Qu'est-ce que le système de nombres binaires?

Contrairement au système décimal qui utilise dix chiffres (0‐9), le binaire n'utilise que deux symboles : 0 et 1. Chaque chiffre binaire est appelé un bit[ (short pour le chiffre binaire). Cette simplicité rend le binaire si pratique en électronique : les circuits numériques peuvent facilement représenter deux états distincts – hors (0) et sur (1) – en utilisant des niveaux de tension, des commutateurs de transistors ou des domaines magnétiques.

Historiquement, le système binaire remonte à l'Antiquité, mais sa forme moderne a été développée par Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle. Leibniz a reconnu que le binaire pouvait être utilisé pour effectuer l'arithmétique en utilisant un simple ensemble de règles, un concept qui est devenu plus tard le fondement de l'architecture informatique.

Comment fonctionnent les nombres binaires

Les nombres binaires sont lus de droite à gauche, chaque position correspondant à une puissance de 2. Le chiffre le plus droit est le lieu de 20 (unités), le chiffre suivant est 21 (deux), puis 22 (quatre), 23 (huit), et ainsi de suite. Pour trouver la valeur décimale d'un nombre binaire, vous additionnez les pouvoirs de 2 où le chiffre est 1.

Par exemple, le numéro binaire 1101 représente:

  • 1 × 23 = 8
  • 1 × 22 = 4
  • 0 × 21 = 0
  • 1 × 20 = 1

Total: 8 + 4 + 0 + 1 = 13 en décimale. Inversement, la valeur décimale 13 en binaire est 1101.

Le nombre de bits détermine la plage de valeurs qui peut être représentée. Avec n bits, vous pouvez représenter des entiers de 0 à 2n - 1. Par exemple, 8 bits (un octet) peuvent représenter 0 à 255; 16 bits peuvent représenter 0 à 65 535; 32 bits peuvent représenter plus de 4 milliards de valeurs. Ce principe est crucial pour comprendre les types de données dans la programmation et l'adressage de mémoire dans le matériel.

Convertir le binaire en décamal

Il existe des méthodes standard pour convertir des nombres binaires en décimale. La plus simple est la méthode de notation positionnelle, comme indiqué ci-dessus. Une autre technique populaire est la méthode doubling, qui fonctionne comme ceci:

  1. Commencez par le chiffre le plus à gauche.
  2. Multipliez le résultat actuel par 2, puis ajoutez le chiffre suivant.
  3. Répétez jusqu'à ce que tous les chiffres soient traités.

Let-S convertit de nouveau le binaire 1101 en utilisant la méthode de doublement:

  • Début: 0 (premier résultat)
  • Premier chiffre 1 : (0 × 2) + 1 = 1
  • Deuxième chiffre 1 : (1 × 2) + 1 = 3
  • Troisième chiffre 0: (3 × 2) + 0 = 6
  • Quatrième chiffre 1 : (6 × 2) + 1 = 13

Le résultat est 13, le même qu'avant. La méthode de doublement est efficace pour les calculs mentaux et est souvent utilisée dans la programmation pour analyser les chaînes binaires.

Pour les fractions binaires, le concept s'étend aux puissances négatives de 2. Par exemple, le binaire 0.101 est égal à 1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3 = 0.5 + 0.125 = 0.6225 en décimale.

Convertir le Decimal en Binary

Pour convertir un nombre décimal en binaire, deux méthodes communes sont utilisées: la méthode de division et la méthode de soustraction. La méthode de division est la plus courante pour les nombres entiers:

  1. Divisez le nombre décimal par 2.
  2. Enregistrez le reste (0 ou 1) — ce qui devient le moins significatif.
  3. Répétez la division sur le quotient jusqu'à ce que le quotient devienne 0.
  4. Le nombre binaire est le reste lu de la dernière à la première.

Exemple : Convertir la virgule 25 en binaire.

  • 25 ÷ 2 = 12 autres 1
  • 12 ÷ 2 = 6 autres 0
  • 6 ÷ 2 = 3 autres 0
  • 3 ÷ 2 = 1 reste 1
  • 1 ÷ 2 = 0 restant 1

Lecture des restes de bas en haut : 11001. Donc, 25 décimales = 11001 binaire.

Pour les fractions décimales, vous multipliez par 2 successivement, en extrayant chaque fois la partie entière. Par exemple, 0,625 × 2 = 1,25, partie entière 1; 0,25 × 2 = 0,5, partie entière 0; 0,5 × 2 = 1,0, partie entière 1. La fraction binaire est 0,101.

