Introduzione all'analisi della mesh

L'analisi di Mesh è una pietra angolare della teoria dei circuiti lineari, fornendo un metodo sistematico per determinare le correnti sconosciute in una rete elettrica. Concentrandosi sulle correnti che circolano nei loop indipendenti, o sulle mesh, di un circuito planare, gli ingegneri possono ridurre una rete complessa ad un insieme gestibile di equazioni lineari.

L'eleganza dell'analisi delle maglie è nella sua capacità di imporre una convenzione di segno coerente e di gestire elementi resistivi, capacitivi e induttivi uniformemente attraverso le loro rappresentazioni di impedenza. In questo articolo, esploriamo le basi teoriche dell'analisi delle mesh, derivano la sua formulazione matematica, discutono considerazioni pratiche come fonti dipendenti e topologie non planari, e sondano le sue applicazioni nella simulazione e progettazione di circuiti moderni.

Fondazioni teoriche

Per il suo nucleo, l'analisi della mesh è costruita sui due pilastri delle leggi di Kirchhoff: la legge attuale di Kirchhoff (KCL) e la legge di tensione di Kirchhoff (KVL). Mentre KCL governa la conservazione della carica a nodi, KVL applica la conservazione dell'energia intorno a cicli chiusi.

Legge di tensione di Kirchhoff (KVL)

KVL afferma che la somma algebrica di tutte le tensioni scende intorno a qualsiasi ciclo chiuso in un circuito è identicamente zero. Questa è una conseguenza diretta della natura conservatrice del campo elettrico in un modello di circuito lumped. Quando si applica KVL a una rete, si somma la tensione attraverso ogni elemento nel ciclo, prendendo cura di assegnare un segno positivo per la tensione aumenta (ad esempio, quando si attraversa la corrente negativa verso un terminale positivo di tensione.

La legge attuale di Kirchhoff (KCL)

KCL afferma che la somma algebrica delle correnti che entrano in qualsiasi nodo equivale a zero. Nell'analisi della rete, KCL è implicitamente soddisfatta dalla definizione delle correnti di rete. Assumendo che una corrente unica scorre intorno a ogni rete, e esprimendo le correnti di branch come combinazioni lineari di queste correnti di rete, le correnti a nodi soddisfano automaticamente KCL. Questa applicazione implicita è una ragione per cui l'analisi mesh non produce in genere meno equazioni basate.

Il concetto di corrente Mesh

Una rete è definita come un anello che non contiene altri loop all'interno del diagramma del circuito, essenzialmente una "finestra" in un circuito planare. Ogni rete viene assegnata una corrente di rete, spesso indicata da ]][[FLT:]]] corrente [[FLT:]]]]

Questa rappresentazione riduce il numero di sconosciuti dal numero totale di correnti di ramo al numero di mesh indipendenti. Per un circuito planare con B[]] rami e N nodi, il numero di mesh indipendenti ] M è dato da [MFFFFFFFFFFFFFFF]

Formulazione matematica

Il processo di impostazione delle equazioni di rete comporta tre passaggi: identificare tutte le mesh, assegnare le correnti di rete, e applicare KVL a ciascuna rete. Le equazioni risultanti formano un sistema lineare che può essere risolto a mano per piccoli circuiti o per computer per grandi reti. I coefficienti delle correnti di rete sono determinati dalle resistenze (o, più in generale, impedimenti) degli elementi di circuito, e le fonti di tensione costante vengono da Astep-

Sistema di equazione lineare

[FLT] [FLT] [[L]] [FLT] [[L]]] [FLT][[L]]][FLT]][[FLT]]][[[FLT]]][[FLT]][[FLT]]][FLT]][[FLT]]]][[FLT]]]][FLT]][FLT]]][[[[[FLT]]]]]]]]]][[[[[FLT]]]]][FLT]]]]][[[[[[FLT]]]]]]]]]]]][[[[FLT]]]]][FLT][[[[FLT]]]]]][[[FLT]]]]]]]][[FLT]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[

[[23]][FLT]][[FLT]]][[FLT]]]]]] ]] ] [FLT:[FLT]]][[FLT]]]][FLT]][FLT]]][[[FLT]]]]]][[[FLT]]][[[FLT]]]]][FLT]]]]][[[[[[FLT]]]]]]]]]]]][[FLT]]][[FLT][[[[FLT]]]]]]]][FLT]]][FLT]]]][F]]]]][[[[[[[[[FLT]]]]]]]]][FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[

Per la maglia giusta:

