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La Z-transform è uno degli strumenti matematici più fondamentali nella elaborazione del segnale digitale (DSP), fornendo un ponte tra sequenze discrete-time e rappresentazioni complesse di frequenza-dominio. Trasformando le sequenze in funzioni analitiche di una variabile complessa, il Z-transform permette agli ingegneri e ai ricercatori di analizzare la stabilità del sistema, progettare filtri digitali, risolvere le equazioni di differenza e caratterizzare le risposte di frequenza con precisione matematica.
Qual è la Z-Transform?
La Z-trasforma di un segnale a tempo discreto []x], definita per l'integer n, è data dalla serie infinita
X(z) = Σ]n = −∞[∞ x[n] z−n]]],
[LT] [FLT] [[FLT]]] è una variabile complessa. Questa definizione corrisponde al ](o a due lati) Z-transform.
Bilaterale vs. Unilateral Z-Transform
La forma bilaterale viene utilizzata per segnali non causali o bifacciali, mentre la forma unilaterale viene preferita quando si tratta di sistemi causali dove il segnale è zero per n < 0].
X]u[(z) = Σ]n = 0∞ x[n] z[]]]]]]][
Per le sequenze causali, le trasformazioni bilaterali e unilaterali sono identiche perché x[n] = 0] per [n < 0]. Tuttavia, la versione unilaterale semplifica la gestione delle condizioni iniziali nelle equazioni di differenza, rendendola indispensabile per la progettazione e il controllo dei filtri.
Proprietà della Z-Transform
La Z-transform soddisfa molte proprietà importanti che semplificano notevolmente l'analisi DSP, che seguono direttamente dalla linearità della somma, e rispecchiano molte delle proprietà della trasformazione Laplace per sistemi a tempo continuo.
Linearità
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a x]1][n] + b x2[[n]] ⇔ ]a X1](z] + b X[FLT][FF][7]
La regione di convergenza (ROC) è almeno l'intersezione dei singoli ROC.
Tempo di spostamento
La modifica di una sequenza nel tempo corrisponde alla moltiplicazione per un potere di ]z:
x[n − k][]] ⇔ ]]]z[]−k[ X(z]],
[FLT]] ]]] [[FLT]]]] o ]]z = ∞] a seconda della direzione del turno. Per un ritardo (k > 0]), il ROC è lo stesso di X(z][F][
Scalare nella Z-Domain
La moltiplicazione di a]n[] (peso esponenziale) scala la variabile complessa:
a]]n[] x[n]]] ⇔ []X(z / a)]].
Il ROC si bilancia di conseguenza: se il ROC originale è R, allora il nuovo ROC è |a| R.
Tempo di inversione
[FLT] [[[1]]]] [[[[[f]]]]]] [[[fLT]]]]]]]] [[[fl]]]]]] [[fl]]]] [[fl]]]]]]] [[f]]]]] [[fl]]]]] [[fl]]]]]][[[[f]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[f]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Convoluzione
Forse la proprietà più importante: la convoluzione nel tempo equivale a moltiplicazione nel dominio Z. Per i sistemi LTI, l'uscita y[n] è la convoluzione dell'ingresso x[n]]] con risposta di impulso h[n], così
y[n] = x[n] | h[n][]] ⇔ []Y(z) = X(z) H(z)]].
Il ROC di Y(z)[]] è almeno l'intersezione dei ROC di [X(z)] e H(z)]]]. Questa proprietà rende la Z-transform inestimabile per le funzioni di trasferimento di sistema.
Differenziazione nella Z-Domain
n x[n][]] ⇔ −z dX(z) / dz[]. Questo è utile per trovare trasformazioni di sequenze come ]n a]n u[n]]]] .
Teorema del valore iniziale
Per le sequenze causali, il valore iniziale []x[0][]] può essere ottenuto direttamente da [X(z)]:
x[0] = lim[[[]z→∞[] X(z)].
