יישום שיטות שונות בפתרון בעיות בקרת אופטיות

תפקידה של שיטות שונות בתיאורית בקרת אופטימאלי

תורת הבקרה האופטימלית מספקת מסגרת מתמטית לעיצוב מערכות דינמיות אשר משיגות התנהגות רצויה תוך צמצום או מיקסום מדד ביצועים. מהנדסים, כלכלנים, ומתמטיקאים יישומיים מסתמכים על משמעת זו כדי לפתור בעיות החל אופטימיזציה של מסלול טילים להקצאת משאבים במימון.בין הכלים החזקים ביותר שפותחו למטרה זו הם שיטות שונות, אשר מנטרל בעיות שליטה באמצעות עדשות של חישוב של שינויים דרמטיים, כולל שיטות בקרה אופטימליות של טיפול פונקציונליות, כולל שיטות בקרה פונקציונליות.

יסודות ה- Calculus of Variations

(ב) , ]] ,[[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]], [[1966]], [[1924]]]]]], [[[[1924]]]]]], [[1966]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]], [[[[1924]]]]]], [[[[1924]]]]]], [[[[1924]]]]]]]] [[[[1924]]]]]]

[השליטה האופטימלית] התפקודי מייצג מדד ביצועים (למשל, צריכת דלק, זמן או טעות מרובע), והתפקוד להימצא הוא חוק הבקרה FLT:0u(t)uaFLT:1; הדינמיקה פועלת כצורה שונה של שוויון בין-אישי המקשרת את המדינה:2x(x(t) LT 3 ולשלוט על-F:4u) {\displaystyle ULT2g} משוואה אחת (Luncit) עם משוואה משתנה (Latermer) ו-Laercer)

לקוראים המעוניינים לצלול עמוק יותר לתוך חישוב של וריאציות, (FLT:0MIT OpenCourseWare מציע סדרת הרצאות מעולה.

מבנה פורמלי של בעיית בקרת אופטימאלית

בעיה אופטימלית של שליטה מוגדרת על ידי המרכיבים הבאים:

(ב) ויקרא י"ד: "ה' (ב) ויקרא י"ד): "וַיָּבְתָּבְתָּבָר עַמֶּה אֱלֹהִים" (במדבר כ"ד, כ"ד)
(ב) [[1924]]]]]] [[1924]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]]
(ב) ,0) ,ConstraintsFLT:1: אלה עשויים לכלול תנאים ראשוניים ומסופיים על מדינות, גבולות על בקרה, או מגבלות על נתיב אי שוויון (למשל, מכשולים רובוטיקה).

(ב) , ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

רפורמציה משתנה: ההמילטון והלגרינגיאן

הגישה Lagraian

כדי ליישם שיטות וריאציות, אופטימיזציה דינמיים מחוסנים מומרת לבעיה לא מומן באמצעות מכפילים Lagrange. Define the Lagrangian פונקציונלי:

(ב) ויקרא י"ד): "וַיְהַּדָּבְהִיתִיתִיתִיתִיתִיתִיתִיתִיתִיתִיתִי" (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

כאן λ(t) ⁇ Rn הוא הווקטור של מכפילים Lagrange, הנקרא לעתים קרובות עלות או מצמד משתנה הראשון של FLT:0LiguaFLT:1 עם כבוד ל- x, u, ו-λ, והגדרתו לאפס, מניב תנאים הכרחיים עבור אופטימליות.

פורמולציה המילטון

זה נפוץ להגדיר את ההמילטון:0 [Horiph:1] = L + λT f. ואז משוואות Euler-Lagrange להיות קבוצה של משוואות קונספירציה:

(ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
(ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
(ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
(ב) ,0) תנאים קשים (FLT:1): או מצבים קבועים או מצבים טרנסיאליים הקשורים ⁇ / ⁇ x ו λ בזמן הטרמינל.

