcelle de G(s)H(s) déplacée vers la droite par 1. équivalent, les encerclements de l'origine dans F-plan correspondent exactement aux encerclements du point −1 + 0]j dans ]G(s)H(s)-plan. Le critère de stabilité de Nyquist se lit alors comme suit:

N = Z − P

où:

  • N = nombre d'encerclements de −1 + 0j par la parcelle de Nyquist (comptés dans le sens des aiguilles d'une montre comme positifs, dans le sens des aiguilles d'une montre comme négatifs).
  • Z = nombre de pôles en boucle fermée dans le RHP (zéros de 1 + G(s)H(s) dans le RHP).
  • P = nombre de pôles à boucle ouverte dans le RHP.

Pour un système stable en boucle fermée, nous avons besoin Z = 0. Ainsi, le système en boucle fermée est stable si et seulement si la parcelle Nyquist de G(s)H(s) entoure le point −1 + 0j exactement −P fois (c.-à-d., encerclements dans le sens contraire des aiguilles d'une montre égale P] si nous comptons dans le sens des aiguilles d'une montre comme positif). Si P] = 0 (stable en boucle ouverte), alors la parcelle Nyquist doit ][pas] encercle −1 pour la stabilité en boucle fermée.

Application du critère : Compte d'encerclement

Pour les systèmes avec degré relatif ≥ 1, le demi-cercle infini est une carte à un petit cercle autour de l'origine dans le plan G(s)H(s) (ou à un point fixe si le degré relatif zéro) . L'approche pratique pour les ingénieurs est de:

  1. Dessinez la parcelle de Nyquist pour - -0 à -.
  2. Reflète-le à travers l'axe réel pour --.
  3. Si le système a des pôles sur l'axe imaginaire (par exemple, intégrateurs), endossez le contour de Nyquist avec de petits demi-cercles à droite pour éviter ces pôles, et cartographiez ces indentations à de grands arcs dans le plan G(s)H(s).
  4. Compter le nombre net d'encerclements dans le sens des aiguilles d'une montre de −1 en traçant la courbe fermée complète (y compris la cartographie semi-cercle infinie).

Mathématiquement, le nombre d'encerclement N peut être calculé par l'intermédiaire du numéro de bobinage intégral:

N = \frac{1}{2πj} \oint {Nyquist \, contour} \frac{G's(s)H's)}{1+G(s)H(s)} \, ds

Mais cela est rarement évalué analytiquement; les ingénieurs comptent sur des outils d'inspection géométrique ou de logiciel. La principale idée est que les encerclements se produisent lorsque la phase de G(j-)H(j-) croise −180° (c.-à-d. le point −1 sur l'axe réel) alors que la magnitude est ≥ 1. Cette condition définit la marge gain et phare.

Exemples pratiques de construction

Pour solidifier la compréhension, nous considérons un système simple de premier ordre et un système de deuxième ordre avec amortissement.

Système de première commande: G(s) = 1/(s+1)

G(j=] = 1/(j=1). L'amplitude est M(= 1/ √(1+=2] et la phase est φ(= −tan−1(=]. À -=0, le point est (1,0). Comme -= → -0, le point approche (0,0) d'un angle de −90°. La courbe Nyquist est un demi-cercle dans le demi-plan inférieur (puisque la phase est toujours négative) s'échelonnant de l'axe réel positif à l'origine. Cette courbe ne se trouve pas encercle −1 et depuis , elle ne se déplace pas parce que la forme [FLT:] = 0, le système de boucle fermée est stable pour tout gain positif K, si on ne se déplace pas toujours avec la forme [FLT:]

Système de deuxième commande avec amortissement: G(s) = - - n2/(s2 + 2--- n s + -- n2)

Pour un système de deuxième ordre, la fréquence Δn et le rapport d'amortissement Δ[, la courbe de la phase η[f]n est la suivante: la courbe de la phase η[f]n est la suivante: la courbe de la phase η[f]n est la suivante: la courbe de la phase η[f]n est la suivante: la courbe de la phase η[f]n est la courbe de la phase η[f]n est la courbe de la phase η[f]n est la courbe de la phase η[f]n est la courbe de la phase η[f]n.

