הבנת המשוואות של אוילר ב-Ririd Body Dynamics

משוואותיו של אוילר הן אבן הפינה של מכניקה קלאסית, המספקות מסגרת מתמטית רבת עוצמה לניתוח התנועה הרוטאלית של גופים קשיחים.שם לאחר המתמטיקאי השוויצרי הפרוליבי לינדה אולר, שלוש המשוואות השונות הללו מתארות את האבולוציה של מהירות האנגולרית במסגרת הפניה פשוטה הקבועה לגוף עצמו.

מחלוקות היסטוריות ותרומתו של אוילר

לאוןארד אוילר (1707-1783) תרם תרומות בסיסיות כמעט לכל ענף של מתמטיקה ופיסיקה.במכניקה, הוא הרחיב את עבודתו של ניוטון על תנועת חלקיקים לסיבוב של גופים מורחבים.בעוד ניוטון כבר הניח את עקרונות הדינמיקה הסבבית, היה זה אוילר אשר הביא באופן קפדני את המשוואות הנושאות את שמו, תוך שימוש במושג של אקספומנטים ראשיים ומסגרתו-Oled גוף 1765 "המהירות" של אורומטרהספקית" (או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-הספקרטי) נותרת של ספקטרום המשוואות מוצקהמבטומטר) של הגוף הפרדוקס של הגוף-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-או-הספקרטי) נותרת של הגוף-אוטרם של הגוף-הספקרטי) של ספקטרום הפרדוקס של ספקטרום הפרדוקס של ספקטרום הפרדוקס של ספקטרום הפרדוקס של הגוף-אוטרם של ספקטרום היישר-הספקרטי) נותר חזק יותר חזק יותר חזק יותר

הרעיון המרכזי: רוטציה במסגרות גוף-Fixed

כאשר ניתוח התרגום, אנו פועלים בדרך כלל במסגרת לא-מחדשת שבה חוקי ניוטון מחזיקים פשוט.עבור סיבוב, יש לנו את הפיתוי להשתמש באותה מסגרת לא-מחדשת, אבל ה-Inertia Tenor של גוף רוטטציה משתנה עם אוריינטציה יחסית למסגרת זו.המורכבות הזו נעלמת אם אנו בוחרים מערכת קואורדינטית שמסתובבת עם הגוף - המסגרת המתוקנת בגוף זה, in the in aertiaor is aconeratives in aconerative acontative aconerative acontative acontatives acona-the acontative acona-the acontative acontatives acona-the acontative acontative acontatives acontatives acona-the acontatives acontative acontatives acontatives acontatives acona-the acona-the acona-the acontativesama-the aconerativesama-the acona-the acontativesaming a briefes aconerativeing acontexitivesama

(ב) .

כאשר L הוא הווקטור המומנטום הזוויתי ו ⁇ הוא המהירות הזוויתית של הגוף.משוואותיו של אוילר מופיעות ישירות החל החוק השני של ניוטון לסיבוב, N= dL / dL (inert) ו substituting L=I- ⁇ (שם אני ה-Inertia Tenor במסגרות הגוף).

פורמולציה מתמטית

משוואותיו של אוילר הן ביטויות בדרך כלל במונחים של הרגעים העיקריים של Inertia I1, I2, I3 (בערך שלושת האקסים העיקריים) ואת המרכיבים של מהירות זווית ⁇ 1, ⁇ 2, ⁇ 3 לאורך צירים אלה.

(ב) ויקרא י"א:2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) ויקרא י"א:2 ⁇ ⁇ 2 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

(ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

כאשר ⁇ 1, ⁇ 2, ⁇ 3 הם המרכיבים של הקטור החיצוני המיושם לאורך האקסס הראשי. A dot over ⁇ מציין את נגזר הזמן בתוך מסגרת תיקון הגוף.

תהלוכה לחוק השני של ניוטון לרוטציה

התחל עם הצורה הרוטאלית של החוק השני של ניוטון במסגרת לא רצויה: ⁇ = dL / dL. / dL. / dL. המומנטום הזוויתי הוא L=I- ⁇ , אבל אני תלוי בזמן בתוך המסגרת האי-מנטלית.עבור למסגרת הגוף שבה אני = קבוע (אם גרזן ראשי משמש).

dL /dt(inertial) = dL /dt(body) + ⁇ × L

לכן: ⁇ = dL / dt(body) + ⁇ × L. מאז L = I1 i + I2 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 3 k (הנחה עיקרי אקסס), הנגזר הזמן מסגרת הגוף הוא פשוט I1 ⁇ 1 + I2 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 3 k (המוצר חוצה ⁇ x Ls) להרחיב (I - I2=I=I=I=I=I=I=I=1=I=I=I=I2 j2 j2 ⁇ 2 j2 j2 j2 j2 j2 j2 j2 j2 j2 j2 j + I2 j + I2 j + I2 j + I2 j + I2 j + I2 j + I2 j + I3 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 2 ⁇ 2 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 2 j + I3 ⁇ 2 j.com ⁇ 2 k.com ⁇ 2 j + I3 ⁇ 2 j.com ⁇ 2 k.com ⁇ 2 k.I3 ⁇ 2 k.

