מבוא ל- Nyquist Plots in Control Engineering

מזימה Nyquist היא אבן הפינה של ניתוח תדירות-דומיין בהנדסה שליטה, המציע שיטה גרפית להעריך את היציבות ואת הביצועים של מערכות משוב שפותח על ידי הארי Nyquist בשנות ה -30, אלה ממפה את התגובה התדירות של מערכת & #8217;s פתוח-loops פועל תהליך העברה של ניקוד:0G(s)Hs) LT:1 על המטוס המורכב.

במדריך מורחב זה, אנו נבחן את הפרשנות של גודל ושלב במזימה Nyquist בעומק.We מכסה את המתמטיקה הבסיסית, קריטריונים של יציבות מעשית כגון קריטריון יציבות Nyquist, וכיצד להפיק שולי רווח ורווחי שלב ישירות מן העלילה.בנוסף, אנו נשוחח על התאמות שגויות נפוצות, הקשר בין Nyquist ו Bodes, ולספק טיפים מעשיים כדי ליישם ידע אמיתי על ידי תרחישים מהימנים, יש לך הבנה מעמיקה של הנדסה.

יסודות ה-Nequist Plots: Polar Representation of Frequency Response

מזימה Nyquist היא למעשה חלקת הקוטב של הפונקציה המורכבת:0 (G(j ⁇ )H(j ⁇ )H(j ⁇ )FLT:1 כפי שתדירות ⁇ משתנה מ 0 ל ⁇ . בספרי לימוד רבים, העלילה Nyquist כוללת גם את החלק הסימטרי לתדרים שליליים, מה שהופך את קו מתאר סגור.

מבחינה מתמטית, עבור תדירות נתונה, הפונקציה העברת ה-Open-loop המוערכת ב-FLT:0s = j ⁇ FLT:1 מניב מספר מורכב:

(ב) ⁇ (ב) ⁇ (ב) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

כאן, (ב) ⁇ (ב) ⁇ (ה) ⁇ (ה) ⁇ ⁇ ⁇ ) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ) ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

אחד הפרשות מפתח: מיזמים ניאקיט מבולבלים לעתים קרובות עם מזימות הקוטב או מכסות; בתחומים אחרים; בתחומים אחרים. בהנדסה שליטה, העלילה Nyquist מתייחסת במיוחד לתגובה התדירות של הפונקציה העברת הפתוחה-loop המשמשת לניתוח יציבות באמצעות קריטריון Nyquist. זה לא רק חלק של מערכות מאוישות בהנדסה חשמלית (למרות מושגים דומים).

היכרות עם Magnitude in Nyquist Plots

הגודל בתדירות נתונה מצביע על כמה המערכת מגברה או מעצימה קלט סינוסי בתדירות זו.במזימה Nyquist, הגודל הוא המרחק הרדיוארי מן המקור.עבור נקודה בקואורדינטות (x, y), הגודל הוא מ"ר (x2 + y2). כמות זו ידועה גם כרווח של מערכת פתוחה-loop.

גודל גדול יותר מ-1 אומר שהמערכת מספקת הדגימה בתדירות זו; גודל פחות מ-1 אמצעי העצמה.הנקודה הקריטית לניתוח יציבות היא הגודל של התדירות שבה השלב חוצה -180 מעלות (תדירות המעבר) בתדירות זו, הגודל שווה לקצב הרווח.

קבלו את Margin from Nyquist Plot

רווח שולי (GM) הוא מדד יציבות מפתח.זה מוגדר כגורם שבו ניתן להגדיל את הרווח לפני מערכת ה-Open-loop הופכת לבלתי יציבה.במזימה Nyquist, שולי הרווח הוא יחסית הפוך לגודל של תדר המעבר בשלב ( ⁇ pc), שבו השלב הוא -180°.

[01:0] , [=]=1/G(j ⁇ pc)H(j ⁇ pc)

על העלילה, זה מתאים המרחק מנקודת שבו העקומה חוצה את הציר האמיתי שלילי לנקודה הקריטית (-1, 0) אם העקומה חוצה את הציר האמיתי שלילי -0.5 (הידועה 0.5), הרווח הוא 2 (או 6 dB) אם הוא חוצה -2 (magnitude 2), הרווח הוא 0.5, המציין את המערכת כבר לא יציבה.

כדי לדמיין, לדמיין את העלילה Nyquist מתקרב לנקודה 1.האורכו של העקומה מגיע ל-1, שולי הרווח הקטנים יותר.אם העקומה encircles או נוגעים 1, מערכת ה- Close-loop היא יציבה למחצה או בלתי יציבה.

