הבנת ה-Nequit Plot

מזימה Nyquist היא כלי בסיסי בהנדסה שליטה, המשמש לנתח את יציבות מערכות משוב.שם לאחר הארי Nyquist, ייצוג גרפי זה מתאר את התגובה תדירות של מערכת על ידי גיבוש תפקוד ההעברה המורכב:0G(j ⁇ ) שלב שולי שלב שולי שלב 1 כמו גם את התדרים זוויתית משתנה מ 0 ל ⁇ .

(הופנה מהדף ⁇ ) ⁇ (ה) ⁇ ⁇ ⁇ ) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

המונחים: growth

(ב) , (ב) , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) ⁇ (ב)= Re( ⁇ ) + j Im( ⁇ )= M( ⁇ ) e^{j ⁇ ( ⁇ )

כאן, (ה-FLT:0)M( ⁇ ))FLT:1hil הוא הגודל (הנקרא גם רווח) ו-FLT:2 ⁇ ( ⁇ )FLT 3: 3 הוא זווית שלב בניית מזימה נייקיקט כרוך הערכה של FLT:4(G(G ⁇ )H(j)FLT:5 בתדרים רבים והשגת נקודות מורכבות עבור מערכת טיפוסית, לעתים קרובות, מתחיל בדרגה דינמית ( ⁇ ) בדרגה 0).

כדי ליישב את ה-H(j ⁇ )H(j ⁇ )H(j ⁇ ) 1FLT:1 מתמטית, לשקול פונקציה העברה כללית הגורמת לקוטבים ואפסים:

(ב) ⁇ (ב)=K=R=R=R=1=1=1=0)}}

(ב) [17] ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

צעדים של בנייה מתמטית

יצירת מזימה ניקוויקט ביד (או באמצעות תוכנה) כוללת הערכה שיטתית של (FLT:0G(j ⁇ )H(j ⁇ )H(J ⁇ ) ⁇ FLT:1 מעל טווח תדר.

  1. (ב) [ה]] [ה]] [ה]], [ה], [ה], [ה], [ה]], [ה], [ה], [ה]]]], [ה'], [ה']'[ה']'[ה']'[ה']'[ה']']'[ה']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה']']'[ה'[ה']'[ה'[ה']'[ה'[ה'[ה']']']']'[ה'[ה'[ה'[ה']']']']']']']'[ה'[ה'[ה'[ב']']']']']'[ה'[ה']']'[ה']'[ה'[ה'[ה']']']']'[ה'[ה'[ה'[ה']'[ה']']']'[ה'[ה'[ה'[ה'[
  2. (FLT:0) חישוב גודל ושלב 1:1 במערך תדרים בדרך כלל, תדרים נמוכים (near 0) ותדרים גבוהים (near ⁇ ) נבחרים, עם נקודות ביניים ליד תדרי פרידה (שם הקוטב או אפס תרומות משתנות סימן).
  3. (ב) ב- ⁇ =0FLT:1; הנקודה תלויה בסוג המערכת. עבור סוג 0 (לא באטרגרס), העלילה מתחילה ב-FLT:2KirFLT 3: 3 (הרווח DC) על ציר אמיתי חיובי.עבור סוג 1 (אחד integrator), העלילה מתחילה בגודל אינסופי עם שלב של −90 מעלות (בשלב 2 °) ב- 0.
  4. (FLT:0)Plot מציין בתדרים גוברים של 1FLT, המחבר אותם בצורה חלקה.כפי שתדירות עולה, העקומה בדרך כלל נעה לכיוון המקור (כיוון שירידה בגודל) השלב עשוי לחצות -180 מעלות בתדירות המעבר שלב שבו גודלו קריטי לניתוח יציבות.
  5. (FLT:0Mirror עבור תדרים שליליים FLT:1 (אם באמצעות קו מתאר מלא Nyquist) העלילה עבור ⁇ מ ⁇ ל 0 היא תמצית מורכבת של העלילה עבור ⁇ חיובי, משתקף על פני הציר האמיתי. בשילוב עם סניף התדר החיובי (וחציון אינסופי אם המערכת יש עודף אפס), הנתיב המלא של Nyquist הוא מושג.
  6. (ב) ,0) ,[דרוש מקור] ל[[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]]]]

מבחינה מתמטית, עקומת Nyquist לתדרים חיוביים יכולה להיות פרמטר כמו ⁇ ⁇ [0, ⁇ ] עבור מערכות עם תואר יחסית (n- m) ⁇ 1, העקומה מסתיימת במקור, מתקרבת אליו עם שלב של −(n-m) ×90 מעלות. עבור רמה יחסית 0 (מספר של קטבים ואפסים), הנקודה הסופית היא מספר סופי לא אפסי מורכב ⁇ ⁇ .

