האבולוציה של רות-הורוויץ קריטריון בתאוריה המודרנית של שליטה

מבוא

הקריטריון של רוס-הורוויץ נשאר אחד הכלים האנליטיים המתמשכים ביותר בתיאוריה של שליטה, מתן שיטה אלגברית ישירה להעריך את יציבותן של מערכות זמן ליניאריות (LTI) מאז ההתפתחות העצמאית שלה על ידי אדוארד רוס בשנת 1877 ו אדולף הרסטוויץ בשנות ה -1890, הקריטריון התפתח מטכניקה חישובית חישובית לתוך אבן הפינה של ניתוח מודרני של יציבות.

מקורו של קריטריון

הצורך בניסוי יציבות שיטתי התעורר במהלך התיעוש המהיר של המאה ה-19, כאשר מהנדסים עיצבו מערכות מכניות מורכבות יותר כמו מנועי קיטור, מושלים וכלי רכב רכבת.אדוארד רות, מתמטיקאי בריטי, פיתח את מערך היציבות שלו ב-1877 כאמצעי מעשי לקבוע האם כל השורשים של פולינומיים יש בעבר חלקים אמיתיים שליליים - תנאי הכרחי למערכת יציבה, אדולף הארלי הארלי הארלי, מתמטיקאי, שהקימה כיום מתמטיקאים דומה, המכונה "היפויטראקדמיון" (Ferington), אשר נקרא "הת-"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה" (Fertexertexertexerttericertexerterial-" (Fertator"מהפכה"מהפכה"מהפכה" (Ferton-" (Fret) של מתמטיקאית"מהפכה" (Fightator) של מתמטיקאית) של מתמטיקאית"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה" (Fightexerton-"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מהפכה"מ

שיטת Rth-Hurwitz

(ה) , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

מספר השינויים בעמוד הראשון של המערך שווה את מספר השורשים עם חלקים אמיתיים חיוביים.מערכת יציבה רק אם אין שינויים בסימן, ורכיבי העמודה הראשונים הם כולם לא אפס.נוהל אלגנטי זה מאפשר למהנדסים לבדוק יציבות ללא פתרון הפולנומיאלי, יתרון משמעותי לפני גיל חישוב דיגיטלי.

מגבלות של יישום ידני

בעוד שמבנה ידני פשוט מבחינה קונספטואלית של מערך רוס הוא שגיאה והפך לא מעשי עבור פולינומיסים של סדר 5 או גבוה יותר. מקרים מיוחדים, כגון אפס בעמודה הראשונה או שורה שלמה של אפסים, דורשים טיפול נוסף - כגון החלפת האפס עם epsilon קטן או באמצעות עזריפיום.

ארכיון תגיות: The Hurwitz Matrix

(ב) , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

התקדמות ואוטומציה

(המחשב הדיגיטלי) פיתחו אלגוריתמים להקמת מערך רוס-הורוויץ' (Rol-Hurwitz) בשנות ה-60 וה-70, החוקרים פיתחו אלגוריתמים באופן אוטומטי את מערך ה-RROL, לטפל במקרים מיוחדים, ולשלב את הדטרמיוניים הללו, הטמיעו בספריות מספריות מוקדמות, ובהמשך אינטגרציה לתוכנה הנדסית כמו MATLAB, הכוללת את FLT:0ocuaFLTFalfindFalfindration) ו-II, לדוגמה:2, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, ל-ER2F2F2F2F2, ל-II.

פיצוי סמלי

חבילות מתמטיקה סמליות (למשל, Mathematica, Maple, SymPy) מאפשרות ניתוח מדויק של רות-הורוויץ עבור פולינומיס עם פרמטרים סמליים.יכולות הללו אינן יקרות עבור עיצוב בקרה, שבו מהנדסים צריכים להבין כיצד יציבות תלויה ברווחים משתנים, קבועים, או פרמטרים פיזיים.

רובוסטנס הנומרי

יישומים מודרניים להתמודד עם נושאים מספריים כי מגיפות קודים מחשב מוקדם. עבור פולינומיס מדרגה גבוהה, ערכים יעילים יכולים לעגל פקודות רבות של גודל, גרימת שגיאות עגולות. דרוג ורמיקולנועיים משולבים כדי להבטיח אמינות.בנוסף, אלגוריתמים עכשיו ביעילות להתמודד עם המקרה המיוחד של שורה של אפסים על ידי הפקת אוטומטית גורם עזרי פולינומי וגורם מעשי זה.