Teorema del valore finale
Se il limite esiste e il ROC include il cerchio dell'unità, allora
x[∞] = lim[[]z→1[] (z − 1) X(z)[].
Regione della Convergenza (ROC)
[LT][[[6]]] [[f]]]] [[fl]]]]] [[fl]]]]] [[f]]]]] [[fl]]] [[fl]]]] [[[f]]]]]]]] [[[f]]]]]] [[[[f]]]]]]]] [[[[[f]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[f]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Proprietà ROC generali
- [LT]] [LT[LT:1]]] [[LT]]]]] [[LT]]]]] < |z| < r[[[[]][[[[[[[FLT]]]]]]]]][[[FLT]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[
- Il ROC non può contenere pali di X(z)], perché il trasformatore diverge a pali.
- Se la sequenza è ]finite-length[[], il ROC è l'intero z[[]]-plane, tranne forse ]]]]] e/o ]]z = ∞]]]]]
- Se la sequenza è lato destro[] (nonzero solo per ] n ≥ N[]), il ROC è fuori dal polo più esterno: |z| > r]max][]]]
- Se la sequenza è lato sinistro[] (nonzero solo per ≤ N), il ROC è all'interno del polo più interno: |z| < r]]min][]]]
- Se la sequenza è due lati[], il ROC è un anello tra due poli.
ROC e stabilità del sistema
Un sistema LTI a tempo discreto è BIBO stabile se la sua risposta a impulso è assolutamente summable. In Z-domain, questa condizione si traduce in ROC della funzione di trasferimento di sistema H(z)]]] includendo il cerchio unit (|z| = 1[FFFFFFFFFFFFFFFFFF]
ROC e Causality
Un sistema è causale se la risposta all'impulso h[n]] è zero per n < 0]. Per una funzione di trasferimento razionale, la causalità corrisponde al ROC essendo fuori del polo più esterno e compreso ]]z = ∞.
Applicazioni nella lavorazione digitale dei segnali
La Z-transform si adatta quasi a ogni area del DSP, e qui di seguito si ripercuote i suoi ruoli centrali.
Design digitale filtro
I filtri digitali, sia la risposta a impulsi finiti (FIR) che la risposta a impulsi infinita (IIR) sono progettati specificando la loro funzione di trasferimento [H(z)]. La Z-transform permette agli ingegneri di tradurre specifiche del filtro (passband ripple, stopband attenuation, cutoff frequenze) in posizionamenti a pole-zero nel semplice]z[
H(z) = (1 − 0.9) / (1 − 0,9 z−1]]] [.
I coefficienti sono derivati da risposte di frequenza desiderate abbinate tramite il metodo di trasformazione bilineare o di invarianza degli impulsi. Gli strumenti di progettazione dei filtri commerciali (ad esempio MATLAB, Octave) utilizzano le rappresentazioni Z-domain internamente.
Pole-Zero Luogo di costruzione
I pali vicino al cerchio dell'unità creano risonanze (pesce in risposta di magnitudo), mentre gli zeri vicino al cerchio dell'unità creano tacche (dips). Gli ingegneri posizionano strategicamente i poli e gli zeri per modellare la risposta di frequenza. Ad esempio, un filtro di tacca per rimuovere l'umorismo 60 Hz può essere implementato con un paio di zeri complessi sul cerchio dell'unità alla frequenza normalizzata corrispondente, e un paio di poli leggermente all'interno del cerchio per stabilizzare il filtro.
Analisi della stabilità del sistema
In base a una funzione di trasferimento di sistema (ad esempio, da un'equazione di differenza o da un diagramma di blocco), calcolando i poli di H(z)] e determinando il ROC è il controllo di stabilità primaria.
Risolvere le equazioni di differenza
Equazioni lineari di differenza costante-coefficiente che descrivono i sistemi LTI diventano equazioni algebriche nel dominio Z.