מגוינטד בתדירות שונה

מעבר לפסטור שלב, הגודל בתדרים נמוכים (רווחים) חשוב דיוק יציב של המדינה.רווח גבוה מקטין את השגיאה של מצב יציב עבור קלטות צעד, אבל זה עשוי גם להשפיע על יציבות שולי אם לא לפצות. הגודל בתדרים גבוהים מתגלגלים עקב קטבים, ולכן מערכות מתאימות בהחלט נוטה למקור כמו ⁇ m.

בפועל, מהנדסים לעתים קרובות overlay מעגל יחידה (magnitude = 1) על העלילה Nyquist. את הצומת של עקומת Nyquist עם מעגל יחידה זה נותן את התדר חוצה ( ⁇ gc) - תדירות שבו הגודל שווה 1. זהה ל-1. תדירות זה משמש כדי שולי שלב מותש.

שלב ההתערבות ב- Nyquist Plots

שלב במזימה Nyquist מיוצג על ידי זווית של הווקטור מן המקור לנקודה על העקומה, נמדד מן הציר האמיתי החיובי. שלב חיובי. שלב חיובי פירושו הפלט מוביל את הקלט (סיבוב דו-צדדי), בעוד שלב שלילי פירושו פלט lags (סיבוב השעון החכם). עבור רוב המערכות הפיזיות, שלב גלג שולט, במיוחד בתדרים גבוהים עקב עיכובים בזמן ופולטים.

הערך החשוב ביותר הוא -180 מעלות (או - ⁇ קורננס) כאשר השלב מגיע -180 מעלות, המשוב הופך חיובי אם הגודל הוא גם גדול מספיק, המוביל לאי יציבות.תדירות שבה השלב הוא -180° נקרא תדר המעבר בשלב ( ⁇ pc) בתדר זה, עקומת Nyquist חוצה את הציר השלילי.אם המעבר הזה מתרחש משמאל 1 על ציר אמיתי (כלומר, 1) אם המערכת יציבה, אם הוא יציב (כלומר, כלומר, כלומר, 1), אם המערכת יציבה, אם המערכת).

שלב מרג'ין - Nyquist Plot

שולי שלב (PM) הוא שלב נוסף הנדרש כדי להביא את המערכת אל סף חוסר יציבות (כלומר, להגיע -180 מעלות בשלב בתדירות ה- Cover לצבור), זה נמדד בתדירות שבה הגודל שווה 1 (תדירות מעבר, ⁇ gc) על משטח Nyquist, שולי השלב הוא זווית בין ציר אמיתי לקו מן המקור לרמה המדויקת (אך ורק בשלב העיגולים), אם הוא פוגש את הזווית בין הזווית השלילית (Nit) בזווית).

(ב) ⁇ =0=0=0=0=0=0=0=0=0.10.10.10.10.10.10.10.

לדוגמה, אם העקומה מנטרת את מעגל היחידה בשלב של -135 מעלות, שולי שלב הוא 45 מעלות. A שלב שולי פחות מ 45 מעלות מציין מערכת עם פתרון משמעותי יתר על פני השטח בתגובה; מרווח שלב קרוב ל-0 מעלות פירושו קרוב ל- 0 מעלות פירושו קרוב ל-FLT:0 הנדסה טובה תרגול בדרך כלל נועד עבור שלב בין 45 מעלות ל-75 מעלות.

כדי למצוא את שולי שלב ממזימה Nyquist ישירות, לצייר מעגל של רדיוס 1 במרכז המקור. שבו עקומת Nyquist חוצה את המעגל הזה (לראשונה, בדרך כלל), למדוד את הזווית מן הציר האמיתי שלילי לנקודה זו.זה שולי שלב.רבים כלי עיצוב בקרה באופן אוטומטי לחדד אותו.

קריטריון הניקוויסט: מ Encirclements to Stability

הקריטריון של יציבות ניאקיט הוא התכונה החזקה ביותר של העלילה Nyquist. זה מתייחס ליציבות של מערכת הסגורה-loop לנקודות הקריטיות (-1, 0) על ידי העלילה Nyquist של הפונקציה העברת הפתוחה G(s)H(s)H(s) , חשבונות הקריטריון עבור קטבים פתוחים במטוס הימני (R) הפורמלי: הצהרה רשמית: הצהרה רשמית:

(ב) ב[[1924]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]], [[1924]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]]], [[1924]]]]]]]]

בפועל, אם מערכת Open-loop יציבה (P=0), המערכת יציבה אם מזימה Nyquist אינה encircle 1.If the Plot encircles-1 שעון חכם, המערכת אינה יציבה.אם היא encircles 1-נגד-שעון, היא יציבה רק אם יש מספר שווה של מוטות RHP.