(ה) תנאים הכרחיים אלה הם הבסיס של פותרי שליטה אופטימליים מבוסס וריאציות ביותר (כאשר מגבלות שליטה הן נוכחות (למשל, u ⁇ U, a closed set), מצב ⁇ FLT:0HFLT:1/ ⁇ u=0 הוחלף על ידי עיקרון ה- Principle המקסימלי של פונטרידמיין (PMP), הקובע את השליטה האופטימלית של המילטון = LT2F:

עיקרון העקרון המקסימלי של פונטריידמיין: התוצאה של הליבה

עקרון ה-Principle המקסימלי של פונטידמיין הוא תוצאה מרכזית בתיאוריה אופטימלית של שליטה המאמת את חישוב הריאציות כדי להתמודד עם מגבלות שליטה.זה מספק הן הכרחיות, תחת הנחות הדבקה, תנאים מספיקים עבור אופטימליות. העיקרון קובע כי עבור בעיית הבקרה האופטימלית שתוארה לעיל, קיים מחיר λ(t) כזה:

(המילטון) מצמצם את השליטה האופטימלית:0 (Horiph) 1(x*, λ*, u*, t) ⁇ FLT:2HoriFLT 3:(x*, λ*, u, t) עבור כל החיובי.
עלות מתפתחת על פי ⁇ = ⁇ FLT:0reaHFLT:1/ ⁇ x, עם תנאים רציונאליים מתאימים בזמן הטרמינל.
משוואה המדינה ⁇ = ⁇ FLT:0Horiph:1 ; ⁇ יש תנאים מוקדמים.

PMP יכול להיגזר באמצעות שיטות וריאציות על ידי התבוננות בהפרעות כגון מחט של שליטה וניתוח השינוי וכתוצאה מכך בפונקציונליות העלות.עקרון זה הוא חזק במיוחד עבור בעיות שליטה במפץ (שם מתגי הבקרה האופטימליים בין ערכים קיצוניים) וקשתות ייחודיות (שם המילטון הוא ליניארי בשליטה).

פתרון בעיות בקרת אופטיות עם שיטות שונות

שיטות עקיפות

שיטות שונות מהוות את הבסיס של פותרים עקיפים, אשר מנסים לפתור את בעיית ערך הגבולות של שתי נקודות (TPBVP) שמקורה בתנאים הדרושים.המדינה ומשוואות עלות, יחד עם תנאי גבול, מהווים מערכת שונה-אלגברית.טכניקות נומריות נפוצות כוללות:

(ב) ,0) שיטות של איסוף: נחשו עלות ראשונית בלתי ידועה ושילוב קדימה; התאמת ניחושים באמצעות שיטת ניוטון כדי לספק תנאים מסוף.
(ב) ,0) מרביל יורה ב-1:1: לחלק את האופק זמן לחלקים, לכפות תנאי המשכיות, ולפתור מערכת לא ליניארית גדולה יותר.
(ב) [ה]: [ה] [ה]], [ה], [ה], [ה], [ה],] [ה], [ה], [ה]]]], [התעלו] את המדינה ו[התעלות] את המסילות בנוגע להחלפת הדרגות [שלנות] ולאכיפה משוואות שונות כמגבלות אל-על-על-על-לב.

שיטות ישירות

בעוד לא רק וריאציות, שיטות ישירות גם לעקוב אחר השורשים שלהם לחשבוונות של וריאציות. הם מרתיעים את השליטה ולפעמים משתנים המדינה, המרת בעיית הבקרה האופטימלית לתוך בעיה לא ליניארית (NLP).ה- NLP הוא אז נפתר באמצעות אלגוריתמי אופטימיזציה סטנדרטיים (למשל, תכנות קווסטימי). שיטות ישירות קל יותר ל ראשונית ולטיפול במגבלות חזקות יותר מאשר שיטות, אך לא ניתן לספק ישירות באמצעות אלגוריתמים (למשל, אך לא ניתן לספק את העלות).

