בעיה עמוקה של ערך דחוס לפתרון בקרת אופטימאלי

מה הם בעיות ערך באופטימי?

תורת בקרת אופטימאלית מספקת מסגרת מתמטית לקביעת מדיניות בקרה הממזערת או ממקסימה את מדד הביצועים לאורך זמן, בכפוף למגבלות דינמיות.בלב של פורמולות בקרה אופטימליות רבות, היא הצורך לפתור בעיית ערך גבול (BVP) בעיה של ערך תשואה היא מערכת של משוואות בקרה רגילות או חלקיות שונות, מלווה בתנאים שיש לספק שתי נקודות נפרדות יותר של משוואה עצמאית של אורכתית (בדרך כלל) באופן טבעי, כאשר הן מבעיה ראשונית של פתרון בעיות של פתרון אופטימליות (Opci) עם בעיות ספציפיות באופן מיידיות (בדרך כלל וכלל, או חלקית, או חלקית, כאשר הן בעלות משוואות פשוטות, כאשר הן מ-pacti) עם בעיות ב-pacty) עם 2 או חלקית או חלקית, כאשר הן מתחילות באופן מיידיות, כאשר הן מ-pactor באופן מיידיות, או חלקית או חלקית, כאשר הן בעלות תנאים מוקדמים, כאשר הן מתחילות באופן מיידיות, בין שתי נקודות קצה, בין שתי נקודות קצה (בדרך כלל, בין שתי נקודות קצה, בין שתי בעיות ב-pactrin, בין שתי נקודות מ-pacty) עם בעיות ב-pacty) עם בעיות ב-זמנית, באופן טבעי, באופן טבעי, כאשר הן מתחילות באופן טבעי, או

הבנת BVP היא חיונית משום שהם שולטים בהתנהגות אופטימלית של מגוון עצום של מערכות: החל אופטימיזציה של חלליות ותנועת הרובוטים מתכננים לשלוט בתהליך כימי וצמיחה כלכלית מודלים.מורכבות של BVP נובעת מהטבע הלא-מקומי שלהם ו- #8212; הפתרון בכל נקודה תלוי בתנאים בשתי הגבולות, מה שהופך אותם קשה יותר לפתור באופן אנליטי מאשר בעיות ראשוניות.

ניסוח BVP ב- Optimal control

ניסוח BVP בשליטה אופטימלית מתחיל בדרך כלל עם מערכת דינמית שתוארה על ידי משוואות של מדינה: 1.

(ו) [\dot {\mathbf {x}}(t)=mathbf {x}(\mathbf {x} ;\mathbf {x} , t), \quad \mathbf {x}(t 0)=x mathbf {x} 0\>

((\mathbf {x}(t)\mathbb {R}n\) הוא וקטור המדינה, \(\mathbf {x}(t)\mathbb {R}m\) הוא וקטור הבקרה, ו / (t 0\) הוא הזמן הראשוני.המטרה היא למצוא שליטה (\mathbb((((((b)((t) מצמצם את העלות פונקציונלית פונקציונלית.

(J=(phi(\mathbf {x}(t f), t f) + /int {t 0}^{t f} L(\mathbf {x}(x}t),\mathbf {u} t) / dt\ t)\ t)\ t

בכפוף למגבלות הטרמינל (\psi(\mathbf {x}(t f), t f)= 0\).

החל PMP, אנו מגדירים את ההמילטון: (H=L + /boldsymbol {\lambda}T\mathbf {f}\), שבו (\boldsymbol slambda)\in\mathbb {R}n\) הם משתנים עלות (נקראים גם משתנים אדנו).

• משוואות המדינה: (\dot {\mathbf {x}} =\partial H /\partial /\partial /\boldsymbol {\lambda}
• משוואות קו-מדינה: (\dot sboldsymbol ⁇ }} = -\partial H / /\partial /mathbf {x}
• תנאי הגשה: (\partial H / / Partial /mathbf {u}=0\
• תנאים: (\mathbf {x}(t 0)=\mathbf {x} 0\);\boldsymbol {\lambda}(t f)=\שמאל (\partial\phi /\partial\\\\partial\mathbf {x}\boldsymbol {\displaystyle \\bf\f\f\f\f\x}\f\f\\f\x\f\f\f\x\x\\\b}\b}\bf\bf\x\b}\b}\bred/boldsymbol p}\bred f\bred boldsymbol p}\bx}\boldsymbol p}\brebre\brebred bx}\boldsymbol {\displaystyle \\bf boldsy\bx}\boldsy\bf {x}\bx}\boldsy\bx}\boldsy\boldsymbol p}\bf {x}\boldsymbol

ניתן להשתמש במצב הכניעה כדי לחסל את השליטה במונחים של מדינה ועלות, הניב מערכת בת זוג של משוואות שונות שגרתיות מסדר ראשון (ODEs) עם תנאים נפרדים בין זמנים ראשוניים וסופיים.זהו ה-TPBVP שיש לפתור.