חשוב להשתמש בכיוון הנכון: העלילה של ניאקיט בתדרים חיוביים היא רק מחצית מהקונוס; מהנדסים בדרך כלל להשלים את העלילה על ידי מראה תדרים שליליים כדי ליצור לולאה סגורה.ה ⁇ נספרים עבור קוטור סגור לחלוטין.עבור מערכות מעשיות ביותר (ללא מוטות RHP), פשוט לבדוק אם 1 שקרים לשמאל או ימין של עקומת Nyquist כפי שעולה הוא מספיק, עם מחסנים, עם מחסנים של 1F, עם דוגמאות מפורטות, ניתן למצוא את ה-41, או ⁇ .

קריאה של Encirclements from the Plot

כדי לקבוע encirclements, לצייר קו מנקודת 1 בכל כיוון; לספור כמה פעמים עקומת Nyquist חוצה את קו זה.הכיוון (שעון או נגד השעון) קובע את השלט. לחלופין, אתה יכול להשתמש בציטוטים נפשיים; מספר מתפתל; גישה.עבור מערכת פשוטה ללא מוטות RHP, המצב הוא כי אין צורך לקבוע את העלילה של Nyquist צריך להיות 1 בצד השני של התדירות של זה, כאשר אתה צריך לחצות את התדירות של בכיוון אחד, כלומר, כלומר, במקום אחד, במקום אחד, כלומר, במקום אחד, במקום אחד, במקום אחד, זה.

ניתוח מעשי: שילוב Magnitude ושלב שימוש ב- Nyquist Plots

בעוד בודה מאגדת גודל נפרד ושלב, לוחות Nyquist להראות בו זמנית, אשר שימושי עבור הדמיה של איך רווח ושלב אינטראקציה. לדוגמה, כאשר עיצוב של מחוקק, אתה יכול לראות כיצד הוספת רשת מובילה משנה את עקומת Nyquist לכיוון הנכון (החליפה שלב שולי) תוך הגדלת גודל.

קבל ושלב מרג'ינס מ-One Single Plot

אחד הערכים המעשיים הגדולים ביותר של העלילה של Nyquist הוא שאתה יכול לקרוא הן שולי רווח והן שולי שלב ממנו, בתנאי שאתה מכיר את מעגל היחידה ואת הציר האמיתי שלילי.

  1. לזהות את הצומת של עקומת Nyquist עם ציר אמיתי שלילי (phase = -180 מעלות) גודל בנקודה זו נותן שולי הרווח כפי שתואר קודם לכן.
  2. לזהות את הצומת עם מעגל יחידה (magnitude= 1), זווית הנקודה (ממונה מהציר האמיתי החיובי) נותן את שולי השלב: PM = זווית + 180 מעלות (אם זווית היא שלילית).
  3. אם עקומת Nyquist אינה משנה את מעגל היחידה (הגודל לא שווה 1), אז המערכת יש שולי שלב אינסופיים, אבל עדיין צריך לבדוק רווח שולי.

(ב) ⁇ :0 (הידוע: 1) עבור מערכות עם מעברים מרובים, המעבר הקריטי ביותר קובע את שולי.תמיד לבדוק את המעבר הקרוב ביותר לנקודה 1.

מלכודות נפוצות ב Interpreting Nyquist Plots

  • (FLT:0) מעלות וקטורים שלב: ⁇ 1) זכור כי אורך הווקטור הוא גודל; זווית היא שלב. Novices לעתים קרובות מטעה את המרחק אל הציר האמיתי כגודל.
  • (FLT:0) שימוש רק בתדירות חיובית:FreaLT:1) קריטריון היציבות דורש את כל קוטור, כולל תמונת המראה של תדרים שליליים.כלי תוכנה רבים רק להראות את ענף התדר החיובי; עליך להשלים מבחינה מנטלית את הלולאה סגורה.אם העלילה היא בתדרים שליליים, הוא סימטרי לגבי הציר האמיתי.
  • (FLT:0) אבחון של קוטבי פתוח על ציר דמיוני: מערכות 1FLT עם אינטגרטורים (פולים ב -40) לגרום למזימה Nyquist ללכת לאינסוף בתדרים נמוכים.
  • (FLT:0) עיכובים בזמן צפייה: 1FLT:1 עיכובים זמן להוסיף שלב נוסף lag ללא השפעה על גודל.זה יכול לגרום למזימה Nyquist לספירלה פנימה, שעלולה לגרום לאי יציבות בתדרים גבוהים.

שימוש בכלי תוכנה לניתוח Nyquist Analysis

עיצוב בקרה מודרני מבוצע באמצעות כלים חישוביים כגון MATLAB, Python (ספריית בקרה), או (FLT:0SlabFLT:1 ; כלים אלה מייצרים מיזמים באופן אוטומטי ויכולים למקם רווחים ורווחי שלב עם פקודה אחת; עם זאת, הבנת הפרשנות הבסיסית היא חיונית לאמת תוצאות ופתרון בעיות בלתי צפויות.

