מבוא

(ב) תכנות חד-ממדי (IP) ותכניות משולבות (MIP) מתעוררות באופן טבעי על פני תעשיות רבות, כולל לוגיסטיקה, ייצור, ניהול אנרגיה, תקשורת ופיננסים.בבעיות אלה, משתנים החלטות חייבים לקחת ערכים מזהמים - לדוגמה, מספר המשאיות לשלח, את המקומות של מחסנים, או את הסטטוס של גנרטורים בזמן תכנות, מספק מסגרת משמעותית של מספר זה, כגון:

מה זה Banders Decomposition?

(בנדירס דה-קומופוזיציה היא שיטת דור-שורה שנועדה לפתור בעיות אופטימיזציה עם מבנה שניתן לחלק לשני שלבים: שלב ראשון כרוך במשתנה "משלב" (לעתים קרובות integer or בינארי), ושלב שני כולל משתנים, שכאשר המשתנה הראשון של שלב ראשון נקבע, הוא קבוע, מניב רצף ליניארי או convexproblem.

היסטורית, בנדרס דהקום פותחה לתכנות ליניאריות מעורב (MILP) לאורך זמן, זה הורחב לבעיות אופטימיזציה לא לינאריות, סטוצ'סטיות ועוצמתיות. בתכנות סטוצ'סטיות, למשל, הבעיה המאסטר לוכדת החלטות בשלב ראשון, בעוד שכל תרחיש מפגין קוד פתוח; בנדרס חותך את התרחישים.

המדרגות הבסיסיות של בנדרס Decomposition

החלת בנדרס מתבטלת לבעיה תכנות integer בעקבות הליך של קטורטיבי מוגדר היטב.הבעיה המקורית מניחה שיש לו את המבנה:

  • (ב) [15] , [17] , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  • (ב) [ה]] [ה]][ה]] ל[ה] ל[ה] ל[ה] ל[ה]] [ה]][ה]] ל[ה]] [ה]] ל[ה]], [ה], [ה] ל[ה'[ה'] [ה']'[ה']'[ה']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה']']']'[ה']'[ה'[ה'[ה'[ה']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה']'[ה']']']']']']']'[ה'[ה'[ה'[ה']']']']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה'[ה']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה']'[ה']']'[ה']']'[ה'[ה'[ה'[ה'[ה

האלגוריתם הרציני ממשיך כדלקמן:

  1. (ב) [17] , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  2. (ב) [[1924]]]]]] [[1924]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]] ו[[1924]]
  3. (ב) ,0) ,Add לחתוך את הבעיה של המאסטר: FLT:1, נספח 1 החדש שנוצר על ידי חבר הפרלמנט.
  4. (הופנה מהדף [[1924]]]]]] [[1924]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] ו[[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] ו[[1924]]]]]]]]]], [[1924]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
  5. (ב) ,0) התכנסות: אם הגבול העליון והתחתון קרובים מספיק (עם סובלנות), לעצור אחרת, להגדיל את ה- 2kuaFLT:3 ולחזור לשלב 2.

תהליך זה מובטח להתכנסות לפתרון אופטימלי במספר סופי של התנגשויות לבעיות MILP, כי מספר החתכים האפשריים הוא סופי (למרות שהוא גדול) בפועל, טכניקות מתקדמות כגון FLT:0Pareto-optimal חתכים FLT:1 ו-FLT:2matude-based Reductions משמשים כדי להאיץ את ההתכנסות.

פורמולציה מתמטית ודוגמה פשוטה

כדי לקרקע את הדיון, לשקול בעיה של מיקום המתקן הקלאסי.החלטות שלב ראשון הם בינארי: פתוח או לא פתוח מתקנים.החלטות שלב שני להקצות לקוחות לפתוח מתקנים כדי למזער את עלות התחבורה.המונוליטי MILP יכול להיות מופרש לבעיה אדנית אשר מחליט אילו מתקנים לפתוח ו subprom כי חישוב המשימה האופטימלית עבור תוכנית תת-קרקעית זה מציע תחבורה כפולה של מצופה: קוצר רוח פתוח עבור חתכים קטנים.

באופן כללי יותר, נניח שהבעיה המקורית היא:

(ב) ויקרא י"ד:2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

לאחר תיקון x, תת-התחול מעל y היא תוכנית ליניארית (LP) הדואלי שלה מייצר קרן של נקודות קיצוניות.חתמת אופטימליות נגזרת מן הנקודה הקיצונית הכפולה, בעוד קרניים קיצוניות מייצרות חתכים אפשריים.

(ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

הפרדה זו מניבה לעתים קרובות חיסכון חישובי עצום, כי ניתן לפתור את האלבום בצורה יעילה מאוד אפילו עבור מספר גדול של משתנים רצופים.

