Introduzione alla Calcolo delle dimensioni del campione in Sampling di accettazione

L'accettazione di campioni è una tecnica statistica di controllo della qualità utilizzata per determinare se un lotto di prodotti soddisfa gli standard di qualità prestabiliti. Invece di controllare ogni unità, viene disegnato e valutato un campione rappresentativo. La decisione di accettare o rifiutare l'intero lotto si basa sul numero di elementi difettosi trovati in quel campione.

Comprendere i piani di campionamento di accettazione

Il piano di campionamento di accettazione consiste in due parametri chiave: la dimensione del campione ( n]) e il numero di accettazione (]c]]). Il piano specifica che un campione casuale di ]] unità è preso da un sacco di dimensioni

I piani di campionamento sono essenziali in settori in cui l'ispezione al 100% è impraticabile a causa di costi, tempi o requisiti di prova distruttivi. Essi forniscono un metodo statisticamente sano per dedurre la qualità dell'intero lotto, con livelli di rischio noti. I due rischi principali sono: rifiutare un buon lotto (rischio del produttore, α) e accettare un lotto cattivo (rischio del consumatore, β).

Come funziona il campionamento di accettazione

Il processo inizia con la definizione del lotto e la selezione di un piano di campionamento. In genere, il piano è derivato da standard come ANSI/ASQ Z1.4 o ISO 2859, che forniscono tabelle di dimensioni del campione e numeri di accettazione basati su dimensioni del lotto e livello di qualità accettabile (AQL). L'utente seleziona un livello di ispezione (ad esempio, normale, stretto, ridotto) e la AQL, quindi legge la corrispondente lettera di codice.

Terminologia e Concetti chiave

Per calcolare con precisione le dimensioni del campione, si devono comprendere diversi termini chiave e le loro relazioni:

  • Lot Size (N):] Il numero totale di unità nel lotto presentato per l'ispezione.
  • Dimensioni di campione (n): Il numero di unità prelevate dal lotto per l'ispezione.
  • Numero di accettazione (c):] Il numero massimo consentito di unità difettose nel campione per il lotto da accettare. Se i difetti superano c, il lotto viene respinto.
  • Numero di risoluzione (r):] In alcuni piani (ad esempio, doppio campionamento), il numero di rifiuto è la soglia che innesca il rifiuto immediato. Per i singoli piani di campionamento, r] = ]]c + 1.
  • Rischio del produttore (α):[] La probabilità di rifiutare molto che soddisfa effettivamente lo standard di qualità (cioè un errore di tipo I).
  • Rischio del consumatore (β):[] La probabilità di accettare molto che non soddisfa lo standard di qualità (cioè un errore di tipo II).
  • Acceptable Quality Level (AQL):[] La percentuale massima di unità difettose che è considerata accettabile per il lotto.
  • Difettiva percentuale di tolleranza (LTPD): La percentuale di unità difettose che il consumatore considera inaccettabile, corrisponde ad un'alta probabilità di rifiuto (ad esempio, 90% o 95%).

Fattori che influenzano la dimensione del campione

Diversi fattori interagiscono per determinare la dimensione del campione richiesta per un determinato piano di campionamento di accettazione. Capire questi fattori aiuta a selezionare un piano appropriato che bilancia il rischio e il costo.

  • Lot Size (N): Mentre la dimensione del lotto influisce sulla dimensione del campione in alcuni standard (ad esempio, ANSI/ASQ Z1.4 utilizza intervalli di dimensioni del lotto per determinare la dimensione del codice del campione), l'effetto statistico è minimo per grandi lotti.
  • Numero di accettazione (c): Un numero di accettazione più ampio riduce la dimensione del campione richiesta per un determinato rischio, ma aumenta anche la probabilità di accettare molto con più difetti. Il numero di accettazione è spesso scelto per soddisfare i requisiti AQL e LTPD.
  • I rischi del produttore e del consumatore:[ I rischi più bassi (meno α e β) richiedono dimensioni più grandi del campione. Ad esempio, ridurre α dal 5% all'1%, mantenendo altri fattori costanti può raddoppiare o triplicare la dimensione del campione.
  • Quality Level (p):] La quota prevista di elementi difettosi nel lotto influenza la variabilità del campione. Per i tassi di difetto bassi, il campione deve essere abbastanza grande da rilevare almeno un difetto con probabilità accettabile.
  • Livello di ispezione:[[] Gli standard definiscono diversi livelli di ispezione (normale, serrato, ridotto) che regolano le dimensioni del campione e i criteri di accettazione basati sulla storia della qualità passata.

Fondamenti statistici per la Calcolo delle dimensioni del campione

La distribuzione ipergeometrica

Quando il campionamento senza sostituzione di un lotto finito, il numero di unità difettose nel campione segue una distribuzione ipergeometrica. La probabilità di osservare esattamente x] difettosi in un campione di dimensione ]] di molte dimensioni ]]]]]] contenente

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)

Questa distribuzione è esatta ma computazionalmente intensiva per grandi N]. I calcoli di dimensioni del campione utilizzando la distribuzione ipergeometrica sono spesso eseguiti tramite tabelle standard o software specializzato.

L'approssimazione binomiale

Per grandi dimensioni (tipicamente quando ]]n]] ≤ 0.1]N[]), la distribuzione ipergeometrica è ben approssimata dalla distribuzione binomiale. La distribuzione binomiale assume il campionamento con la sostituzione, ma è precisa quando la dimensione del lotto è grande rispetto al campione.

P(X = x) = C(n, x) * p[]x] * (1-p)](n-x]]

p] = D[]]/]N] è la frazione di lotto difettosa. Questo semplifica i calcoli ed è ampiamente utilizzato nelle formule di dimensione del campione.

Approssimazione del Poisson

Per i tassi di difetto molto bassi (p]] < 0.1) e le grandi dimensioni del campione, la distribuzione binomiale può essere ulteriormente approssimata dalla distribuzione Poisson. Questo è utile per il calcolo delle dimensioni del campione in situazioni come il monitoraggio della qualità di evento raro. L'approssimazione di Poisson utilizza il parametro λ = npx] e la probabilità [FLT[FLT]

P(X = x) = (e]-λ[[]]] λx[]]]] / x!

Metodi per il calcolo delle dimensioni del campione

Utilizzo delle tabelle standard: ANSI/ASQ Z1.4 e ISO 2859

L'approccio più comune nel settore è quello di utilizzare standard pubblicati che forniscono piani di campionamento precalcolati. ANSI/ASQ Z1.4 (equivalente a ISO 2859-1) è lo standard principale per il campionamento degli attributi.

  1. Livello di ispezione:[ livelli I, II, III per normale, serrato, o ridotto ispezione.
  2. Acceptable Quality Level (AQL):[] Il massimo per cento difettoso che il produttore considera accettabile (ad esempio, 0,1%, 1,0%, 2,5%).
  3. Lot Size:[] Il numero totale di unità nel lotto.

Dal lotto di dimensione e di ispezione, una lettera di codice (A a R) è determinata. Questa lettera di codice indica poi una tabella che fornisce la dimensione del campione ([]n]) e il numero di accettazione (]c)]) per il AQL scelto. Per esempio, per un sacco di dimensione di 1.000 unità e livello normale di ispezione normale di ispezione II, il codice è la lettera di codice 1.

Approccio basato sulla formula

Quando non si applicano standard specifici, o quando sono richiesti livelli di rischio personalizzati, una formula può essere utilizzata per stimare la dimensione del campione. Una formula comune per stima delle dimensioni del campione nel campionamento dell'attributo deriva dalla normale approssimazione alla distribuzione binomiale:

n = (Z]α/22[]] * p * (1 - p)] / E2[]]]

Dove:

  • Zα/2[[]] è il valore critico della distribuzione normale standard per un livello di fiducia a due livelli (ad esempio, 1,96 per la fiducia del 95%).
  • p] è la quota prevista di difetti nel lotto (spesso stimata da dati storici o presunta come AQL).
  • E] è il margine di errore — la differenza massima accettabile tra la velocità di difetto del campione e la velocità di difetto del vero lotto.

Ad esempio, se si aspetta 5% difetti, si desidera una fiducia del 95% e si consente un margine di errore del 2%, i rendimenti di calcolo:

n = (1.962 × 0.05 × 0.95) / (0.02)[2 = (3.8416 × 0.0475) / 0.0004 ≈ 456.2]

Questa formula, tuttavia, non incorpora direttamente il numero di accettazione o i rischi α e β nello stesso modo in cui gli standard fanno. È più appropriato per stimare la dimensione del campione per stimare una proporzione piuttosto che per un piano di decisione.

Un approccio più rigoroso utilizza le distribuzioni di probabilità per risolvere contemporaneamente n e c[]. Per una coppia di punti sulla curva OC (AQL con probabilità 1-α, e LTPD con probabilità β), si possono risolvere le equazioni:

P(accetta | p = AQL) ≥ 1 - α[]
] ]P(accetta | p = LTPD) ≤ β]

Per la distribuzione binomiale, la probabilità di accettazione di un singolo piano di campionamento con la dimensione del campione [] e il numero di accettazione c è:

P(accetta | p) = Σx=0]c C(n, x] p]x[[7]]](n-x][FFFFFFFFFFFFFFFFFFLT:FFFFF]]][6]][F]]

Trovare n] e c[]] che soddisfano entrambe le disuguaglianze richiede spesso metodi numerici iterativi o tabelle di ricerca.

Curve funzionali (OC)

Un software OC traccia la probabilità di accettare il lotto come funzione del vero tasso di difetto del lotto p]]. Per una data dimensione del campione n e il numero di accettazione c[αFLT:5]], la curva OC mostra le prestazioni del piano in tutti i livelli di qualità.