מערכת המילטון

המערכת ההמיניסטית מורכבת מהמדינה וממשוואות עלות.עבור בעיה אופטימלית טיפוסית ללא מגבלות נתיב, משוואות אלה מהוות מערכת מילטון שנשארה משמרת את הערך ההמיניסטי לאורך מסלול אופטימלי אם המערכת אוטונומית והעלות הטרמינלית אין תלות זמנית מפורשת בו זמנית.המשוואות הממלכתיות מדגימות קדימה, בעוד המשוואות עלות מפיץות לאחור בזמן.

תנאים קשים ושקיפות

תנאים חמורים ב- BVPs אופטימליים הם יותר מאשר רק מצבים ראשוניים וסופיים קבועים.

• (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
• (FLT:0) מדינה סופית ללא תשלום עלות מסוף: FLT:1 The Costate at the final time satisfies transversality תנאים ((\boldsymbol {\lambda) =\partial /\partial /\partial /\mathbf {x} / גדול.
• (ב) ,0 ההגבלות: ⁇ (ב) אם המדינה הסופית חייבת לספק ((\psi(\mathbf {x}t f), t f)= 0\), מצב הרנסאנס הופך ל-(\boldmbol מינוס slambda(f)=\partial / Partial / Partial / mathbf)
• (ב) [ה]] [ה]]] [ה]] [ה]] [=[ה]]]]]]]]], יש למלא את ה'[דרושה] [=]

ניסוח הולם של תנאי הגבול הללו הוא קריטי.תנאים משוחדים יכולים להוביל לחוסר יציבות מספרי או התכנסות לפתרונות שאינם-אופטימיים.עבור טיפול יסודי בתנאי טרנסצנטריות, לראות את הטקסט הקלאסי של ברסון והוו.

שיטות לפתרון בעיות ערך מטושטשות

מכיוון שפתרונות אנליטיים ל- BVP בשליטה אופטימלית הם לעתים נדירות, למעט מערכות פשוטות מאוד (למשל, הרגולטור הליני quadratic עם זמן סופי קבוע), שיטות מספריות חיוניות.הקטגוריות העיקריות כוללות שיטות ירי, שיטות הבדל סופיות ושיטות מיקום.כל אחד יש נקודות חוזק וחולשות בהתאם למבנה בעיות ולממד.

ירי שיטות

שיטות ירי הופכות את BVP לבעיה ראשונית ערך (IVP) על ידי ניחוש התנאים הראשוניים החסרים (בדרך כלל ההארכה הראשונית) ולאחר מכן שילוב המערכת ההמיניסטית קדימה לתקופת הטרמינל (ההפרעה בין התנאים הסופיים המיושבים בתנאי הטרמינל והתנאים הטרמינליים הרצויים) משמש לעדכון של מערכת החיסון מספר פעמים רבות, למעשה פתרון בעיות לא לינאריות (Fmple) של מערכת הפעלה אחת בלבד, כלומר, כולל מספר מגבלות זמן של מספר פעמים (FR2Fmple) ו-FRIR) הוא רק חלק מטווח של מספר פעמים) ו-DR1, כלומר, כלומר, כלומר, שימוש נרחב של מספר פעמים, כולל מספר פעמים, כולל מספר פעמים, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, שימוש ב-FLTS) ב-FLTS1, הוא פתרון מספר פעמים-Fmple לקביעת מגבלות ירי; 1 לקביעת גבולות של מספר פעמים, כלומר, באופן נרחב של מספר פעמים, באופן נרחב, באופן נרחב, שימוש ב-FLTS) לקביעת מגבלות ירי; שימוש ב-DLTS: 1.101, באופן נרחב, הוא פתרון מספר פעמים, הוא פתרון מספר פעמים, הוא פתרון מספר פעמים-DLTS) הוא פתרון מספר פעמים, כלומר, באופן נרחב

שיטות ירי הן אינטואיטיביות וממנף את האינטגרטורים של ODE. עם זאת, הם יכולים להיות רגישים לנחשים ראשוניים עניים ועשויים להיכשל בבעיות עם אופקים ארוכים או רגישות גבוהה לתנאים הראשוניים.