ראשי התיבות של Axes and Simplifications

הבחירה של אקסס ראשי היא חיונית לפשטות.הם החרדות שעליהן ה-Inertia Tenor הוא דיאגונל.אם הגוף הוא סימטרי (למשל, גליל), לפחות שני רגעים עיקריים שווים, המוביל לפשטות.עבור ספירה, כל השלושה שווים, ומשוואותיו של אוילר מקטיןות לי ⁇ = ⁇ עם שום הפיכה - כלומר, כלומר, לתרגום בינוני, כלומר, כלומר, להתפרצות של סימטרית (I=I=I=L) ל- I=I=I=I=L=I= ⁇ סימטרית) ל- I=L=L=L=I=L=L=L=L=L.

פרשנות פיזית והסכמה חשובה

המונחים הלא ליניאריים (I3 - I2) ⁇ 2 ⁇ 3 וכו 'יש משמעות פיזית עמוקה.הם מייצגים את החלפת המומנטום הזוויתי בין גרזן בשל הסיבוב של הגוף עצמו - אפקט "gyroscopic". בהיעדר מומנט חיצוני, המומנטום הזוויתי L הוא קבוע בגודל וכיוון במסגרות לא רצויות, אך הגוף עלול לפעום או כפי שנראה מראש מהגוף.

שימור Angular Momentum (Torque-Free Case)

אם ⁇ =0, המשוואות של אוילר הופכות:

I1 ⁇ 1+ (I3 - I2) ⁇ 2 ⁇ 3=0, וכו '.

שתי כמויות נשמרות: גודל המומנטום הזוויתי (L2=I12 ⁇ 12 + I22 ⁇ 22 + I32 ⁇ 32) והאנרגיה הקינטית הסבבית (T= 1⁄2(I1 ⁇ 12 + I2 ⁇ 22 + I3 ⁇ ) + I22 + I22 ⁇ 22 + I32 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ) על יחס זה של שני צורות quadraotic מגביל את התנועה לשקר על פני ⁇ (cont) של ⁇ i) ⁇ i) ⁇ ( ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

The Intermediate ציר Theorem (Tennis Racket Theorem)

אחת התוצאות האינטואיטיביות ביותר של אוילר היא משפט ציר ביניים, הידוע גם בשם אפקט דזאניבקוב לאחר הקוסמולוגיה הסובייטית שהוכיחה אותו בחלל.עבור אובייקט עם שלושה רגעים עיקריים נפרדים של אינרטיה (אומר I1 > I2 > I3), סיבוב על ציר ביניים (I2) הוא לא יציב.

שקיפות ו- Nutation

עבור העליון סימטרי (I1= I3), משוואות של אוילר מודים פתרונות הרמוניים פשוטים.במקרה חופשי ה- ANGular מהירות וקטור precesses על ציר הסימטריה בקצב קבוע הידוע בשם התדר הגוף conelipe.אם a חיצוני מומנט (למשל, כבידה) הוא מיושם, הצירים המובילים עצמם סביב משוואות אנכיות יכול להיות מסובבת לכדי משוואות אופטיות (גם) אשר יכולות להיות ממושכות ליישבות על ידי פונקציות אנזוכות).

שילוב נומררי ופתרונות מעשיים

בעוד המשוואות של אוילר הן משוואות שונות רגילות, הן לא לינאריות ולעיתים רחוקות להודות פתרונות סגורים לתנאים ראשוניים שרירותיים.לכן, שילוב מספרי הוא סטנדרטי עבור סימולציות הנדסיות.

פתרונות אנליטיים לאירועים מיוחדים

עבור תנועה חופשית ל- torque, המשוואות הן בלתי אינטגרטיביות.עבור סימטרי העליון (I1=I2), הפתרונות הם trigonometric: ⁇ 3 הוא קבוע, ו ⁇ 1, ⁇ 2 oscillate Synoidally. עבור המקרה הסימטרי המלא, הפתרון ניתן להתבטא במונחים של פונקציות ג'ייקוב אלאולימטיות - הנוסחות המדויקות קיימות אך הן cumalyticות עבור קודים פרמטרים בעלי ערך.

גישות מקבילות (למשל, Runge-Kutta)

עבור יישומים מעשיים - בקרת הגישה של Spacecraft, מניפולטורים רובוטיים, וסימולציה בזמן אמת - מהנדסים להסתמך על אינטגרטורים מספריים (הסדר הרביעי הקלאסי Runge-Kutta (RK4) משמש באופן נרחב בשל מאזן הדיוק והפשטות שלו. עם זאת, משוואות של אוילר משולבות לעתים קרובות בשילוב עם מומנטום או כיוון משותף לגישה לייצוגית (RKericial) של משוואות של משוואות של משוואות להפחתה קצרה לאחר מכן, כלומר, לאחר מכן, כלומר, לאחר מכן, רק משוואות של משוואות של משוואות משוואות משוואות משוואות סגסוגת נוסחאות קבועות).