Binaire Arithmétique

L'arithmétique binaire suit les mêmes règles logiques que l'arithmétique décimale, mais parce qu'il n'y a que deux chiffres, les opérations sont plus simples.

Ajout binaire

Les règles de base pour l'ajout binaire sont les suivantes:

  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 0, avec un portage de 1 (depuis 1 + 1 = 10 en binaire)
  • 1 + 1 + 1 = 1, avec un portage de 1

Exemple : Ajouter 1011 (décimal 11) et 1101 (décimal 13).

 1011
+ 1101
-------
 11000 (decimal 24)

Nous commençons à droite : 1+1=0 carry 1 ; colonne suivante : 1+0+ carry1 = 0 carry1 ; suivante : 0+1+ carry1 = 0 carry1 ; suivante : 1+1+ carry1 = 1 carry1 ; dernière transport 1 donne 11000. Ceci montre que l'addition binaire peut produire un bit supplémentaire (overflow) si le résultat dépasse le nombre de bits.

Soustraction binaire

La soustraction binaire peut être effectuée directement en utilisant l'emprunt (similaire à la décimale) ou, plus souvent en électronique numérique, en utilisant le complément de deux.

  • 0 − 0 = 0
  • 1 − 0 = 1
  • 1 − 1 = 0
  • 0 − 1 = 1, emprunter 1 du bit suivant

Cependant, les systèmes numériques préfèrent utiliser le complément de deux pour la soustraction parce qu'il permet la soustraction avec le même matériel d'addition. Pour soustraire B de A, prenez le complément de deux de B et l'ajouter à A. Le complément de deux est obtenu en inversant tous les bits de B (bitwise NOT) et en ajoutant 1.

Exemple: 1010 (10) − 0011 (3) = 0111 (7).

  • Deux's complément de 0011: invert → 1100, ajouter 1 → 1101
  • Ajouter: 1010 + 1101 = 10111. Jeter le chariot final (si la largeur est fixée) donne 0111 (7).

Cette technique explique pourquoi la plupart des processeurs modernes implémentent la soustraction par un circuit d'addition, simplifient la conception de la porte logique.

Multiplication binaire

La multiplication binaire est analogue à la multiplication décimale, mais encore plus simple parce qu'il n'y a que deux chiffres. Puisque 0 × n'importe quoi = 0 et 1 × n'importe quoi = elle-même, la multiplication réduit au déplacement et à l'ajout. Par exemple, multipliez 101 (5) par 011 (3):

 101
× 011
-------
 101 (partial product: 101 × 1)
 1010 (shifted one position: 101 × 1, second bit)
+ 00000 (101 × 0, third bit)
-------
 01111 (decimal 15)

La multiplication binaire est efficacement mise en œuvre dans le matériel en utilisant des registres de changement et des adders. De nombreux microprocesseurs comprennent une unité de multiplicateur dédiée qui utilise des algorithmes comme la multiplication de Booth pour gérer les numéros signés.

Division binaire

La division binaire suit la procédure de division longue, mais elle est simplifiée parce que le diviseur entre dans le reste actuel exactement une (1) ou zéro fois (0). Les bits quotients sont construits en comparant le diviseur avec les bits de dividende courants. La division est l'opération arithmétique la plus complexe en binaire, généralement mise en œuvre à l'aide d'algorithmes itératifs (p. ex., la division de restauration ou non-restaurant).

Autres systèmes de nombres liés au binaire

Deux autres systèmes de nombres positionnels sont largement utilisés en électronique numérique en raison de leur relation étroite avec le binaire : hexadécimal (base‐16) et octal (base‐8). Ils servent de représentations plus compactes et lisibles par l'homme des nombres binaires.

Hexadécimal

L'hexadécimal utilise 16 chiffres : 0‐9 et A‐F (où A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Depuis 16 = 24, chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits binaires. Par exemple, le nombre binaire 1111 1010 1100 peut être groupé en groupes nibles (4 bits) et directement converti en hexadécimal : 1111 = F, 1010 = A, 1100 = C, donnant l'hexadécimal FAC. Cela rend idéal pour représenter les adresses mémoire, le code machine et les codes de couleurs (p. ex. #FF00FF dans le web design).

Pour convertir l'hexagone en décimale, chaque position est une puissance de 16. Par exemple, l'hexagone 3A = 3 × 161 + 10 × 160 = 48 + 10 = 58 décimales.