שיטות הבדל פינט

שיטות הבדל פינטאליות מטשטשות את המדינה ואת הדינמיקה עלות ישירות על רשת של נקודות זמן.משוואות שונות מוחלפות על ידי הבדל סופי של תחזיות (למשל, קדימה אוילר, מלכודות, או Runge-Kutta Programs) תנאי הגבול הופכים להגבלות שוויון בנקודות הרשת הראשונות והאחרון.

שיטות הבדל פינטטי מספקות אלטרנטיבה חזקה, במיוחד לבעיות עם מבנה פתרון ידוע.הם דורשים פתרון מערכות לינאריות גדולות בכל הרהריזציה של ניוטון, אשר יכול להיות יקר חישובי עבור חללים גבוהים אך הטבות ממקבילה וטכניקות ממטריקס ספאריות.

שיטות קולונל

שיטות הקצאה מייצגות את המדינה ולשלוט במסלולים כפולינומיסים חכמים (בדרך כלל קווי) ואוכפים את המשוואות השונות בדיוק במערך של נקודות מיקום מתכנסות בכל פעם.תנאי הגבול ותנאי ההמשכיות בין המרווחים מוטלים כמגבלות נוספות.הבעיות הבלתי-לינאריות הנובעות מבעיית התכנות-NLP) יכולות לפתור באמצעות אופטימיזציה גבוהים כמו IPO או SPT.

לשם השוואה מפורטת של שיטות מספריות BVP, ראה אסכר, מתיהיג' ו- ראסל 'sFLT:0' "פתרון האנמרי של בעיות ערך מטושטשות עבור אקוציות יומיומיות שונות"FLT:1.

בחירת השיטה הנכונה

בחירת השיטה תלויה במספר גורמים:

• גודלו של LT:0 (Problem Size: FLT:1 עבור מדינה בעלת ממדים נמוכים (n ⁇ 10), שיטות ירי הן לעתים קרובות מספיקות.עבור בעיות בעלות ממדים גבוהים או בקנה מידה גדול, מיקום או הבדל סופי עשוי לעלות בקנה מידה טוב יותר.
• (FLT:0) רגישות הדינמיקה: ⁇ 1 (Stiff) מערכות דורשות שילוב לא רצוי, אשר קוקויציה והבדל סופי לטפל באופן טבעי.
• (FLT:0) זמינות של ניחוש ראשוני טוב: אנדרל 1 (צילום: 1) שיטות צילום תלויות באיכות ניחוש הראשוני.אם היערכות גסה של המסלול האופטימלי הוא זמין (למשל, ממודל היסטרי או פשוט), יכול להתלכד במהירות.
• (ב) כאשר מגבלות אי שוויון על מדינות או בקרות קיימות, שיטות תפירה ישירות (מיקום) הן בדרך כלל גמישות יותר.

אתגרים ושיקולים

פתרון BVP בשליטה אופטימלית אינו משימה שגרתית; יש לטפל במספר אתגרים.

רגישות והסכמה

שינויים קטנים בתנאי הגבול הלא ידועים יכולים לגרום לסטיות גדולות במצב הסופי בשל צמיחה אקספוננציאלית של שגיאות בכיוונים לא יציבים.זה חמור במיוחד בירי פשוט, אשר יכול להציג תנודות גרועות.לירות מרובות ואסטרטגיות מרתיעות את זה על ידי מתן בעיה מותאמת טובה יותר.בנוסף, שיטות ניוטון עבור הצעד מציאת השורש דורשות ג'ייקובאים מדויקים, אשר ניתן להשיג באמצעות הבדלים סופיים או אוטומטית.

פיסול ונורמליזציה

משתנים (מדינות, עלות, זמן) לעתים קרובות לאורך פקודות שונות של גודל. קשקשים עניים מוביל יעקבים מותנים והתכנסות איטית.לקבוע זמן למרווח קבוע (למשל, [0,1] ומדינות מדרגות לטווח יחידה הן צעדים סטנדרטיים לעיבוד.עבור בעיות עם זמן פנוי, הזמן הוא לעתים קרובות מטופל כמו משתנה נוסף, ואת הדינמיקה הופכת זמן רגיל לנרמולאורד רגיל.