[LT][FLT][[FLT]][[FLT]]][[FLT]]]]] 2]] ] [FLT]]][FLT]]][FLT]][[FLT]]]][[[FLT]]]]]][[[[FLT]]]][[FLT]]]]][[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]][FLT]]]][[FLT][[[[[FLT]]]]]]][FLT]][FLT]]]][F[F[FLT]]]]]][[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[

Si noti che la fonte di tensione V[]2[]] è attraversata dal suo terminale positivo a negativo, quindi appare con un segno negativo. Queste due equazioni possono essere risistemate in un sistema lineare standard:

[LT] [FLT] [[FLT]][FLT]][FLT]][FLT]][FLT]]][FLT]][FLT]][[FLT]]2]]][FLT][FLT][[FLT]]]][FLT]]][[[[FLT]]]]]]]][FLT]]][[[[FLT]]]][FLT]][FLT]]]]]]]][[[F][F]]]]]][F][F][F][F][FLT][[FLT]]]]]][F][F]][F]]]][F][F]]][F]]][F][FLT][F][FLT][F][FLT][FLT]]]]]]]]]]]]]]][F][[[[F][

[LT][FLT][FLT][FLT]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][FLT]][FLT][[FLT]][FLT]]][FLT][FLT]]][[[[FLT]]]]]][[[[FLT]]]]]][[FLT]][[FLT]]]]]]]]]]][[[[FLT]]][[FLT]]]]][[[F]]]][FLT][[FLT]]]]]]][FLT]]][FLT]]][F][F]][F]]]][[F][FLT]][[FLT][FLT][FLT]][FLT]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[

Forma di matrice

[LT]]] [[FLT]]]] ] ] [[FLT:]]]] ]] ]] ]]]]]] [[FLT]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

[LT] [FLT] [[FLT]] [[FLT]] [[FLT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]] [[FLT]]] [[FLT]]] [[FLT]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]] [[FLT]]]]] [[FLT]]]]]] [[FLT]]]]] [[[FLT]]]]] [[[FLT]]]]]] [[FLT]]]]]]] [[[[FLT]]]]]]]]]]]][[[[[[[FLT]]]]]]] [[FLT]]]]]]] [[[FLT]]]]]]][FLT]]]]]]]]] [[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[

Questa formulazione matrice si presta naturalmente a metodi di soluzione computazionale come l'eliminazione gaussiana o la decomposizione LU. La simmetria della matrice (fornito non fonti dipendenti sono presenti) suggerisce anche l'ortogonalità sottostante delle correnti mesh, una proprietà sfruttata in alcune tecniche di analisi dei circuiti avanzati.

Risolvere con la regola del Cramer o l'eliminazione Gaussiana

Per i piccoli circuiti, la regola di Cramer può essere applicata per trovare ogni corrente di rete come rapporto di determinanti. Per i circuiti più grandi, l'eliminazione di Gaussian è più pratica. Il processo consiste nella trasformazione della matrice aumentata []]R]] | ]] V] risolve la forma di simulazione di file-echelon e back-back]

Considerazioni pratiche

Mentre la procedura di base di analisi delle maglie funziona per i circuiti resistivi semplici con sorgenti di tensione indipendenti, i circuiti del mondo reale spesso introducono complicazioni: topologie non planari, sorgenti dipendenti e fonti attuali.

Circuiti Planar vs Non-Planar

L'analisi mesh-LT è strettamente applicabile solo ai circuiti planari, quelli che possono essere disegnati su una superficie piana senza alcun ramo di attraversamento. Se un circuito è non-planare, i rami si incrociano e non possono essere ridisegnati senza attraversare, allora il concetto di mesh perde la sua semplicità geometrica. In tali casi, l'analisi del loop (che usa un albero e un cotreo dalla teoria del grafico) o l'analisi nodale deve essere utilizzata.

Circuiti con sorgenti dipendenti

Quando un circuito contiene una fonte dipendente (controllata), l'extra sconosciuto che controlla la sorgente crea un accoppiamento che colpisce le equazioni della rete. La procedura rimane simile: scriviamo ancora KVL per ogni rete, ma la tensione o la corrente della fonte dipendente è espressa come funzione lineare di altre correnti di rete. Questo aggiunge termini alla matrice di resistenza che rompe la sua simmetria. Per esempio, una sorgente di tensione controllata dalla tensione mish presenta un' attento ciclo corrente moltiplica.