Octal

Octal utilise les chiffres 0‐7, et chaque chiffre correspond à trois bits binaires. Octal était historiquement populaire dans les systèmes informatiques plus anciens (p. ex., PDP‐8, permissions de fichiers Unix). Par exemple, le binaire 101 010 111 peut être groupé en morceaux de trois bits : 101=5, 010=2, 111=7, donnant octa 527. Aujourd'hui, octaL est moins commun dans l'informatique mainstream, mais est toujours utilisé dans certains systèmes embarqués et pour représenter les permissions de fichiers dans Linux (p. ex., chmod 755).

Applications des nombres binaires

Les nombres binaires ne sont pas seulement une théorie abstraite, ils sont l'épine dorsale de chaque technologie numérique. Comprendre leurs applications aide à clarifier pourquoi binaire est irremplaçable.

Portails logiques et circuits numériques

Tous les circuits numériques, des portes simples ET aux microprocesseurs complexes, fonctionnent sur des entrées et sorties binaires. Les portes logiques (AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, XNOR) prennent des signaux binaires et les combinent selon l'algèbre booléenne. Les circuits combinés comme les adders, les multiplexeurs et les décodeurs utilisent des nombres binaires pour effectuer l'arithmétique et le routage des données.

Microprocesseurs et processeurs

L'unité centrale de traitement (CPU) exécute des instructions codées en nombres binaires. L'architecture de l'ensemble d'instructions (ISA) définit les modèles binaires pour les opérations comme ADD, LOAD, STORE et JUMP. Le CPU récupère ces instructions binaires de la mémoire, les décode et utilise l'unité de contrôle pour diriger les données via l'ALU (qui effectue l'arithmétique binaire).

Mémoire et stockage

Dans la mémoire volatile (RAM), chaque cellule détient un peu de charge dans un condensateur ou un état dans un flip-flop. Dans la mémoire non volatile, les bits sont stockés comme domaines magnétiques, la charge piégée dans des transistors à antenne flottante ou les changements de phase dans des matériaux spéciaux. Les adresses de mémoire elles-mêmes sont des nombres binaires, et l'ensemble du concept d'adresse repose sur la valeur de place binaire.

Communication numérique

Les paquets de données contiennent des en-têtes (adresses source/destination en binaire), des charges utiles (données binaires) et des codes de détection d'erreurs (par exemple CRC — division binaire polynôme). La couche physique code des bits comme signaux modulés (p. ex. amplitude, fréquence ou déplacements de phase). La compréhension binaire est essentielle pour concevoir des modems, des routeurs et des puces de communication.

Représentation binaire des nombres négatifs

Pour représenter des entiers signés en binaire, les systèmes utilisent le complément de deux (le plus courant), la magnitude de signe ou le complément de l'un. Le complément de deux permet le même circuit d'addition pour gérer des nombres positifs et négatifs sans matériel spécial. Dans un système de complément de 8 bits, la plage est de −128 à +127. Le bit le plus élevé agit comme un bit de signe: 0 pour positif, 1 pour négatif. Par exemple, −5 en binaire de 8 bits est 11111011 (invert 00000101 → 11111010, ajouter 1 → 11111011).

Nombres de points flottants

Pour les nombres réels, les ordinateurs utilisent la représentation binaire en point flottant telle que définie par la norme IEEE 754. Un nombre est stocké en trois composants : signe (1 bit), exposant (8 ou 11 bits) et mantissa (23 ou 52 bits). Par exemple, le nombre décimal 3.14 est approximatif en binaire comme une chaîne finie de bits parce que certaines fractions décimales ne peuvent pas être représentées exactement en binaire.

Conclusion

Le système de nombres binaires n'est pas seulement une curiosité académique, c'est le langage central de toute l'électronique numérique. Du plus petit microcontrôleur au plus grand centre de données cloud, chaque opération réduit à des manipulations de 0 et 1s. La maîtrise du binaire, y compris les conversions, l'arithmétique et sa relation à l'hexadécimal et à l'octal, permet aux ingénieurs de concevoir des circuits efficaces, d'optimiser les performances logicielles et de résoudre les problèmes matériels.

Pour plus de détails, l'article Wikipedia sur les nombres binaires fournit un aperçu détaillé.Des tutoriels détaillés sur l'arithmétique binaire sont disponibles à partir de .L'application pratique du binaire dans la logique numérique est bien expliquée dans L'organisation logique de TutorialsPoint.Pour un examen plus approfondi de la représentation en points flottants, le IEEE 754 résumé de Steve Hollasch est une référence classique.