[[n]] [[FLT:]]] ] ]] ] ]] ] x[n−k] − Σ]k=1[FLT]][F][
prendere le rese Z-transform (utilizzando la proprietà tempo-sposta)
[LT] [[FLT]] [[FLT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]]] ] [[FLT]]]] ]]] ]] [[FLT]]]][FLT]]]] [[FLT]]]]]] [[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Da cui la funzione di trasferimento H(z) = Y(z)/X(z)[[]] segue direttamente. I poli e gli zeri di H(z) poi caratterizzano il comportamento del sistema. Questo approccio algebrico è molto più semplice che risolvere la differenza equazione iterativamente, soprattutto per i sistemi di ordine elevato.
Analisi di risposta alla frequenza
[[FLT:]]] [[FLT]]][FLT]]] [[FLT:]]]] [[FLT:]]]] [[FLT:]]] [[FLT:]]]]] ]]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]]]]] [[[[Flo schema di calcolo della distanza di magnitudines][[[[[FLT]]]]][[FLT]]]]]]]]]][[[[[[FLT]]]]]]]]]]]][[[[FLT][[[[[FLT]]]]]]]]]][FLT[FLT]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Analisi dei segnali e caratterizzazione
Oltre ai filtri, la Z-transform aiuta ad analizzare i segnali stessi. Ad esempio, la trasformazione di una sequenza di lunghezza finita come una funzione finestra (Hamming, Hann) rivela le sue proprietà di dispersione spettrale. Il ROC indica se il segnale è causale, energia finita, ecc. Nella elaborazione audio, i modelli Z-transform risposte di impulso stanza e consente la cancellazione eco risolvendo per i filtri inverso.
La Z-Trasforma inversa
Ripristinare una sequenza di domini temporali dalla sua Z-transform e ROC è la trasmissione Z inversa. Esistono diversi metodi, ciascuno adatto a contesti diversi.
Espansione parziale della frazione
Per funzioni razionali (più comuni in DSP), si espande X(z)[] in una somma di termini più semplici le cui trasformazioni inversa sono conosciute da tabelle standard.
[LT] [FLT] [[FLT]] [[FLT]][[FLT]]][FLT]][FLT]] [[FLT]]] [[FLT]] [[FLT]]] [[FLT]]][FLT]] [FLT]] [FLT]] [FLT]][[FLT]]][FLT]][FLT]][[[FLT]]]]]][[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]][[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]][[[FLT]]]]][[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]][FLT]]][FLT]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Espansione della serie di potenza (divisione lunga)
[LT][FLT]][[FLT]]][[LT]]] ]][FLT: ]]]]]][[[[FLT]]]]]]][[[FLT]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Integrazione con il profilo
La formula formale di inversione è
x[n] = (1 / (2πj))] ]],
In pratica, questo viene valutato utilizzando il teorema dei residui: x[n] = Σ (residues di X(z) zn−1 a poli all'interno del contorno)].
Confronto con altri trasformatori
Comprendere il rapporto tra la Z e la trasformazione Laplace e la trasformata di Fourier in tempo discreto (DTFT) approfondisce la vostra intuizione DSP.
- Laplace Transform:] La trasformazione Laplace opera su segnali a tempo continuo. La Z-transform può essere vista come una versione campionata della trasformazione Laplace tramite la mappatura z = esT]], dove
- DTFT:[] Il DTFT è il Z-transform valutato sul cerchio unitario (z = ejΩ]]]]]] esiste solo se il ROC include il cerchio unitario.
Per ulteriori informazioni, consultare L'articolo Z-transform di Wikipedia e La Guida dello scienziato e dell'ingegnere alla elaborazione digitale dei segnali[[] di Steven W. Smith.
Conclusioni
La tecnologia Z-transform è uno strumento indispensabile per la gestione del segnale digitale moderno. Dalla progettazione di filtri audio di alta qualità e dall'analisi dei sistemi di controllo del feedback alla soluzione delle equazioni di differenza e alla valutazione della stabilità del sistema, le sue applicazioni sono vaste e critiche.