דוגמה: קואר Quadratic Regulator (LQR)

(הופנה מהדף ⁇ ) ⁇ (LQR) (הופנה מהדף ⁇ =Ax + Bu ו- quadratic CostFLT:0JioFLT=ABT) ⁇ (xTQx + uTRu) dt, עם Q ⁇ 0 ו- R > 0.HLT=R=R=L2HFrea=L=L=L=L=I=I=I=L=I=I=L=I=I=I=I=I=I=I=L=L=I=L=L=T=L=I=I=L=L=L=L=I=I=I=L=T=L=L=I=L=T=T=L=I=I=I=I=I=T=I=I=I=T=T=T=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=I=L=I=I=I=I=I=I=I=I=LTRI=I=I=I=I=LTR

למדריך מקיף על LQR וחיבורו לעיון וריאציות, (FLT:0Stanfordford's EE363, מספק טיפול מעמיק יותר.

עקבו אחרי Variational Optimal control

Ine Quality Constraints on Controls

כאשר השליטה כבולה, המצב ⁇ FLT:0HoriFLT ( 1/ ⁇ u=0) אינו יכול להניב פתרון אפשרי, במקום זאת, כ- PMP, השליטה האופטימלית מצמצם את ההמילטון על הסט הנימוק.זה מוביל למסגרות אפשריות: מפץ-באנג (שם אתה קופץ בין גבולות) או קשתות יחיד (שם ⁇ F:2: 3) ו-HbspamcendiOberumerlánme=aphi) דורש תנאים אופטימליים (Olánmel)

המונחים: inequality Constraints

מגמות על המדינה, כגון x(t) ⁇ x max, הן מורכבות יותר. שיטות שונות לטפל בהם על ידי הגדלת Lagrangian עם מכפילים נוספים (או באמצעות גישה להגשת עונש). הפתרון עשוי לכלול קשתות מגע שבו החסימה פעילה, ואת העלות עשויה להיות תנאי קפיצה בעתות כניסה /exit.

תנאי טרמינל חינם ושקיפות

אם הזמן האחרון tFLT:0 (הראשונה) הוא חינם, מצב נוסף חל: ההמילטון בזמן הטרמינל חייב לספק את FLT:2HigFLT 3:(tph:4fcioFLT:5) = ⁇ / ⁇ / ⁇ FLT:6fph 7 (או יחס דומה).

יתרונות ומגבלות של שיטות שונות

יתרונות

(FLT:0Rigorous Optimality ConditionsFLT:1): שיטות שונות מניבות תנאים הכרחיים שניתן לבדוק באופן אנליטי או מספרי.הם מספקים תובנה למבנה הפתרון האופטימלי (למשל, החלפת פעמים, קשתות ייחודיות).
(FLT:0) הסתברות לבעיות לא ליניאריות: שלא כמו כלי תכנון בקרה ליניאריים, שיטות וריאציות יכולות להתמודד עם דינמיקות לא לינאריות ועלות לא קודרטיות, כל עוד ניתן להסיק ולפתור את התנאים הדרושים.
(FLT:0)Costate InformationigFLT:1: למשתנים התואמים λ(t) יש פרשנויות כלכליות (מחירי צל) בהקצאת בעיות משאבים ואנליזה רגישות בהנדסה.
(FLT:0) ,Unified FrameworkeurFLT:1: אותם עקרונות וריאציות תחת שדות רבים: מכניקה (Lagrangian / Hamiltonian), כלכלה (צמיחה מושלמת), ופיסיקה (עקרון פעולה מינימלי).

