Il criterio di stabilità Routh-Hurwitz è un punto di riferimento della teoria del controllo classico, fornendo un metodo algebrico diretto per determinare se un sistema lineare di tempo-invariante è stabile senza risolvere i suoi poli. Per i sistemi di ordinazione interi-ordinare—dove il criterio caratteristico richwier ha solo poteri interici della variabile Laplace ] – il test è efficiente ed elegante.

Comprendere il criterio classico di Routh-Hurwitz

Prima di esplorare le estensioni, è essenziale ricappare il metodo classico. Per un sistema con un caratteristico polinomio

Il criterio Routh-Hurwitz costruisce una tabella (il array Routh) dai coefficienti. La condizione di stabilità è che ogni elemento nella prima colonna dell'array deve avere lo stesso segno (solitamente positivo). Se si verificano cambiamenti di segno, il numero di segni cambia è uguale al numero di poli piani di destra-half. La bellezza del test risiede nella sua natura puramente algebrica: nessun sistema di radice-finding, nessuna analisi complessa.

Il criterio si estende anche ai sistemi con ritardi di tempo (tramite l'approssimazione Padé) e ai sistemi discreti-time (utilizzando la trasformazione bilineare), ma tutte quelle estensioni si basano sul quadro polinomiale.

Sistemi di Fractional-Order: una breve panoramica

Un sistema di ordine frazionario è uno dei cui dinamici sono descritti da un'equazione differenziale frazionaria della forma

[FLT-Istruzioni] [FLT-Imposta] [FLT-I]] [[FLT]]] e β] non sono necessariamente integre. La trasformazione Laplace di tale equazione (in condizioni iniziali zero) produce una funzione di trasferimento contenente termini come [FLT-4]][FLT-5]]

Il calcolo frazionario ha trovato applicazioni nel controllo di strutture flessibili, modellazione di tessuti biologici, caratterizzazione dell'impedenza della batteria e anche serie di tempo finanziario. La necessità di controllare la stabilità per tali sistemi è acuta, ma la classica tabella Routh-Hurwitz non può essere costruita perché l'equazione caratteristica non è un polinomio.

Perché il classico Routh–Hurwitz Test fa falli per i sistemi frazionari

L'ostacolo è fondamentale: un'equazione caratteristica di ordine frazionale, come ad esempio

I poteri di s]] non sono multipli interi l'uno dell'altro. La schiera Routh richiede poteri interi in modo che si possa eseguire un'eliminazione sistematica. Inoltre, i poteri finiti frazionari portano a tagli di rami nel piano complesso; il concetto di "polio di destra-half-plane" diventa più sottile perché un potere frazionario può avere più fogli di frazione Aemann.

Poiché il criterio Routh-Hurwitz è essenzialmente un test algebrico per la proprietà di Hurwitz di un polinomio, non può essere applicato direttamente ad un'espressione non-polinomiale.

Criteri di stabilità Matignon: una sostituzione algebraica diretta

L'estensione più nota è il criterio di stabilità Matignon (chiamato anche teorema di Matignon). Esso fornisce una condizione necessaria e sufficiente per una grande classe di sistemi di ordine frazionario con ordini commensurati. Si dice che un sistema frazionario abbia ordini commensurati se tutti i poteri frazionari nell'equazione caratteristica sono multipli interi di un comando base.

Cristo di Matignon: Per un sistema di ordine frazionario con equazione caratteristica

dove α è un numero reale positivo, il sistema è stabile se e solo se

|arg(s[]i]]]] | > απ/2 per ogni radice si] di ]P]]].

In altre parole, le radici devono trovarsi in una regione del piano complesso al di fuori di un settore di angolo απ/2 incentrato sull'asse reale negativo. Questa condizione riduce alla condizione classica di piano di sinistra-half quando α = 1 (da allora απ/2 = π/2), ma per α < 1 la regione di stabilità è una cuneo.