Esempio: Gestione della sorgente dipendente

[LT][LT][FLT] [[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]][[FLT]]] [[FLT]]] [[[FLT]]] [[[FLT]]]]] [[FLT]]]]] [[[[FLT]]]]]] [[[FLT]]]]]]]] [[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[FLT]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]][[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

Tecnica Supermesh

Quando una fonte attuale è presente e si trova sul confine tra due mesh, crea un vincolo che riguarda le correnti di rete. Per evitare di scrivere KVL direttamente attraverso la fonte corrente (che non è semplice), combiniamo le due mesh colpite in un "supermesh". Il supermesh è un percorso chiuso che esclude la fonte corrente, ma include tutti gli altri elementi delle due mesh.

Confronto con l'analisi Nodale

L'analisi mesh e l'analisi nodale sono metodi duali. L'analisi mesh utilizza KVL e tratta le correnti mesh come sconosciuti; è preferibile quando il circuito ha meno mesh rispetto ai nodi. L'analisi nodale utilizza KCL e tratta le tensioni nodi come analisti modificati; è preferito quando il circuito ha meno nodi rispetto alle mesh.

Applicazioni in Ingegneria

L'analisi della rete non è solo un esercizio accademico; è attivamente utilizzata nella progettazione, nell'analisi e nella risoluzione dei problemi dei sistemi elettrici ed elettronici.

Simulazione del circuito computerizzata

Programmi come SPICE (Programma di simulazione con Emphasis Circuit Integrato) e le sue varianti (PSpice, LTSpice, Ngspice) formulano internamente equazioni di circuito utilizzando un metodo noto come analisi nodale modificata, che è un ibrido di analisi nodale e mesh. Mentre l'analisi pura della maglia viene raramente utilizzata nei simulatori commerciali a causa della sua limitazione ai circuiti planari, l'idea principale di risolvere un sistema di simulazione di equazione basato su KVL appare

Progettazione e risoluzione dei problemi

Nel laboratorio, gli ingegneri spesso utilizzano l'analisi delle maglie per controllare rapidamente i calcoli delle mani per i piccoli circuiti. Quando si progetta un regolatore di tensione o un filtro, conoscere le correnti di rete aiuta a verificare che i componenti non sono sovraccaricati. La risoluzione dei problemi comporta spesso l'isolamento dei loop: se un particolare resistore è surriscaldamento, l'analisi delle maglie può identificare il contributo attuale da ogni fonte.

Limitazioni e estensioni

Nonostante la sua utilità, l'analisi delle reti ha dei limiti ben definiti. Si applica solo ai circuiti planari; i circuiti non planari richiedono l'analisi dei circuiti basati su un albero selezionato. L'analisi pura della rete non può gestire direttamente i circuiti con l'induttanza reciproca (accoppiamento del transformer) perché la tensione indotta in un loop dipende dal cambiamento attuale in un altro, questo introduce un accoppiamento che può essere modellato, ma che viola la semplice simmetria costante di resistenza di resistenza.

Un'altra limitazione si verifica quando il circuito contiene amplificatori operativi ideali (op-amps). I campioni op spesso forzano condizioni virtuali brevi tra i nodi, che possono essere più facilmente gestite dall'analisi nodale. In tali casi, un approccio combinato – a volte chiamato "analisi mesh con vincoli virtuali di terra" – viene utilizzato, ma spesso diventa più facile passare all'analisi nodale. La dualità suggerisce che un ingegnere competente dovrebbe essere comodo con entrambi i metodi.

Le estensioni dell'analisi delle maglie includono l'uso delle trasformazioni laplaciane per l'analisi del dominio di frequenza, l'applicazione dei metodi di stato-spazio per i sistemi dinamici, e l'integrazione delle correnti di loop grafiteorici per le reti su larga scala.

Conclusioni

Le basi teoriche dell'analisi delle maglie si basano saldamente sulla legge di tensione di Kirchhoff e sulla proprietà geometrica della planarità. Assegnando correnti di rete e scrivendo KVL intorno ad ogni loop indipendente, ingegneri e studenti possono determinare sistematicamente tutte le correnti di ramo in un circuito. La formulazione matematica fornisce un sistema lineare che può essere risolto a mano o da computer, e la tecnica rimane un punto di forza dell'istruzione di ingegneria elettrica.

Tuttavia, l'analisi della rete insegna un modo strutturato di pensare ai circuiti: evidenzia l'importanza dei loop, la sovrapposizione delle correnti e la simmetria inerente alle reti passive. Se stai analizzando un semplice circuito di lampade incandescenza o un amplificatore multistadio, il metodo di corrente della rete fornisce un percorso chiaro dal diagramma del circuito alla soluzione numerica.