קריטריון הכדאיות במפורט

(ב) [17] , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) [17] , [17] ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) ויקרא י"ד: ⁇

איפה:

  • (ב) [17] , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  • (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  • (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) [ה]] [ה]] [ה]] [ה]]] [ה]]] [ה]]], [ה]], [ה]], [ה]]]], [ה'], [ה']'[ה']'[ה']']'[ה']']''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

יישום הקריטריון: Encirclement Counting

ספירת encircles כרוכה בניתוח נתיב Nyquist על פני קו מתאר שלם, כולל מיפוי של חצי-circle האינסופי.עבור מערכות עם תואר יחסי ⁇ 1, מפות חצי-מזרח אינסופית למעגל קטן סביב המקור ב-FLT:0G(s)H(s)FLT:1 (או נקודה קבועה אם אפס יחס סביר) גישה מעשית למהנדסים היא:

  1. צייר את העלילה Nyquist עבור ⁇ מ 0 ל ⁇ .
  2. הרהר אותו מעבר לציר האמיתי עבור ⁇ מ 0 ל ⁇ .
  3. אם המערכת יש קטבים על ציר דמיוני (למשל, אינטגרטורים), לוכד את קווי המתאר של Nyquist עם עיגולים קטנים כדי להימנע מקוטבים אלה, וממפה את הסטיות לקשתות גדולות ב-FLT:0G(s)H(s)FLT:1.
  4. לספור את מספר השערות של שעון חכם של −1 על ידי מעקב אחר העקומה סגורה לחלוטין (כולל מיפוי חצי-צירק האינסופי).

מבחינה מתמטית, ניתן לנסח את הספירה לאחור:0NIRFLT:1.

(ב) ויקרא י"א): "וַיְהַהְיִדְהַהְיִנָּבְהוּ הוּא הוּא הוּא" (ב)

אך לעיתים נדירות הדבר מוערך באופן אנליטי; מהנדסים מסתמכים על כלי פיקוח גיאומטריים או תוכנה.הבנה המרכזית היא שנקודות הניתוק להתרחש כאשר השלב של FLT:0G(j ⁇ )H(j ⁇ )H(j ⁇ ) ⁇ )FLT:1 חוצה −180° (כלומר, הנקודה 1-1 בציר האמיתי) בעוד הגודל הוא ⁇ 1.This מגדיר את ה-Fird2: 2;5gafb;5;5;5;5;5; LT5pp) ו-Fp:

דוגמאות בנייה מעשית

כדי לחזק את ההבנה, אנו רואים מערכת סדר ראשון פשוטה ומערכת מסדרה שנייה עם לחות.

מערכת ההזמנות הראשונה:0(G(s)= 1/(s +1)

(ב) [ה]] [ה]][ה]][ה]][ה]]][ה]]][ה]]][ה]]][ה]]]][ה]]], [ה[[המאה ה-20]], ו[[המאה ה-20]], היא בעלת [[המאה ה[[המאה ה[[המאה ה-20]].

(ב) ⁇ n2/(s) ⁇ n2/(s2 + 2 ⁇ n s + ⁇ n)

(ב) ,המילה (ה) היא בעלת מדרגה ראשונה, ו[[1924]], [[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]

כדי לראות שלב תקין חוצה, לשקול מערכת עם מוט נוסף בתדר נמוך:0G(s) = 1 /(s + 2 + 2 ⁇ s + 1) s + 1) ve:1 [כאן השלב יכול לחצות -180 מעלות בחלק ⁇ סופי, ואת העלילה עשוי encircle −1 אם רווח הוא גבוה מספיק.