יישומים בהנדסה ובפיזיקה

משוואותיו של אוילר אינן רק סקרנות אקדמית; הן מהוות את עמוד השדרה של סימולציות של דינמיקה רוטאלית על פני תעשיות רבות.

חלליות בדינמיקה ובשליטה

כנראה היישום הקריטי ביותר הוא בקרת הגישה החללית.תחנת לוויין או חלל משתמשת בגלגלי תגובה, בקרה על הרגע הגירוי, או דחף לחול על צירים, ואת הכיוון שלו (ב) יש לשלוט על אנטנה נקודה, לוחות סולאריים, או מכשירים מדעיים.מהנדסים מודל החללית כגוף נוקשה (או קבוצה של גופים נוקשים עם תאימות גמישה) ולהשתמש במשוואות של אוילר כדי להבטיח את המשוואות המהירות של ייצוב של ה- CDRIQ.

מערכות גירופ ומערכות ניווט

Gyroscopes הם מכשירים אשר מנצלים את השימור של מומנטום זווית תחושה. gyroscopes מכני מכיל רוטטור מסתובב כי ההכנה תחת מומנט חיצוני נשלט על ידי משוואות של אוילר. במערכות ניווט מודרני לארטי (INS), gyroscopes לספק מדידות קצב זוויתיות, ואת המחשב משלב את המגמות באמצעות משוואות דמויי אוילר כדי לשמור על אוריינטציה מדויקת של מערכות דיוק, כולל סחף של חוסר איזון מדויק של כל אלה.

מניפולטורים רובוטיים ו- Multibody Systems

הרובוטיקה, זרוע מניפולטור כוללת מספר קישורים נוקשים המחוברים על ידי המפרקים.הדינמיקה של כל קישור היא שילוב של תרגום (Newton) וסיבוב (Euler) אלגוריתם ניוטון-אולר הוא שיטה סטנדרטית למחשוב את הקוויקים המשותפים הדרושים כדי להשיג תנועות הרצויות.אלגוריתם זה משתמש במשוואות הגוף הקשיחות של תנועה לכל קישור, כולל משוואות של אוילר עבור רמות יעילות של שליטה רובוטית של רובוטים מהירים.

מדע ספורט (למשל, התעמלות, התעמלות)

המשוואות של אוילר אפילו למצוא יישום בניתוח ביצועים אתלטיים.כאשר דיבר עוזב את הלוח, הם גוף נוקשה (כתוצאה) ללא חרק חיצוני (התנגדות אווירית זניחה) על ידי טוויסט, הם יכולים לשנות את המהירות הזוויתית שלהם באופן ספונטני על צירים שונים על ידי שינוי הרגע שלהם של inertia (למשל, למשוך נשק במשוואות של אוילר להסביר איך זה יכול להופיע עם כמה ספין-אוקסשן-אוטיסטים.

הגבלות ותוספות

בעוד המשוואות של אוילר הן חזקות, הן נשענות על אידיאליזציה שלא תמיד מחזיקה.

המונחים: Rigidity

גופים אמיתיים אינם נוקשים לחלוטין.הם מתפרסמים תחת לחץ (אלסטיות) ויכולים להיות חלקים פנימיים נעים (דחמוצ דלק בקטנות, אסטרונאוטים נעים בתוך תחנות חלל) פיזור אנרגיה פנימי יכול לקלקל את הסיבוב על ציר האינטרטי המקסימלית (ציר השדרה יציב רק אם הגוף הוא נוקשה לחלוטין; כל פירוק גורם לספין הספין לסחף לכיוון ציר המרבי בגרסאות הללו).

כולל אפקטים גמישים של הגוף

עבור חלליות גדולות עם לוחות סולאריים או זרועות רובוטיות, גמישות היא חיונית.משוואות התנועה הופכות היברידיות ODE (מצבי גוף קשיחים) ו- PDEs (מצבים טבעיים) מהנדסים לעתים קרובות להשתמש בניתוח מודוללי כדי לייצג עיוותים גמישים כמערך של אווסוציאטורים אשר יחד לתוך משוואות של אוילר דרך קוויות פנימיים.זה שדה פעיל של מחקר בתחום ההנדסה של תעופה.

תיקון lativistic

במהירויות המתקרבות למהירות האור, משוואותיו של אוילר מתפרקות. תיקונים מיוחדים הקשורים לתנועות רוטט הופכות משמעותיות עבור אובייקטים מסתובבים מהירים מאוד (למשל, כוכבי נויטרונים) המומנטום הזוויתי כבר לא פרופורציונלי למהירויות זוויתיות עם קצב הפיכה קבוע של הפיכה; ה-Inertia Tenortia עצמו הופך לתפקוד של גורם לורנץ.

מסקנה

המשוואות של אוילר נשאר כלי בסיסי בדינמיקה של הגוף נוקשה.האלגנטיות המתמטית שלהם, מושרשת בבחירת מסגרת מתוקנת גוף, מספק תיאור פשוט אך רב עוצמה של סיבוב.מהתבוננות היומיומית של ראש מסתובב אל הספיד הגבוה של חלליות הבין כוכביות, משוואות אלה שולטים על התנועה.