Introduzione

Le funzioni di Green si collocano tra i più potenti costrutti matematici per risolvere equazioni differenziali lineari nell’ingegneria elettromagnetica, convertendo un’equazione differenziale con un termine sorgente in un’equazione integrale, consentendo agli ingegneri di isolare l’effetto di una sorgente di punto e quindi sovrapporsi ai contributi da fonti arbitrarie.

Le funzioni di Green[[] appaiono in quasi ogni ramo dell'ingegneria elettrica: sono utilizzate in elettrostatici, magnetostatici, teoria dell'onda guidata, diffusione e propagazione dell'onda armenonica temporale. La loro potenza sta nel separare l'operatore dalle condizioni di confine, permettendo la stessa soluzione fondamentale per essere riutilizzato per molte distribuzioni di origine.

Che cosa è una funzione verde?

Formalmente, la funzione del verde ]G[][[[]]r[]], ]]]r]]]]]]] di un operatore differenziale lineare L è la soluzione di

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Questo principio di sovrapposizione è il cuore del metodo. Fisicamente, [G[]] descrive come un impulso unitario ad un punto “propaga” attraverso il mezzo per influenzare il campo in un altro punto.

Nell’elettromagnetismo, l’operatore L può essere il Laplacian (per campi statici), l’operatore Helmholtz (per campi temporali-armonica), o la forma diadica dell’equazione dell’onda vettoriale.

Fondazione matematica delle funzioni di Green

Operatori differenziali e congiunti

Per un operatore autonomo, in base alle condizioni di confine indicate, la funzione del Green è simmetrica: G]r, ]] ]]]] [[FLT-10]][Seguite]]

Rappresentanza integrale

Una volta G]]] è noto, la soluzione a un problema di valore limite è espressa come

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I conti integrali di superficie per le condizioni di confine: se u] è noto sul confine (condizione Dirichlet), si sceglie G che scompare sulla superficie; se il normale derivato è conosciuto (Neumann), si sceglie G] i cui dati normali derivano

Tipi di condizioni di boundary

  • Dirichlet:[]] funzione u]] specificata sul confine. La funzione del verde GD]]]]]] è impostata a zero sul confine.
  • Neumann:] derivato normale ∂u]/∂]n] specificato. La funzione totale del verde G]]N[[FLT] ha chiuso la condizione di consistenza normale
  • Robin (mixed):] una combinazione lineare []a u + b] ∂]]]] ]/∂]n

L'attenta scelta della condizione di confine per G[]] è fondamentale; determina se la superficie integrali semplifica e se la soluzione può essere espressa esclusivamente in termini di termine sorgente.

Applicare le funzioni di Green ai problemi elettromagnetici

Scalar Helmholtz Equation

Per i campi elettromagnetici temporali (e−iωt) in un mezzo lineare, isotropico, omogeneo, il potenziale scalare o un singolo componente del campo possono soddisfare

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dove k] = ω√(με) è il numero di onda. La funzione di Green free-space per questo operatore è

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Questa funzione rappresenta il campo da una sorgente di punto che irradia in uno spazio non legato, ed è la base su cui sono costruite tutte le funzioni di Green, quelle per gli spazi semi-spazi, i media strati o le regioni chiuse.

Vector (Dyadic) Funzioni di verde

Le equazioni di Maxwell sono intrinsecamente vettoriali. Il campo elettrico [E[] da una distribuzione elettrica corrente J] soddisfa l'equazione dell'onda vettoriale

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Le funzioni di Dyadic Green sono essenziali per l'analisi rigorosa dell'antenna e dello spargimento, soprattutto in presenza di interfacce materiali. Esistono forme standard per i supporti a strati planari (spesso espressi tramite gli integrali di Sommerfeld) e per i confini sferici o cilindrici.

Applicazioni elettromagnetiche comuni

  • Radiazioni di Antenna[] – Compiti i modelli di campo lontano dalle distribuzioni correnti arbitrarie utilizzando la funzione di Green diadico di spazio libero.
  • Eccitazione della guida della neve[[[] – Espansioni modulari tramite forme di autofunzione della funzione del verde (ad esempio, guida d'onda rettangolare).
  • Scattering da oggetti[[] – Equazioni integrali del volume o della superficie costruite dalla funzione di Green di sfondo.
  • Circuiti di microstrip[[] – Utilizzo della funzione di Green a strati esatti in un metodo di moments (MoM)
  • Problemi elettrostatici / magnetostatici[[] – L'equazione di Poisson risolta attraverso la funzione statica del verde (1/(4π|]]r]r[]] |) in spazio libero).

Costruendo le funzioni del verde per le condizioni tipiche del corpo

Metodo di immagini

Per i confini planari (ad esempio, un piano a terra), la funzione del verde può essere costruita aggiungendo una sorgente di immagine posizionata simmetricamente rispetto al confine. Per un perfetto conduttore elettrico (PEC) piano a ]z[] = 0, la funzione del verde è

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dove il secondo termine annulla il campo elettrico tangenziale all'aereo. Questo metodo si estende a metà-spazi dielettrici e a due piastre parallele (coemetria dei condensatori).

Espansione di Eigenfunction

Nei sistemi di coordinate separabili (rettangolari, cilindrici, sferici), la funzione del verde può essere ampliata in funzione delle esigenze dell’operatore. Per una cavità rettangolare con dimensioni a]] × ]]b]]] × ]]]c e perfettamente conduciamo le equazioni di comportamento

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Soluzioni Serie per Rimbalzi Curvilineari

Per i confini cilindrici o sferica, la funzione del Green è espressa in termini di funzioni Bessel (o di Hankel) e di polinomi Legendre, rispettivamente. Ad esempio, la funzione del Green per un cilindro circolare infinito con un bordo PEC utilizza le eigenfunzioni con funzioni Bessel. Queste forme sono particolarmente utili per la modellazione di cavi coassiali, guide circolari o per la diffusione da una sfera.