היתרונות של Betaers Decomposition

בנדרס דה-קופוזיציה מביא כמה יתרונות קונקרטיים למתרגלים:

  • (FLT:0) ,המורכבות החישובית: FLT:1 על ידי בידוד משתנים integer, הפיצוץ המשולב מוגבל לבעיה קטנה יותר של המאסטר, אשר עשוי לכלול עשרות אלפי משתנים, נפתר במהירות באמצעות תכנות ליניארי.
  • (FLT:0)איכותיות: בעיות עם מיליוני משתנים רצופים ורק כמה מאות משתנים מתחדשים הופכים להיות גמישים.מבנה זה נפוץ בעיצוב רשת, אופטימיזציה שרשרת האספקה והתרחבות היכולת.
  • (ב) ⁇ :0) ⁇ (השיטה יכולה להתמודד עם הרחבות סטוצ'סטיות (התכנוכיות מבוססות צנזורה) ואופטימיזציה חזקה (convex or not-convex subproblems, כל עוד הדואליות חלה).
  • (FLT:0) אפשרויות של פסיקה: 1) תת-הבעיות על פני הרצויות שונות (או מעבר לתרחישים) ניתן לפתור באופן עצמאי, המאפשר מחשוב מקביל להפחית את זמן הקיר.
  • (ב) אם ידוע פתרון טוב של Integer, ניתן לזרע את בעיית המאסטר עם קבוצה קטנה של חתכים מבטיחים, מהירות ההתכנסות.

יתרונות אלה הופכים את בנדרס לנסח שיטה מועדפת בהגדרות תעשייתיות רבות, שבהן זמן הפתרון הוא קריטי.

אתגרים ואסטרטגיות מייגציה

למרות כוחו, בנדרס דהקומבה אינה פנאצה. מתרגלים חייבים להיות מודעים לכמה מכשולים נפוצים ולאמץ אסטרטגיות כדי להקטין אותם:

פתיחות איטית

(בצורה הבסיסית שלו, כפילרס דה-קומציה דורש לעתים קרובות מספר רב של קטורות, כי כל קיצוץ מספק רק נספח מקומי; הגבול התחתון עשוי לשפר מאוד לאט.כדי להאיץ את ההתכנסות, החוקרים פיתחו את ה-FLT:0;0) קיצוץ באמון מקומי (FLT:2 Magnאנטי-Wקיצוץ של 3) אשר שולט בנקודת הפחתת הפחתת הפחתת הדרגה גבוהה יותר (DERFreger) ו-Fregererererererteerteergergateergergergergance) ו-FLTer.

בעיות המאסטר המסכן

(הופנה מהדף "לא חתכים") יכול להוביל לנקודה ראשונית בלתי אפשרית או איטי מאוד התכנסות.תיקון משותף הוא ליצור FLT:0fesibility קיצוץ 1 מתוך היוריסטי או מהקליפה של האלבום.

בעיות המאסטר הגדולות IP

אם המשתנים עצמם רבים, ניתן עדיין קשה לפתור את הבעיה של המאסטר במקרים כאלה, FLT:0nested BenderssveFLT:1 (נקרא גם multiשלב decomposition) ניתן להשתמש בו, שבו המאסטר הוא עוד decomposed. Alternatively, FLT:2branch ו-Banders חיתוךsplerated 3 משלב חתכים ישירות לתוך מסגרת משולבת ישירות לתוך חתיכה, ולא חתכים נפרדים.

יציבות נומרית

פתרונות כפולים מן תת-התכנום עשויים להיות מנודה, קיצוץ במינונים גדולים שגורמים לבעיות מספריות. Scaling את הבעיה ושימוש ב-Siler LP חזק (למשל, שיטת מחסום עם קרוסבר) יכול לעזור.

חוסר יכולת

כאשר ה-[[1848]] הוא בלתי אפשרי ל[[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]], [[1924]], [[1924]], [[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]], [[19

יישומים בתעשייה

בנדרס דהקום הוחל בהצלחה בהקשרים רבים בעולם האמיתי:

  • (FLT:0) עיצוב רשת שרשרת שרשרת שרשרת: החלטות אסטרטגיות (מיקום תזונתי, בחירת טכנולוגיה) הם משתנים integer, בעוד החלטות זרימה תפעוליות הן מתמשך.Banders decomposition מטפל בבעיות עם מאות מתקנים פוטנציאליים ומיליוני משימות לקוחות.
  • (FLT:0) תכנון מערכת החינוך: FLT:1בהתרחבות הדור של כוח, המאסטר מחליט אילו גנרטורים לבנות (integer) ואת ה- subproblem שולח גנרטורים קיימים כדי לענות על הביקוש לאורך תקופות זמן רבות (בהמשך) גרסאות סטוצ'סטיות משלבות דרישה בלתי ברורה ופלט מתחדש.
  • (FLT:0)Telcommunica Network Design:FLT:1Building קישורים וציוד (integer) לעומת תנועה מתפתלת (מהפכה) מתאים באופן מושלם למסגרת ה-Banders.
  • (FLT:0Logistics and Transport:FLT:1 Fleet sizing ומכוניות גורמות לעתים קרובות לבונדרס כדי להפריד את הרכב צי מהחלטות ניתוק.
  • (FLT:0) תכנון ייצור ושידול: לוט 1 (לוט לוט) בעיות הקצאה מכונה ליהנות מן הפירוק של משתנים ההתקנה (binary) מכמויות ייצור (מעקביות).