Strumenti software per la Calcolo di Dimensione del campione

I calcoli manuali sono in termini di tempo, specialmente per i piani di campionamento doppio o multipli. Diversi pacchetti software e calcolatori online forniscono la determinazione della dimensione del campione per il campionamento di accettazione:

  • R software statistico:[] I pacchetti come [] consentono agli utenti di progettare e valutare i piani di campionamento, calcolare le curve OC e trovare ottimale ]n e ]c]].
  • Minitab:[] Include un modulo di campionamento di accettazione dedicato per l'attributo e i piani variabili.
  • Calcolo in linea:[] Siti web come il [NIST Engineering Statistics Handbook[[]] fornire strumenti interattivi per la generazione di piani di campionamento e curve OC.
  • ]Sempli di fogli predefiniti:[] Excel può essere utilizzato con funzioni integrate come []] per valutare le probabilità binomiali e eseguire la ricerca iterativa ]n] e ]]c]].

Questi strumenti riducono il rischio di errori manuali e consentono di analizzare la sensibilità per capire come i cambiamenti in []n[]] o c] influiscono sulle prestazioni del piano.

Esempio pratico: progettare un piano di campionamento singolo

Supponiamo che un produttore riceva un sacco di 2.000 unità e voglia usare un piano di campionamento di accettazione con un AQL di 1,0% e un LTPD del 5,0%. Il produttore accetta un rischio α del 5% e il consumatore un rischio β del 10%. Determinare la dimensione del campione n]] e il numero di accettazione c.

Step 1:] Usare una tabella standard. Per dimensioni del lotto 2.000 e livello di ispezione normale II, la lettera di codice è K. Da ANSI/ASQ Z1.4, per AQL = 1.0%, la lettera di codice K dà ]n = 125 e ]c è un piano comune = 3.

[LT] [6] [6]] Valutare la curva OC all'AQL e al LTPD. Usando la distribuzione binomiale con [[6]] [[6]] [[6]] =125, ] [[6]]]] [[6]]]] [6]]]

(S.A.) [C.D.T.] [C.] [C.] [C.]] [[FLT]]] C(125, x) (0.05)] ] [(.]] [FLT]]] [.]

Step 3:] Se si utilizza l'approccio formula, impostare le due disuguaglianze e risolvere numericamente. Utilizzando il software, un piano con n=145, c]=4 dà α=0.048 e β=0.099, i piani di riferimento, soddisfano i requisiti di riferimento.

Piani di campionamento doppie e multiple

[LT] [LT] [[[1]] [[[]]]] [[LT]]] [[[[[[]]]]]] [[[[[[[[]]]]]] [LT]] [[[[[[[[]]]]]]]]]] [[[[LT]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

I piani di campionamento multipli estendono questo concetto a diverse fasi, riducendo ulteriormente la dimensione media del campione. Gli standard come ANSI/ASQ Z1.4 forniscono anche piani di campionamento doppie e multipli. Il calcolo delle dimensioni del campione per questi piani comporta calcoli di probabilità più complessi, ma si applicano gli stessi principi statistici. La curva OC e la curva media del campione (ASN) sono strumenti chiave per valutare tali piani.

Scegliere il Piano di Sampling destro

La selezione tra piani di campionamento singole, doppie o multiple dipende da diversi fattori: semplicità amministrativa, dimensione media del campione, costo di prova per unità, e la disponibilità di test rapidi. I piani di campionamento singoli sono più semplici da amministrare e sono deterministici nelle dimensioni del campione. I piani di doppio e multiplo sono più efficienti in termini di dimensione media del campione, ma richiedono una logistica più complessa e potenziali ritardi se è necessario un secondo campione.

Quando si calcolano le dimensioni del campione, si considerano sempre le seguenti migliori pratiche:

  • Utilizzare standard ogni volta che possibile per garantire la coerenza con la pratica del settore e requisiti normativi.
  • Convalida la curva OC del piano per garantire che soddisfi i rischi del produttore e del consumatore specificato.
  • Per piccole dimensioni, utilizzare la distribuzione ipergeometrica piuttosto che approssimazioni per evitare errori.
  • Documentare le ipotesi (ad esempio, AQL, LTPD, livello di ispezione) utilizzate nel calcolo delle dimensioni del campione.
  • Eseguire revisioni periodiche di qualità per regolare i piani di campionamento in base alle prestazioni di processo effettive.

Conclusioni

Il calcolo della dimensione del campione corretta per i piani di campionamento di accettazione è un compito fondamentale nella garanzia della qualità. Comprendendo i fattori chiave — dimensione del lotto, numero di accettazione, rischi del produttore e dei consumatori, e livelli di qualità — e applicando metodi statistici come distribuzioni binomiali o ipergeometriche, i professionisti della qualità possono progettare piani che forniscono decisioni affidabili e controllano i costi di ispezione.

Per ulteriori informazioni, fare riferimento alla ASQ Guida di campionamento[, alla [ISO 2859-1:1999 standard[[, e alla NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistics Methods] per tabelle ed esempi dettagliati.