I passaggi per applicare le funzioni di Green in pratica

  1. Identificare l'equazione governativa[[] – Scrivere l'equazione differenziale (o il sistema) che il campo deve soddisfare: Poisson, Helmholtz, equazione d'onda vettoriale.
  2. Cuocate la funzione di Green appropriata[[] – Selezionare o derivare la funzione di Green che soddisfa lo stesso operatore differenziale e le condizioni limite omogenee del problema.
  3. Scrivere la rappresentazione integrale[[] – Esprimere il campo come un volume integrale dei tempi di funzione del Verde la fonte, più possibili integrazioni superficiali per i dati di confine.
  4. Valutare l'integrale(i) – Eseguire l'integrazione analiticamente ogni volta che possibile (utilizzando gli integrali noti, l'estrazione dei poli o la teoria dell'immagine).
  5. Post-process[[] – Estrarre le quantità desiderate: valori di campo nei punti di osservazione, flusso di potenza, impedenza o potenza irradiata.

Questi passaggi sono algoritmici e possono essere adattati a molti problemi elettromagnetici, dalla modellazione della resistenza DC alla dispersione ad alta frequenza.

Metodi numerici e funzioni verdi

Metodo di Momenti (MoM)

La corrente sconosciuta su una superficie o in un volume è espansa in funzioni di base; l'operatore integrale è testato, portando a una densa equazione di matrice. Poiché la funzione del verde è spesso singolare al punto di origine, è necessario un trattamento attento dell'integrale autocellula (integrazione di valore principale).

Metodo di base (BEM)

BEM è una variante che utilizza il teorema di Green per sostituire gli integrali di volume con gli integrali di superficie. Riduce la dimensione del problema da una (ad esempio, 3D a 2D) ed è efficiente per le regioni omogenee. La difficoltà principale è la matrice completa, ma i metodi veloci (ad esempio, il metodo Fast Multipole) possono accelerare il calcolo.

Differenza finita / Elemento finito con funzioni verdi

Gli approcci ibridi usano a volte una funzione “discreta” calcolata numericamente per una griglia di differenze finita all’interno del dominio di interesse, che può essere utile per problemi con confini non separabili, dove la funzione di un verde analitico non è disponibile.

Argomenti avanzati

Funzioni di Time‐Domain Green

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Perturbazione e media inomogenei

Se il medium si discosta leggermente da uno sfondo conosciuto, si può usare la funzione di fondo Green in un'equazione integrale del volume (equazione di Lippmann-Schwinger), questa è la base per i risolutori iterativi in dispersione inversa, e per modellare piccole inomogeneità in un substrato altrimenti uniforme.

Rappresentanze Spectral (k‐space)

La funzione di dyadic Green per i supporti a strati viene spesso valutata nel dominio spettrale utilizzando gli integrali di Sommerfeld. Gli integrali coinvolgono le funzioni di Bessel e richiedono un'attenta integrazione numerica, ma forniscono un calcolo efficiente per i circuiti planari e le antenne. Molti moderni strumenti software implementano queste integrazioni con una robusta estrazione dei poli e una gestione a rami.

Esempi pratici

Esempio 1: Potenziale elettrostatico in una scatola rettangolare a terra

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Esempio 2: Dipole Over a Dielettrico Mezzo-Spazio

Un dipolo elettrico orizzontale situato a distanza [d]]] sopra un substrato dielettrico senza perdite. I campi sono calcolati utilizzando l'esatto componente Sommerfeld per la funzione di Green dyadic. Per un punto di osservazione nella zona lontana, gli integrali possono essere approssimati da metodi di sella-punto, dando il modello di radiazione familiare modificato dal substrato.

Vantaggi e limitazioni

Vantaggi

  • Riduce un'equazione differenziale con le fonti ad un'equazione integrale, evitando spesso una differenziazione esplicita.
  • Incorpora automaticamente le condizioni di confine nel kernel, semplificando il processo di soluzione.
  • Consente soluzioni analitiche in molte geometrie canoniche (rettangolari, circolari, sferiche).
  • Fornisce una solida base per metodi numerici come MoM e BEM.
  • Gestisce facilmente le distribuzioni arbitrarie di sorgente una volta che la funzione del verde è conosciuta.

Limitazioni

  • Le funzioni di Green sono chiuse solo per geometrie separabili e supporti uniformi.
  • Per i confini non separabili o per i media altamente inomogenei, la funzione del Green deve essere calcolata numericamente, che può essere costoso come una soluzione a onde complete.
  • La rappresentazione integrale può essere singolare al punto di partenza, richiedendo un'attenta integrazione numerica.
  • La convergenza delle serie di autofunzioni può essere lenta per i punti di osservazione vicino alla fonte o per problemi di alta frequenza.
  • Non direttamente applicabile a problemi non lineari, perché la linearità è necessaria per la sovrapposizione.

Conclusioni

Le funzioni di Green sono indispensabili nell’ingegneria elettromagnetica, nel corroborare la teoria matematica e nell’analisi pratica. Trasformano le equazioni differenziali complesse in forme integrali gestibili, consentono soluzioni analitiche eleganti per problemi canonici, e sostengono potenti tecniche computazionali come il Metodo dei Momenti.

Per ulteriori informazioni, consultare l’articolo di Wikipedia sulle funzioni di Green], il testo classico []I campi elettromagnetici aeronautici ]] da R. F. Harrington layer], e questo tutorial IEE sulle derivazioni più profonde di dyadic[