הגבלות

(FLT:0 Two-Point Boundary Value Problem hardycioFLT:1): Solving the TPBVP הוא מאוד רגיש לנחשים ראשוניים.עבור מערכות לא לינאריות מאוד, שילוב מספרי עשוי להיכשל כדי לא להתאסף.
(ב) (ב): שיטות עקיפות דורשות פתרון משוואות שונות עם תנאים לא ידועים בגבולות, לעתים קרובות מוביל ל-aerative non-Limit-מציאת שורש זה בקנה מידה לא נעים עם ממד.
(ב) ⁇ :0) מחויבויות עם נתיב קונטרקטומב"ד:1: מגבלות המדינה ומגבלות מעורבות יכולות להציג קשתות ייחודיות ומבנים מעבר מורכבים שקשה לנחש קודם לכן.
(ב) [ה]: [ה] [ה]] [ה]]: התנאים הדרושים הם מקומיים; עם בעיות שאינן קונבוקס, קיימים פתרונות רבים, והשיטה עשויה לתכנס לקיצוניות תת-אופטימית.

למרות מגבלות אלה, שיטות וריאציות נשאר חיוני לניתוח תיאורטי ודירוג.הם מספקים עמוד השדרה המתמטי עבור גישות תכנות ישיר ודינמי.פ.:0Wikipedia מאמר על שליטה אופטימלית מציע פרספקטיבה רחבה על שיטות הפתרון השונות של ההרחבה 1.

הרחבות ויישומים מודרניים

Robust ו-Stochastic Optimal control

שיטות שונות הורחבו לבעיות עם אי ודאות. בשליטה אופטימלית סטורית, פונקציית העלות היא ציפייה, והמערכת מונעת על ידי תנועה בראוניאן.המילטון-ג'קובי-Bellman (HJB) משוואה נובעת מתכנות דינמיות, אך ניסוחים וריאציות (עקרון מקסימלי stochastic) מספקים נתיב חלופי.

שליטה חלקית של אקוציות שונות (PDEs)

כאשר המדינה נשלטת על ידי PDE (למשל, משוואה חום, Navier-Stokes), שיטות וריאציות הופכות חיוניות.התפקוד עלות כרוך אינטגרליים על פני שטח וזמן, והתנאים הדרושים מובילים ל- pDEs כי יש לפתור לאחור בזמן. מסגרת זו משמשת באופן נרחב בשליטה זרימה נוזלית, אופטימיזציה מבנית, עיבוד תמונה.

Reinforcement Learning and Machine Learning

אלגוריתמים מודרניים ללמידה (RL) לשליטה מתמשכת, כגון שיטות ביקורתיות של השחקן, משתמשים באופן בלתי נמנע בגישות מבוססות ⁇ שניתן לקשר לשליטה אופטימלית וריאציות.המשפט ⁇ המדיניות הוא אנלוגי לניתוח הרגישות הנגזר ממשוואות עלות. וריאציות. קידודים אוטומטי והובלת אופטימלית לחלוק שורשים מתמטיים עם חישוב של וריאציות.

יישומים בחלל וברובוטיקה

הדרכה טילים, אופטימיזציה של מטוסים, ותכנון תנועה רובוטית מסתמכת רבות על שיטות וריאציות.לדוגמה, בעיית הרקטות Goddard (מקסימום גובה נתון דלק) היא מקרה מבחן קלאסי עבור שיטות עקיפות.

עבור הקוראים המעוניינים ביישום מעשי, (FLT:0) זה GitHub repository מרפא הדרכות ודוגמאות קודים: פתרון בעיות בקרה אופטימליות עם שיטות ישירות ועקיפות.