פתרונות Singular Arcs and Nonsmooth Solutions

בכמה בעיות שליטה אופטימליות, ההמיניסטי עשוי להיות ליניארי בשליטה, המוביל ל-FLT:0singular arcsFLT:1 שבו מצב הירקות אינו יכול לקבוע את השליטה.קשתות אלה דורשות טיפול מיוחד, כגון שימוש בעובדה כי נגזרות הזמן של הפונקציה מעבר נעלם. Singular BVPs מורכבים יותר ולעתים קרובות דורשות תנאים גבוהים יותר (למשל, מצבים של שליטה על ידי מוטציות, או מגבלות שונות).

עלויות פיצוי

מערכות היי-ממדיות (n > 50) הן נפוצות במרחב האווירי ורובוטיקה. שיטות ההבדל והמיקום מובילים ל- NLP גדול עם אלפי משתנים ומגבלות. algebra ליניארית Efficient Efficient Efficient Efficient Efficent וטכניקות decomposition (למשל, תכנות קוונטי) הן שיטות ירי חיוניות יותר עבור ממדים בינוניים אם הם זולים לשלב דינמיקה, בשנים האחרונות, אך הם עדיין חקרו, אך הם עדיין פתרונות עצביים פעילים של תכנות, אם הם עדיין פעילים, אם הם עדיין פעילים, אם הם עדיין קיימים, אם הם עדיין, אם הם קיימים, אך ורק לאחרונה, אם הם עדיין, אם הם קיימים, אם הם עדיין פתרונות תכנות, אם הם עדיין תחליפיים פעילים של תכנות, אם הם עדיין, אם הם עדיין, אם הם עדיין, אם הם עדיין, אם הם עדיין, תוכניות ניתוחי תיבות של תכנות, אם הם עדיין, אם הם עדיין, אם הם קיימים, אם הם קיימים, אם הם עדיין, אם הם קיימים, תוכניות צילום של תכנות, אם הם קיימים, אם הם קיימים, אם הם עדיין, אם הם קיימים, אם הם קיימים, אם הם קיימים, אם הם עדיין, תוכניות צילום של תכנות, אם הם עדיין, אם הם עדיין, אם הם

יישום אמיתי בעולם ומקרה מחקר

פתרון בעיות ערך כבד בשליטה אופטימלית אינו פעילות גופנית אקדמית ו-#8212; הוא מועסק מדי יום בעיצוב הנדסי ותפעול.

רכב שיגור: Launch Vehicle Ascent

אחת האפליקציות הקלאסיות היא העלייה האופטימלית של רכב שיגור מכדור הארץ למסלול.הדינמיקה של הרכב כרוכה בתנועה תלת-ממדית, המסה משתנה עקב שריפת דלק, וגרור אטמוספרי.המטרה היא למזער צריכת דלק (או למקסם תשלום) ה-TPBVP וכתוצאה מכך כולל מגבלות מסוף על גובה, מהירות וזווית נתיב טיסה.

רובוטיקה: נתיב זמני-אופטימי לאחר

עבור מניפולטורים רובוטיים המשימה עם לעקוב אחר נתיב גיאומטרי שנקבע, בעיית הבקרה האופטימלית מפחיתה כדי למזער את הזמן הרציני בכפוף לגבולות מומנט.הדינמיקה מובילה למערך של משוואות שונות עם תנאים שונים בתנאי גבול על מיקום ומהירות בתחילת וסוף הדרך. קולונל שיטות מצוינות כאן כי הדרך יכולה להיות פרמטר על ידי פרמטר יחיד, וכתוצאה מכך BVP קטן שיכול להיות פתרון אמיתי עבור שיטות תכנון מחדש.

כלכלה: מודלים של צמיחה אופטית

במאקרו-כלכלה, מודל הצמיחה של ראנסי מבקש למצוא את נתיב הצריכה הממקסים את הרווחה החברתית מעל אופק אינסופי.זה מוביל ל- BVP עם מדינה (capital) ועלויות (מחיר צל) עם תנאים טרנסצנטריים באינסוף (לעתים קרובות קרוב בזמן סופי גדול). שיטות ירי נומריות עם תנאי גבול אסימפטטיים מוחלות בדרך כלל.

דוגמה: בעיה פשוטה

(=) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

מסקנה

(ב) בעיות ערך גורמות לעמוד השדרה של ניתוח בקרה אופטימלי ועיצוב.מהניסו התיאורטי באמצעות עקרון ה- Principle המקסימלי של פונטרייפיון לפתרון המספרי באמצעות ירי, הבדל סופי או שיטות מיקום, הבנת BVPs היא הכרחית עבור כל מי שעובד עם אופטימיזציה דינמית: האתגרים הטבועים של רגישות, קנה מידה, והימנעות בלתי-מוסמישהירה של אפשרויות בחירה ופתרון של מקבילה: