הקדמה: המורכבות הגוברת של מערכות בקרה

מערכות בקרה מהוות את עמוד השדרה של הנדסה מודרנית, השולטות בכל דבר ממניפולטורים רובוטיים וכלי רכב אוטונומיים לרשתות חשמל ופלטפורמות אוויריות מתפתחות.כפי שמערכות אלה דוחפות את גבולות הביצועים, הדינמיקה הבסיסית שלהן הופכת לא ליניארית וזוגית.

שם הסרטון: Lie Algebra: From Groups to Brackets

(ה) להעריך כיצד Lie algebraסימולציות של ניתוח מערכת הבקרה, חיוני להבין קודם כל מה Lie algebra הוא וכיצד הוא מתייחס לקבוצות Lie-AFLT:0Lie GroupFLT:1 הוא קבוצה שהיא גם חלק מ-"Livet", כלומר מתאר סינמטים רצופים רצופים רצופים, כגון סיבובים, תרגומים, או דרוג – שבו פעולות קבוצתיות הן שונות, לדוגמה, של קבוצה של כל אחד, של כל אחד, כלומר:

(ב) ויקרא י"ד): "וַיְהִיאוּ הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא הוּא

(ב) ויקרא י"ד): "וַיַּבְהַבְהַבְתָּבְתָּבְהַה עַל עַל עַל עַל עַל עַל עַל עַדְהַהְיִנָּבְתָּבְתַהַהַהְתּבְתּבְתּבְתּבְתּבְתּבְתּבְהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַבְתּבְתּבְתּבְתּבְבְתּבְבְהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַהַּבְּבְּבְתּבְּבְּב

תכונות אלה הופכות את הסט של כל שדות הווקטור על גבי מגבריות שקר אלגברה תחת תיאוריית Liecket. in control, הדינמיקה של המערכת מתוארת לעתים קרובות על ידי שדות וקטור חלק על מצב חד-משמעי.The Lie algebra שנוצר על ידי שדות אלה - מאויש על ידי נטילת כל ⁇ אפשריים תיקון מידע בסיסי על מה התנועה יכול להשיג.

יישום מערכת בקרה

בקרת גיאומטרי: שינוי בפרספקטיבה

ניתוח בקרה מסורתי מתבסס על לינאריזציה על נקודת הפעלה, שעובדת היטב עבור מערכות שהן ליניאריות מקומית.עם זאת, מערכות מודרניות רבות - כגון רובוטים מכווצים, בקרי גישה לווייניים, או רשתות ביוכימיות - הן לא ליניאריות חזקות שאינן יכולות להילכד על ידי מודל ליניארי יחיד. Lie algebra מאפשר גישה שרירותית של FLT:0geometrical FLT:1 לשלוט, היכן המדינה יכולה להיות מטופלת למקם את המהנדסים?

התשובות לשאלות אלה מתרפות לתכונות אלגבריות של Lie algebra שנוצרות על ידי שדות הווקטור של המערכת.

(ב) ⁇ =0= f(x) + ⁇ g i(x) u i,i ⁇ FLT 1

כאשר f הוא שדה וקטור סחף ו g i הם שדות וקטור קלט שליטה, האובייקט המרכזי של המחקר הוא Lie algebra L = Lie { f, g 1, g m â ¢ â ¢ â ¢ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇

המונחים: Lie Algebra Rank Condition

שליטה היא הנכס כי עבור כל שתי מדינות x 0 ו x 1, קיים רצף סופי של קלטות היגוי את המערכת מ x 0 ל- x 1 בזמן סופי. במערכות ליניאריות, השליטה נבדקת בקלות באמצעות מצב קלמן.עבור מערכות שאינן לינאריות, האנלוגיה היא ה-FLT:0Lie Algebra ConditionLTFalverse:1 (Ler i), הידוע גם הוא C-ix-ix-i-i-i-i-i-R) בכל מצב של מערכת הבקרה.

באופן אינטואיטיבי, ליבתים לייצר "כיוונים חדשים" שאינם זמינים באופן מיידי על ידי יישום קלט יחיד.לדוגמה, לשקול רובוט דמוי מכונית: זה לא יכול לנוע הצידה ישירות (מגביל לא הורמונלי), אבל על ידי שינוי תנועה קדימה והדרכה (כלומר, יצירת כיס של שני שדות וקטור), זה יכול להשיג מאוחר יותר עקירה דרך חניה מקבילים.

(FLT:0)Example:FLT:1 A פשוט לא הורמונלית integrator (מערכת של ברוקט) ניתן על ידי ⁇ = u 1, ⁇ = u 2, ⁇ = x u 2. 2. The סחף f=0, ואת שדות הבקרה הם g 1=0, y) ו g 2=0=0=1,1=x =0, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, כלומר, t 0 0 0 0 0.

אחריות ושקר דרביטיבציות

בדיוק כמו שקר אלגברה קובע שליטה, מבנה אלגברי קשור - מרחב התצפית המשתרע על ידי נגזרות Lie של פונקציות פלט - קובע observability. עבור מערכת עם פלט y= h(x), נגזרת של h לאורך שדה וקטור הוא L f = ⁇ h) f.ההגדרה של כל נגזרות חוזרות ונשנות L fkk, h k, h {i vize הוא ברמה מקומית.

שם הסרטון: Lie Algebra

אחת האפליקציות החזקות ביותר של Lie algebra בשליטה היא (FLT:0) לינאריזציה לינארית (FLT:1), שבו דינמיקות לא ליניאריות הופכות למערכת ליניארית באמצעות שינוי של לתאם משוב.המצב של לינאריזציה ו- Ix-1 ( ⁇ ) ללא קידוד חוזר (freamcre) ו-(n- gfream) אם הוא רק gn frete) {\displaystyle gfream (n freamtte)} ⁇ (n-(n)} ⁇ freamcreamcreamcream)} ⁇ (freamcreamcream)} ⁇ ( ⁇ (fream)} ⁇ (n-(fream)} ⁇ reamcream)} ⁇ (n-inte)} , אם הוא רק אם הוא רק אם הוא רק אם הוא ⁇ freamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcreamcream (n-(freamt

היתרונות של שימוש Lie Algebra בהנדסה

היתרונות של שילוב Lie algebra לתוך ניתוח מערכת בקרה הם תיאורטי ומעשי:

  • (FLT:0 שיטתי ניתוח של מערכות לא לינאריות:FreaLT:1 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇
  • (FLT:0) זיהוי של סינמטות וחוקי שימור: FLT:1 על ידי בחינת המבנה של Lie algebra, מהנדסים יכולים לזהות סינמטות בדינמיקה המערכת. ⁇ אלה ניתן לנצל כדי להפחית את ממד המרחב הממלכתי (באמצעות טכניקות הפחתה) או לתכנן בקרים כי משמרים בתוך השחלות, כגון אנרגיה או מומנטום במערכות רובוטיות.
  • (FLT:0) ניכוי בעיות מורכבות חישובים אלגבריים: FLT:1 במקום לפשט את המסלולים או לפתור משוואות שונות חלקית, תכונות שליטה רבות (שליטה, observability, לינאריות) להפחית כדי לבדוק את דרגת מטריצה שהערכים שלה הם כיסים לעתים קרובות יותר אמין יותר מאשר אינטגרציה מספרית, במיוחד עבור מערכות ממדיות גבוהה.
  • (FLT:0) של עיצוב בקרה גיאומטרי: קיד 1 (FLT:1) ברגע שמבנה Lie algebra מובן, חוקי בקרה יכולים להיות מעוצבים באמצעות כלים גאומטריים כגון לינאריזציה מדויקת, ניתוק לאחור, או שליטה במצב מלוטש.
  • (FLT:0) טיפול בלתי מזוהה של סימטריה רציפה ודיסקרטית: FLT: 1 Lie algebra הוא חלק מתיבת כלים מתמטית גדולה יותר הכוללת קבוצות Lie וייצוגים שלהם.זה מאפשר מהנדסי שליטה לטפל במערכות מתפתחות על קבוצות Lie (למשל, סיבוב מסובכות לשליטה בגישה, SE(3) לתנועות גוף קשיחות) באמצעות אותה מכונות אלגבריות.

יישומים מתקדמים ב- Engineering Domains

רובוטיקה: תכנון תנועה ומניפולציה

(אולי) היא הקרקע הפורייה ביותר עבור שיטות בקרה לי-אלגיות.מניפולטורים עם מפרקים מרובים יש חללים תצורה שהם מוצרים של קבוצות Lie-algebraic (למשל, S1 × S1 עבור זרוע של שני קישורים) רובוטי לינאריים ודינמיקה של מערכות כאלה מובעים באופן טבעי באמצעות ⁇ , במיוחד עבור משימות כגון:0inverseericineverseer 2, לדוגמה: Fvicials) אשר תחת תפקודם של IFolativelylation:

חלל ומרחבי-אוויר בשליטה

הגישה של החללית (האורנטימנטציה) מתפתחת בקבוצת Lie SO(3) (קבוצת אוטגוניות מיוחדת) וקטור המהירות הזוויתית חי ב- Lie algebra so(3). Control Laws forייצוב גישה, כגון משוב מבוסס quaternion או בקרת PD גיאומטרית, מסתמכ על המבנה של so(3) ועל ה ⁇ שלה.

אוטומציה וניהול תהליכים תעשייתיים

בתעשיות תהליכים, כורים כימיים רבים, עמודות זיקוק, ותהליכים אצווה להראות דינמיקות לא ליניאריות שניתן לינארי באמצעות משוב. החלת תנאים ליבתיים ליבתיים (פעולה ליניארית) לעתים קרובות מניב ביצועים גבוהים בהשוואה לשליטה המסורתית PIV, במיוחד במערכות עם הפיכה חזקה ולא לינאריות.יתר על כן, על ידי ניתוח של Lie- אלגברה של התהליך, מהנדסים שיכולים לקבוע תפוקה פיזית, מיקום עיצובי.

רכבי תת-קרקעי וד'רונים

כלי רכב תת-ימיים אוטונומיים (AUVs) ו quadrotors הם מערכות מגובשות הפועלות בשלושה ממדים.משוואות התנועה שלהם כרוכות לעתים קרובות בקוריוליס ובמונחים צנטריפטאליים שעולים מה ⁇ של מהירויות תרגום וסיבוביות. Lie algebra מספקת דרך עקרונית להפיק תנאי שליטה עבור מערכות אלה, במיוחד כאשר הפרעות חיצוניות או נוכחיות הן עבור רחפנים גיאומטרידים, הפך להיות על בסיס סטנדרט של התעשייה התקינה.

הגבלות ושיקולים

למרות כוחו, לי אלגברה אינה תרופת פאן לכל בעיית שליטה.

  • (FLT:0) מורכבות חישובית: FLT:1 The Lie algebra שנוצר על ידי שדות וקטורים N יכול לגדול מהר מאוד. עבור מערכות בעלות ממדים גבוהים, מחשוב כל הליקויים האפשריים עד הזמנה מסוימת עשוי להפוך בלתי-מעורר, במיוחד אם אלגברה סמלית נדרשת.
  • (FLT:0) תוצאות מקומיות לעומת תוצאות גלובליות: FLT:1 רבים תנאים ליבתים, כמו LARC, לספק שליטה מקומית (בשכונת נקודה) עבור שליטה גלובלית, תנאים נוספים מעורבים הטופולוגיה של המדינה מאניפל ואת שדה וקטור סחף יש צורך.
  • (FLT:0) singularities: FLT:1 דרגת Lie algebra יכול לרדת בנקודות מסוימות (singularities), מה שהופך את התנאים שאינם גנריים. בפועל, קלטות שליטה לא יכול להיות מסוגל להתגבר על הייחודיות האלה, המוביל לאובדן של שליטה או לינאריות.
  • (FLT:0) התלות שלModel:FLT:1 ) תוצאות לי-אלגברהיות תלויות מאוד דיוק של מודל המערכת.אם השדות לא ידועים בדיוק (בשל פרמטרים לא בטוחים או דינמיקות לא מתוכננות), התנאים הופכים לא אמין.

כיוונים עתידיים ב Lie Algebra and control

השימוש ב Lie algebra בשליטה הוא רחוק מבוגר.כמה כיוונים מחקר פעילים להבטיח להרחיב את אמינותו:

  1. (FLT:0) מונחה על ידי Lie algebra:FreaLT:1 עם עליית למידת מכונה, החוקרים מפתחים שיטות ללמוד את מבנה Lie algebra מהנתונים, מבלי לדרוש מודל מפורש.זה יכול לאפשר שליטה גיאומטרית עבור תיבות שחורות או מערכות ידועות חלקית.
  2. (FLT:0) שיטות אלגבריות עבור שליטה קוונטית:FLT 1 במערכות קוונטיות, הדינמיקה מתוארת על ידי מפעילי יחידה המתפתחים בקבוצות Lie (למשל, SU(N)) טכניקות Lie algebra כבר משמשים לאפיין את יכולת השליטה ועיצוב הדופק עבור שערי הקוונטים, ואזור זה צפוי לגדול עם התקדמות מחשוב קוונטי.
  3. (FLT:0) אינטגרציה עם אופטימיזציה ושליטה אופטימלית: אנדרל 1 (אנ') כלים גאומטריים שונים, כולל Lie algebra, משולבים עם אלגוריתמים אופטימיזציה של קבוצת Lie, אופטימיזציה של הקבוצה, Riemannian) כדי לפתור בעיות שליטה אופטימליות על פי רובטי, כגון מסלולים מינימליים עבור מערכות רובוטיות.
  4. (FLT:0)Distributed שליטה ברשת: ⁇ FLT:1 במערכות מרובות-agent, הטופולוגיה אינטראקציה ניתן מודל באמצעות תורת גרף, אבל הדינמיקה של סוכנים בודדים לעתים קרובות מתפתח על קבוצות Lie algebra יכול לעזור לנתח את יכולת הבקרה והסנכרון ברשתות של רובוטים, לווינים או כלי רכב אוטונומיים.

מסקנה: דרך מבנית באמצעות מורכבות

Lie algebra מציעה מהנדסי שליטה עדשות קפדניות, אלגבריות שבאמצעותן השפה הבלתי פוסקת של משוואות שונות לא ליניארית הופכת למערך מנוהל של תנאים, בדיקות לינאריות, ו invariants גיאומטריים. על ידי לכידת הסימטיפים האינסופיים של מערכת, היא מספקת דרך שיטתית לענות על שאלות יסוד - האם זה יכול להיות נשלט על מסגרת ליניארית ללא כל תהליך אפשרי, אפילו על ידי בקרה מתמטית, ללא מגבלות על ידי שימושיות, ללא מגבלות טכניות, אופנים, ללא מגבלות על פני כל אפשרות?

(בקריאה נוספת, עיין בהערות סטנדרטיות כגון FLT:0Lie algebra על ויקיפדיה FLAC) עבור היסודות המתמטיים, ספר הלימוד הקלאסי FLT:2 Nonlinear Systems by Alberto IsidoriFLT 3 עבור טיפול יסודי בתנאים ליבתיים, וגישה גיאומטרית לשליטה לא ליניארית:5 עבור בדיקה גיאומטרית של ביקורת גיאומטרית.