[LT] è possibile verificare il criterio di Routh-Hurwitz [FLT][[FLT]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[[FLT]]]][[[FLT]]]]]][[FLT]]]]][[[FLT]]]]]][[[FLT]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Questo porta ad una procedura pratica:

  1. ]Identificare l'ordine frazionario di base α] in modo che l'equazione caratteristica diventi un polinomio ]]]]][[]]]]] .
  2. Definire ]w = sα]] e riscrivere l'equazione caratteristica come P(w) = 0]], un polinomio convenzionale.
  3. Applichiamo il classico test Routh–Hurwitz a P(w)[][]. Se si verificano cambiamenti di segno nella prima colonna, il sistema è instabile sotto la definizione polinomiale classica in w].
  4. [LT] [LT] [[FLT]] [[FLT]]] [[FLT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]][[FLT]]][[FLT]]]][[FLT]]]]] [[FLT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]]] [FLT][FLT]]][FLT]][[[FLT]]]]][[[[[FLT]]][[FLT]]]]]]][[[[[[[FLT]]]]]]]]]]][[[[[[[[FLT]]]]]]][[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Il criterio Matignon è spesso usato come strumento primario per l'analisi della stabilità dei sistemi di ordine frazionario commensurato. Per i sistemi non-commensurati (dove gli ordini frazionari non sono multipli di una base comune), devono essere utilizzati metodi alternativi come l'approccio di frequenza-dominio o l'inversione numerica.

Approcci analitici alternativi

La funzione Mittag-Leffler e la rappresentazione dello Stato-Spazio

I sistemi di ordine frazionario possono essere rappresentati in forma pseudo-stato-spaziale utilizzando il derivato frazionario dell'ordine α. La condizione di stabilità diventa un vincolo sugli autovalori della matrice del sistema.

il sistema è stabile se e solo se

|arg(λ(A))| > απ/2

dove λ(A) sono gli autovalori della matrice [A]. Questa è l'analogo diretto multi-variabile del criterio Matignon. Per i sistemi commensurati, questa condizione riduce alla stessa regione di stabilità a forma di cuneo. Gli ingegneri possono calcolare gli autovalori e controllare i loro argomenti utilizzando algebra lineare numerico standard.

Trasformazione in un sistema di ordinamento Integer- tramite sostituzione variabile

Un altro percorso analitico è quello di introdurre una nuova variabile z = s]α]] e poi applicare il classico Routh-Hurwitz test al polinomio trasformato. Tuttavia, questo approccio controlla solo la “parte polinomiale” della stabilità.

Tecniche Frequenza-Domain

La stabilità può essere valutata anche con i criteri Nyquist o Bode adattati alle funzioni di trasferimento frazionari. La funzione di trasferimento open-loop G(s)] di un sistema di ordine frazionario è una funzione non-razionale, ma la sua risposta di frequenza può essere valutata numericamente. Il criterio di stabilità del Nyquist è ancora in vigore: il numero di stabilità del punto diretto −1

Strumenti numerici e computazionali

Data la complessità dei sistemi di ordine frazionario, la pratica ingegneristica si basa fortemente sugli strumenti software. La cassetta degli strumenti FOMCON[ (Fractional‐Order Modeling and Control) per MATLAB è una scelta popolare. Fornisce funzioni per calcolare i controlli di stabilità utilizzando il criterio Matignon, per costruire approssimazioni (ad esempio, Oustaloup recursive time operator) degli operatori frazionamenti frazionali.

Altri strumenti includono:

  • Cabina portautensili [[] (Commande Robuste d’Ordre Non Entier): sviluppato all’Università di Bordeaux, supporta la progettazione e l’analisi della stabilità del controller di ordine frazionario.
  • Le librerie di Python[]: fractional[] (per il calcolo frazionario) e ]control[ (per l'analisi generale del sistema di controllo) possono essere utilizzate insieme per implementare il criterio Matignon.
  • Calcolo simbolico[[] in Mathematica o Maple può gestire manipolazioni algebriche di potenze frazionarie e radicamento nel piano complesso.

Per un rapido controllo, molti ingegneri utilizzano il seguente algoritmo numerico:

  1. Definire l'equazione caratteristica come espressione simbolica in ]s] con poteri frazionari.
  2. Converti in un polinomio in w = sα[][]] se il sistema è commensurato.
  3. Compiti le radici del polinomio in w]] utilizzando un risolutore numerico.
  4. Per ogni radice, calcolate il corrispondente ]s e il suo argomento.
  5. Controlla se |arg(s)| > απ/2] per tutte le radici.

Questo algoritmo può essere implementato in poche righe di codice ed è robusto per la maggior parte dei sistemi commensurati. Per i sistemi non-commensurati, si deve fare affidamento su metodi di frequenza-dominio o sulla valutazione numerica basata sulla griglia dell'equazione caratteristica nel piano complesso.