Pour voir un croisement de phase approprié, envisager un système avec un pôle supplémentaire à basse fréquence : G(s) = 1/(s+1)(s2 + 2=2 s + 1). Ici, la phase peut traverser −180° à un certain -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Connexion de Nyquist, Bode et Nichols Plots

La courbe de Nyquist est intimement liée à la courbe de Bode (magnitude et phase) et à la courbe de Nichols. La courbe de Bode fournit une magnitude en dB et une phase en degrés en fonction de la fréquence logarithmique. La courbe de Nyquist est une combinaison paramétrique de la magnitude et de la phase : chaque point de la courbe de Nyquist correspond à une magnitude et une phase à un Φ donné. La marge gain est le facteur par lequel le gain peut être augmenté avant que l'amplitude à la fréquence de croisement de phase ne devienne 1 (c'est-à-dire la distance de −1 à la courbe de Nyquist le long de l'axe réel négatif). La marge phase est le décalage de phase supplémentaire requis à la fréquence de croisement de gain (où magnitude = 1) pour faire la phase de −180°. Ces marges sont directement lisibles à partir de la courbe de Nyquist : la marge de gain est 1/=G(j=4)[FLT:

Le graphique Nichols transforme le tracé Nyquist en tracé cartésien de magnitude (dB) par rapport à la phase (deg). Cette transformation est utile pour la conception des contrôleurs car les marges de gain et de phase sont facilement visibles, et la réponse en boucle fermée peut être lue à l'aide de cercles M. Les trois représentations sont équivalentes mathématiquement; le choix d'une fonction dépend du contexte et de la préférence de l'ingénieur.

Limites et considérations avancées

Tout en étant puissant, le tracé Nyquist a des limites que les ingénieurs doivent reconnaître. Premièrement, pour les systèmes avec des retards dans le temps, la courbe Nyquist devient infinie et fortement courbée, nécessitant une manipulation soigneuse de la cartographie semi-cercle infinie. Le retard ajoute un décalage de phase qui s'accumule linéairement, provoquant la spirale du tracé Nyquist vers l'intérieur ou vers l'extérieur selon le retard. L'analyse de stabilité exige alors le critère modifié Nyquist qui explique le retard en utilisant le concept du contour Nyquist qui exclut le pôle de retard à l'infini.

Deuxièmement, le tracé Nyquist décrit est pour les systèmes à temps continu. Pour les systèmes à temps discret (domaine z), le contour Nyquist devient le cercle unitaire, et le critère de stabilité examine les encerclements de −1 dans le plan W ou l'utilisation de la transformation bilinéaire pour cartographier le plan S. Les fondements mathématiques restent similaires, mais le contour change.

Troisièmement, le critère de Nyquist suppose que le système à boucles fermées est stable si et seulement si la parcelle de Nyquist encercle -1 de façon appropriée. Cependant, cela exige que le caractère des pôles à boucles ouvertes dans le RHP soit connu a priori. Si la fonction de transfert à boucles ouvertes a des pôles sur l'axe imaginaire (y compris les intégrateurs purs), le contour de Nyquist doit être dentelé pour éviter ces pôles, et la cartographie de ces indentations produit des arcs infinis qui doivent être inclus dans le compte d'encerclement.

Enfin, le graphique Nyquist est un outil de domaine de fréquence; il fournit des conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilité uniquement pour les systèmes linéaires invariants du temps (LTI). Pour les systèmes non linéaires ou variables du temps, le critère Nyquist ne s'applique pas directement, bien que des extensions comme le critère circle existent pour certaines classes de non-linéarités.

Conclusion

La construction d'un tracé Nyquist est profondément enracinée dans une analyse complexe, notamment la cartographie du contour du Nyquist par la fonction de transfert en boucle ouverte et le principe de l'argument. En maîtrisant les étapes mathématiques – évaluation G(j-)H(j--], en traçant les points complexes et en comptant les encerclements de −1 – les ingénieurs acquièrent une méthode puissante pour évaluer la stabilité du tracé en boucle fermée et concevoir des contrôleurs robustes. Le critère Nyquist fournit une vision intuitive des marges de gain et de phase, et sa connexion aux tracés Bode et Nichols en fait un outil polyvalent dans la boîte à outils de l'ingénieur de contrôle.

Pour plus de détails, voir les manuels standard tels que L'article de Wikipedia sur le critère de stabilité Nyquist[, [Tutoriels de contrôle pour MATLAB et Simulink, ou le texte classique Ingénierie de contrôle moderne par Ogata. Ces ressources fournissent des exemples supplémentaires et des dérivations mathématiques plus approfondies.