חיבור Nyquist, Bode, ניקולס Plots

(ה) מזימה של ניקוויקט קשורה באופן אינטימי למזימה הבודה (שלב המכירה והשלב) ולטבלת ניקולס (Bde Plot) מספקת גודל ב-DB ובשלב בדרגות כפונקציות של תדר הגלים (החלק ה-Nyquist) הוא שילוב של מעברים שליליים של השלב והשלב: כל נקודה על ציר ניאקיט תואמת בגודל של 1 (Fal) 1-1.

תרשים ניקולס הופך את העלילה Nyquist לתוך העלילה קרטסאנית של גודל (dB) לעומת שלב (דאג) טרנספורמציה זו היא שימושית בעיצוב בקרים כי רווח ורווחים שלב ניתן לראות בקלות, ותגובה סגורה ניתן לקרוא באמצעות M-circles.כל שלושת הייצוגים הם שווה ערך מתמטי; בחירת אחד תלוי בהקשר והעדפות של מהנדס.

הגבלות ושיקולים מתקדמים

בעודו חזק, העלילה Nyquist יש מגבלות כי מהנדסים חייבים להכיר קודם, עבור מערכות עם עיכובים זמן, עקומת Nyquist הופכת אינסופית ומקוע מאוד, הדורש טיפול זהיר של מיפוי חצי-הטווח האינסופי.העיכוב מוסיף שלב שינוי ⁇ T המצטברת באופן ליניארי, מה שגורם את מזימה Nyquist לספירלה פנימה או החוצה בהתאם לעיכוב.

שנית, העלילה Nyquist כפי שתואר היא עבור מערכות זמן רצוף.עבור מערכות זמן דיסקרטי (z-domain), קווי המתאר Nyquist הופך למעגל היחידה, ואת קריטריון היציבות בוחן encirclements של −1 ב מטוס או השימוש של bilinear להפוך למפה ל-s-plane.

שלישית, הקריטריון של Nyquist מניח כי מערכת ה- loop סגורה יציבה אם ורק אם ה-Open-loop Nyquist העלילה encircle - 1 כראוי, עם זאת, זה דורש כי האופי של הקוטבים הפתוחים ב- RHP ידוע FLT:0a preiFLT:1 אם הפונקציה הפתוחה-loop יש קוטעים על צירים דמיוניים (כולל קטנועים חדשים), חייב להיות כולל קווי מתארים חדשים של קוויטריטים אלה.

לבסוף, העלילה Nyquist היא כלי תדירות-דומיין; היא מספקת תנאים הכרחיים מספיקים ליציבות רק עבור מערכות לינאריות זמן (LTI) עבור מערכות לא לינאריות או זמן, הקריטריון של Nyquist אינו חל ישירות, אם כי הרחבות כמו FLT:0circleiterionFLT:1 קיימות עבור שיעורים מסוימים של אי-לינאריות.

מסקנה

בנייתו של מזימה ניאקיט מושרשת עמוקות בניתוח מורכב, במיוחד מיפוי של ה- Nyquist contour דרך הפונקציה הרחבה הפתוחה-פרלופ ועיקרון הטיעון.על ידי שליטה בצעדים המתמטיים - הערכה של ה-FLT:0G(j ⁇ )H(j ⁇ )H) FLT:1, גיבוש הנקודות המורכבות, וספירת encirments של , 000-iv - שיפור שיטות אינטנסיביות עבור חיקוי של כלי בקרה תעשייתי חזק, אך אינו מאפשר חלוצים רק ל-Bot יעיל של כלי בקרה ויציבות לתוך הנדסת כלים חזקים, אך ורק ל-Boekt.

(ב) לקריאה נוספת, מתייחס לספרי לימוד סטנדרטיים כגון:0Wikipedia מאמרו של Nyquist יציבות קריטריון ליציבות ה-Nyquist יציבות קריטריון 1, FLT:2Control Tutorials for MATLAB ו- SimulinkoriFLT:3, או את הטקסט הקלאסי FLT:4Modern Control EngineeringFLT5: על ידי Ota לספק מקורות מתמטיים נוספים ודוגמאות מתמטיות.