Pratico passo-passo-passo procedura per gli ingegneri

Qui di seguito è riportato un flusso di lavoro pragmatico che combina lo spirito classico di Routh-Hurwitz con le modifiche frazionarie necessarie.

  1. ]Ottenga l'equazione caratteristica[[]] dal sistema di trasferimento. Per un sistema di ordine frazionario, questo comporta termini come ]]γ[]]]] con γ non-integer.
  2. Verificare la commensurabilità. Determinare se tutti gli ordini frazionari sono multipli interi di una base comune α. Ad esempio, gli ordini 0.5, 1.5, 2.0 sono multipli di 0,5; gli ordini 0.7 e 1.2 non sono multipli di una singola base (a meno che la base non sia 0.1, ma raramente razionale).
  3. [LT] [LT] [[FLT]] [[[FLT]]] [[LT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]] [[FLT]]][[[[FLT]]]] [[[FLT]]]]] [[FLT]]] [[[[[FLT]]]]]]] [[FLT]]]] [[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
  4. Applichiamo il classico test Routh–Hurwitz a P(w)[].[]] Costruire l'array Routh. Se si verifica un cambio di segno nella prima colonna, il sistema è instabile (sotto l'interpretazione polinomiale).
  5. [LTT] Computo le radici [[FLT]]] [[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][FLT]]][[FLT]]][[FLT]]]][FLT]][FLT]]][[[[FLT]]]]]]]][[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
  6. Per i sistemi non-commensurati, utilizzare un approccio di frequenza-dominio. Valutare l'equazione caratteristica lungo il confine della regione di stabilità, che per i sistemi frazionari è un settore. L'esempio di Nyquist della funzione di trasferimento a circuito aperto può indicare stabilità a cerchio chiuso.

Molti ingegneri trovano che il caso commensurato copre una gran parte dei progetti pratici di controllo frazionario, in particolare dei controllori PID frazionari (dove gli ordini derivati e integrali sono multipli di un α comune, spesso 0.5 o 0.1).

Studio caso illustrativo: Controller PID Fractional-Order

Considerare un controller PID di ordine frazionario (PI[α]D[β]) che controlla un impianto di primo ordine.

Questo sistema non è misurabile in quanto gli ordini frazionari 2.5, 1.2, 0.1 non sono multipli interi di una base comune. Non possiamo applicare direttamente il criterio Matignon. Invece, approviamo gli operatori frazionari utilizzando un filtro Oustaloup di ordine, diciamo, 5 su un range di simulazione di frequenza [0.01, 100] rad/s. Questo rende un alto ordine integer-order funzione nominale.

Al contrario, se il controller è progettato con ordini commensurati (ad esempio, α = 0,5, quindi gli ordini sono 0.5, 1.0, 1.5, 2.0), il sistema diventa commensurato. Poi possiamo usare il criterio Matignon direttamente, ottenendo una condizione necessaria e sufficiente (modulo l'interpretazione di taglio a ramo).

Limitazioni e ricerche in corso

L'estensione dell'analisi di Routh-Hurwitz ai sistemi di ordine frazionario non è una sola formula ma una raccolta di tecniche, ognuna con il proprio dominio di applicabilità. Il criterio Matignon è esatto solo per i sistemi di commensura.

Inoltre, la regione di stabilità per sistemi frazionari con ordini irrazionali non è una semplice cuggia; può diventare una regione più complicata nella superficie di Riemann. Gli ingegneri pratici di solito si affidano alla valutazione numerica della magnitudine e della fase caratteristica lungo il confine di stabilità, che è computazionalmente intensiva ma fornisce risultati affidabili per valori specifici dei parametri.

Conclusioni

L'analisi di Routh-Hurwitz ai sistemi di ordine frazionario richiede di passare oltre il quadro polinomiale classico. Il criterio di stabilità di Matignon per i sistemi di commensurato ri-castra il problema in una condizione di root-argument che può essere controllato con l'aiuto della classica array Routh e della radice-finding numerica.

Per ulteriori informazioni, i lettori possono consultare l'entrata di Wikipedia sul criterio Routh-Hurwitz[ e la panoramica del calcolo frazionario. L'opera originale di Matignon è dettagliata in ] questo articolo (collegamento DFO6].