La représentation de l'espace d'état est un modèle mathématique utilisé pour décrire le comportement des systèmes mécaniques. Il fournit un cadre pour analyser la dynamique du système à l'aide de matrices et de vecteurs, ce qui facilite la conception des contrôleurs et analyse la stabilité.

Principes fondamentaux de la représentation spatiale de l ' État

Le modèle d'espace d'état représente un système avec un ensemble d'équations différentielles de premier ordre. Il utilise un vecteur d'état pour encapsuler toutes les informations nécessaires sur l'état actuel du système.

La forme générale est la suivante:

φx(t) = Ax(t) + Bu(t)

où x(t) est le vecteur d'état, u(t) est l'entrée, et A et B sont des matrices définissant la dynamique du système et l'influence de l'entrée.

Exemple: Système de prélèvement de masse

Considérez un système masse-réservoir-déflagrant avec masse m, un coefficient d'amortissement c, et une constante de ressort k. Les équations du mouvement sont les suivantes :

m * x'' + c * x' + k * x = u(t)

Définition des variables d'état comme x1 = x et x2 = x', la forme d'espace d'état devient:

-x1 = x2

φx2 = -(k/m) * x1 - (c/m) * x2 + (1/m) * u(t)

Sous forme de matrice:

φx(t) = A x(t) + B u(t)

où:

  • A = [[0, 1], [-(k/m), -(c/m)]]
  • B = [[0], [1/m]]

Calculs et analyse

À l'aide du modèle spatial d'état, les ingénieurs peuvent effectuer des analyses de stabilité, de contrôle et d'observation. Les valeurs propres de la matrice A indiquent la stabilité du système.

La matrix de contrôle est contrôlée par l'examen de la matrice de contrôle :

Q = [B, AB]

Si Q a un rang plein, le système est contrôlable.