שיקולים מעשיים לשימוש בשיטות שונות

כאשר החלת שיטות וריאציות לבעיה של שליטה אופטימלית בעולם האמיתי, על מתרגלים לשקול את השלבים הבאים:

(FLT:0)Model FormulationFLT:1: ברור להגדיר את המשתנה של המדינה, שליטה קלטות, דינמיקות, ועלויות פונקציונליות.להבטיח שהדינמיקה חלקה מספיק עבור הבחנה (או שימוש בניתוח לא-מותא במידת הצורך).
(ב) [ה]הסבר: [ה] [ה] [ה]] אם הבעיה כוללת מגבלות שליטה, מגבלות מדינה או מגבלות מסוף.זה קובע אם מצב אופטימליות הוא ⁇ FLT:2HFLT 3:2HFLT 3:/ ⁇ u= 0 או מינוס H מצב.
(ב) [ה]: [ה] [ה]] [ה]] [ה]] [ה]]] [ה'] [ה']'[ה]']'[ה']'[ה']'[ה]'[דרושה]'], [ה'[ה']'[ה']']'[ה']']']'[ה'[ה'[ה']']'[ה']'[ה'[ה']']'[ה'[ה'[ה'[ה'[ה'[ה']']']'[ה'[ה']'[ה']']']']'[ה']']'[ה'[ה'[ה'[ה']']']']']'[ה'[ה']'[ה'[ה'[ה'[ה']']']'[ה'[ה']'[ה'[ה'[ה'[ה']'[ה']']'[ה'[ה']'[ה'[ה'
(FLT:0) בחירת פתרון שיטת מבחן 1:1: עבור בעיות בעלות ממדים נמוכים, שיטת ירי עקיף עם ניחוש ראשוני טוב יכול להיות יעיל. עבור ממדים גבוהים יותר או מגבלות מורכבות, מיקום ישיר (למשל, שימוש בתוכנה כמו CasADi או AC ⁇ ) הוא לעתים קרובות יותר חזק.
(FLT:0)Validate OptimalityFLT:1: לאחר קבלת פתרון מועמד, ודא כי המילטון מצמצם את נקודת המוצא (אם PMP חל) ובדוק תנאים הזמנה שנייה (convexity of the Hamiltonian) כדי לאשר את האופטימליות המקומית.

הבחירה בין שיטות עקיפות ופנימיות תלויה במאפיינים של הבעיה ובכירות של המשתמש במשוואות שונות.מספר רב של ספריות מודרניות, כגון FLT:0the Association for Computational Optimal control's pageofFLT:1, לספק הפניות השוואתיות.

מסקנה

שיטות שונות מספקות מסגרת מתמטית קפדנית ואלגנטית לפתרון בעיות שליטה אופטימליות.על ידי הפיכת אופטימיזציה הדינמית לחשבונית של בעיות וריאציות, הם מניבים תנאים הכרחיים - משוואות אוילר-Lagrange, ניסוח המילטון, ו- Pontryagin's מקסימום Principle - אשר מנחה את החיפוש עבור חוקי בקרה אופטימליים.למרות האתגרים חישוביים הקשורים לפתרון בעיות גבול שני נקודות, שיטות ניתוח בלתי-סביר להניח, המשך, הם ממשיכים לטפל בפרמטרים הכרחיים של שיטות מחקר, ופתרונות מודרניים, הם ממשיכים להיות מופץ, הם ממשיכים להיות ברורים, כמו גם שיטות מחקר, כמו גם שיטות מחקר אופטימחדש, הם ממשיכים להיות מופץ, כמו גם שיטות מחקר אופטימחדש, כמו שיטות מחקר, הם ממשיכים להיות מופץ, הם ממשיכים שיטות מחקר אופטימחדשניים, אך ורקמותרפיסטאלימה, הם ממשיכים שיטות מחקר, כמו גם שיטות מחקר יעיל יותר ויותר, הם ממשיכים שיטות מחקר שיטות מחקר מתקדמות, כמו שיטות מחקר, בניגוד לאתגרים, הם ממשיכים שיטות מחקר אופטימחדשניים, הם ממשיכים שיטות מחקר אופטימחדשניים, כמו גם שיטות מחקר שיטות מחקר, הם ממשיכים שיטות מחקר, בניגוד לאתגרים, הם ממשיכים שיטות מחקר יעיל יותר ויותר, הם ממשיכים שיטות מחקר אופטימחדשניים, הם ממשיכים שיטות