הרחבה וביקורתיות קשורות

הקריטריון של רוס-הורוויץ אינו המבחן היציבות היחיד, ותאוריה המודרנית של הבקרה פיתחה שיטות משלימים שענות על מגבלותיה.רחבות מפתח ו חלופות כוללות:

קריטריון Jury Stability קריטריון

עבור מערכות זמן דיסקרטיות, הקריטריון של רוה-הורוויץ אינו חל ישירות משום שאזור היציבות הוא מעגל היחידה.מבחן יציבות החוה, שפותח על ידי אליו יוארי בשנות החמישים, בונה מערך לשוניות סלולארי דומה ל-Rentth אבל בודק אם כל השורשים של שקר פולינומיאלי דיסקרטי בתוך מעגל היחידה.

שיטות ניקוויסט ובוייד

בניגוד לקריטריון של רוס-הורוויץ, המהווה מבחן אלגברי, שיטות תדירות-דומיין כמו קריקטור היציבות של Nyquist ו-Bode מזימות מספקות תובנה חזותית של יציבות שולי. שיטות אלה יכולות להתמודד עם מערכות עם עיכובים בזמן ואלמנטים לא ליניאריים, בעוד הקריטריון של רוסת-הורוויץ מוגבל למערכות LTI.

שיטת הבימוי של ליפסנוב

עבור מערכות שאינן לינאריות וזמניות, תורת היציבות ליאופנוב מציעה מסגרת כללית יותר.הקריטריון של רות'-הורוויץ ניתן לראות כמקרה מיוחד של יציבות ליפסנוב עבור מערכות LTI, שבו משוואה לייפנוב מופחתת למערך של אי-שוויון ליניארי. למעשה, ממטריקס ה Hurwitz מופיע בפתרון של לימפובק מתמשך היום, הם למשוואה מבוססת על בסיס נרחב.

יישומים מודרניים בהנדסה

הקריטריון של רוס-הורוויץ נשאר כלי מעשי בתחומים הנדסיים מרובים:

מגמות וכיוונים עתידיים

למרות היותה מעל מאה שנים, הקריטריון של רות'-הורוויץ ממשיך לעורר השראה במחקר.שלוש כיוונים בולטים מתעוררים:

אינטגרציה עם בקרת נתונים-Driven

טכניקות למידת מכונות מוחלות על יציבות בנתונים נמדדים, במיוחד עבור מערכות שבהן מודלים מתמטיים מדויקים אינם זמינים.שיטות כגון FLT:0Sparse Identification של Nonlinear Dynamics (SINDy)FLT:1 יכול לחלץ מודלים פולינומיים מהנתונים, ולאחר מכן ניתוח Roth-Hurwitz ניתן ליישם את המערכת המזוהה.

Robust and Adaptive control

בשליטה חזקה, מצב רוח-האורוויץ משמש כדי להפיק את המשפט של ח'רינוב:0 (Kahritonov's lawFLT:1), המספק קריטריון פשוט ליציבות של פולינומיסים מרווחים.זה הוביל לבדיקות יציבות כלליות עבור מערכות עם אי ודאות פרמטרית, נושא של מערכות בקרה אקטיביות.

בקרה קוונטית ורשת

שדות מתעוררים כגון שליטה קוונטית ורשתות מרובות-אנטנט מציבים אתגרים חדשים של יציבות.חוקרים מרחיבים את המסגרת רוס-הורוויץ כדי להתמודד עם מערכות מופצות, מבוזרות, ולא-מתקנות.לדוגמה, את היציבות של מערכות משוב קוונטיות ניתן לנתח באמצעות קריטריון ה Hurwitz החל משוואה אדנדנדנדנדנדנדנדנדנדנדה.

מסקנה

הקריטריון של רוס-הורוויץ התפתח מהליך אלגברי ידני לתוך כלי חישובי רב-תכליתי המוטבע בתוכנות בקרה מודרניות.הרלוונטיות המתמשכת שלו נובעת מהפשטות, הנוקשות המתמטית וההתאמה המתאמת שלו.בעוד ששיטות חדשות יותר כמו להקות Nyquist ו- Lyapunov מספקות תובנות משלימים, האלגוריתם של רוס-ה-הורוויץ' נשאר קו יציבות ראשון עבור מערכות לחיקוי, אך ככל הנראה, כמו גם לא יתאים נתונים היסטוריים, אלא לא יתאים, אלא אלגוריתם של מהנדסי תיבות של אלגוריתם של אלגוריתם של אלגוריתם של האלגוריתם המהנדסים, אלא גם את האלגוריתם של האלגוריתם של האלגוריתם של המהנדסים, אך ככל הנראה, אך ככל הנראה, אך ככל הנראה, אך ככל הנראה, אך אינו מאפשר אלגוריתם של אלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם המהנדסים מחדש של אלגוריתם של המהנדסים של אלגוריתם האלגוריתם של האלגוריתם המהנדסים מחדש של האלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם המהנדסים של האלגוריתם של האלגוריתם של האלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם של המהנדסים של המהנדסים, אך ככל הנראה, הוא עדיין, אך עשוי להיות מקודמים של האלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם האלגוריתם של

(ב) לעיין ב[[1924]] ב[[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]