חידושים של Nyquist Plots to Bode Plots

(החלות של Nyquist ו-Bode הן משלים.Bode Plots לספק מידע ברור על גודל ושלב בנפרד על טווח תדר רחב, מה שהופך את זה קל יותר לזהות שיאי החזרה, שערי רול-off, ותאריכי צלב. ⁇ מחסנית כל מידע תדירות לתוך משטח אחד, תוך הדגשת הנקודה הקריטית 117, לעתים קרובות להשתמש הן: להתחיל עם עיצוב של ממריצים, ואז אימות של נייטר זה עם גודל התדירות גבוהה יותר של נייטר (NF) עם התדירות גבוהה יותר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, 2.

נושאים מתקדמים: רגישות, רגישות משלימה, ודיסק מרג'ינס

בעוד שרווחי שלב הם מדדים מסורתיים, תורת הבקרה המודרנית משתמשת באמצעים נוספים כמו פסגות רגישות.המזימה של Nyquist יכולה לשמש גם כדי להפיק את תפקוד הרגישות FLT:0S(s) = 1/ (1 + (1 + 1) G(s) מזימה חלקית (S) FLT:1) הרגישות המקסימלית של LT:2Msph3 הוא המרחק המקסימלי של 1 / 1 / 1 / 1 + 1 / 1 / 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (G) ל-i) כלומר, 000) יש צורך בדרך כלל, 000 רמה גבוהה יותר, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000) פרמטרים, 000) של ⁇ , 000, 000, 000) ⁇ , 000) של ⁇ , 000, 000, 000, 000, 000, 000) ⁇ , 000, 000, 000, 000, 000, 000) ⁇ , 000, 000, 000, 000, 000) ניתן גם כן, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000) ניתן גם כן, 000, 000, 000, 000) ⁇ ) ⁇ , 000 ⁇ ) ⁇ ,

כדי למקם את שולי הדיסק ממזימה Nyquist, לדמיין דיסק ממוקד ב-1 עם רדיוס מסוים; אם עקומת Nyquist נשארת מחוץ לדיסק זה, המערכת יכולה לסבול כמות מסוימת של רווח וחוסר ודאות בשלב בו זמנית מבלי להיות בלתי יציב.

דוגמה מעשית: מערכת הסדר השני

נחשב לתפקוד פשוט של העברת פתיחות: FLT:0G(s)H(s) = 1 / (s(s + 1))) ⁇ FLT:1 (זאת מערכת מסוג 1 (אחד integrator) החלקה של ניקטור עבור תדרים חיוביים מתחילה על אינסוף כאשר ⁇ 0 (בשל הקוטב ב s=0), ואז ספירלה לעבר המקור בשלב גבוה, כלומר, כלומר, כלומר, בטווח של 1 עד ל-180 מעלות).

עכשיו לשנות את המערכת: להוסיף רווח של 5:0G(s)H(s) = 5 / (s(s +))) ⁇ FLT:1 [המזימה של Nyquist יהיה בקנה מידה של 5.הצומת עם ציר אמיתי שלילי עכשיו מתרחש בגודל 5 × (משהו גדול מ 1) - למעשה חציית המעבר הופכת 5 פעמים את גודל המעבר הקודם, אם המוצר עולה על 1, 000 זה לא יציב, 000 זה הופך להיות גדול יותר, כלומר, כלומר, כלומר, 000, 000, כלומר, הוא גדול יותר מטווח 1 של מערכת יחסים לא יציב, הוא גדול יותר מ-ה, הוא גדול יותר מ- 1 הוא גדול יותר מ- 1 הוא גדול יותר מ- 1 הוא גדול יותר מ- 1 עם גודל זה, 000, הוא גדול יותר מ- 1 של מערכת מעבר זה, 000, הוא גדול יותר מ 1 של מערכת מעבר זה, 000, 000, הוא גדול יותר מ- 1.

מסקנה: Mastering Nyquist Plot

שלב וגודל של מיזמים ניקוויקט הוא מיומנות קריטית עבור כל מהנדס שליטה.על ידי הבנת גודל זה המרחק הרדיוני מן המקור והשלב הוא זווית של ציר אמיתי חיובי, מהנדסים יכולים להפיק הן רווחים והן בשלב 1) ישירות מן העלילה.הקריטריון של יציבות ניקוויקט מספק שיטה חזקה כדי להעריך יציבות סגורה, אפילו עבור מערכות עם חוסר יציבות פתוחה.

(בקריאה נוספת, חקרו את המאמר המקורי של H. Nyquist, מכסת התחדשות; (1932), או ספרי לימוד מודרניים כמו FLT:0Modern Control EngineeringFLT:1 על ידי Ogata ו-FLT:2Feedback Control of Dynamic SystemsFLT על ידי פרנקלין, פאוול, ו- Emami-Naeini.