כל יישום מנף את היתרון הליבה: על ידי הסתרת המבנה המתמשך בתוך אלבום, הקושי המשולב הוא מקומי לתכנית אינפורטר מאסטר.

השוואה עם שיטות אחרות

בנדרס decomposition לעתים קרובות בהשוואה לגישות אחרות:

  • (FLT:0)Dantzig-Wolfe Decomposition:FLT ( 1:1 שיטה זו עובדת על ידי דור עמודה, חלוקת הבעיה לתוך מאסטר אשר לתאם שילובים של פתרונות תת-בעיה. בעוד Dantzig-Wolfe הוא חזק עבור בעיות עם מבנה חסימה זוויתי, בדרך כלל דורש פתרון לא לינארי (באמצעות מגבלות convexity) בנד, על ידי ניגודיות ליניארית, עם פונקציות טבעיות (מתאים יותר) עם חתכים (מתאים יותר) עם חתכים).
  • (FLT:0)להגרינגיאן להירגע: FLT:1 בהרגעה Lagrangian, מגבלות מסבך מוכפלות, והבעיה המתקבלת היא לעתים קרובות קל יותר לפתור.עם זאת, היא מספקת רק גבול נמוך יותר לבעיות minimization; למצוא את האופטימום של ה-teger, Heuristics או תוכנית סניף בשפע יש להוסיף.
  • (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

לכל שיטה יש את נקודות החוזק שלה, אבל בנדרס דהקום נשאר שיטת הבחירה כאשר הבעיה מציגה מבנה טבעי של שני שלבים עם משתנים בשלב הראשון של Integer ושלב שני מתמשך גדול.

המונחים

יישום בנדרים decomposition דורש תשומת לב למספר פרטים מעשיים:

  • (FLT:0Solver בחירה: FLT:1 הבעיה המאסטר (integer) ניתן לפתור עם מפתר MILP כגון גורבי, CPLEX, או SCIP. The Subproblem (LP) הטבות מ-LP מהיר; רבים מ-MILP מודרניים גם מאפשרים פתרון יעיל ללא טעינה של המודל המלא בכל פעם.
  • (הופנה מהדף אסטרטגיה של הדור הראשון של הדור הראשון במקום להוסיף רק קיצוץ אחד בהצתה, זה לעתים קרובות מועיל להוסיף חתכים מרובים (למשל, אחד מכל נקודה קיצונית של הדואל) גם, FLT:2Pareto-optimal חתכים 3FLT 3 צריך להיות מיושם כדי להאיץ את ההתכנסות.
  • (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  • (ב) קריטריונים של הפסקת אש: 1FLT) השתמש פער יחסי או מוחלט (למשל 0.1%) אך ביישומים מסוימים, פתרון כמעט-אופטימי מתקבל על הדעת, כך ניתן להרגיע את הסובלנות.
  • (הופנה מהדף LT:1) טעות נפוצה מייצרת חתכים שגויים בשל נטיות כפולה או אי דיוק.תמיד לוודא שהחתרה תקפה על ידי בדיקות אותה על הבעיה המקורית. Logging ספירות ההסרה ושיפורים מקיפים מסייע לאבחן התכנסות איטית.

(המדריך ליישום מקיף עם דוגמאות קוד ב- Python, ה-HDGurobi Benders דוגמא ההרחבה: ⁇ FLT:2IBM ILOG CPLEX על אלגוריתם בנדers דוגמא FLT 3: מספק תובנה על בסיס אוטומטי לעומת קידוד ידני.

מסקנה

בנדרס דה-קוופוזיציה היא טכניקה של זמן לפתרון בעיות תכנות בקנה מידה גדול המציגות פער בין דיססלקציה לבין החלטות מתמשך. על ידי שובר את הבעיה לתוכנית integer מאסטר ו אחד או יותר תת-בעיות רציפות, זה להפחית את המורכבות חישובית, ממשיך את יכולת הדרגתית, וניתן להתאים לגרסאות סטיות וחזקות. בעוד אתגרים כגון איטיות ושילוב של מנגנונים משפטיים, דורשות של אסטרטגיות יעילות של תכנון.com.