Perché Navier-Stokes Equations Matter

Le equazioni Navier-Stokes formano la colonna vertebrale matematica delle dinamiche fluide, descrivendo come velocità, pressione, temperatura e densità si evolvono in fluidi mobili. Ogni goccia di pioggia, ogni raffica di vento, ogni turbina motore a getto, e ogni cellula del sangue che si muove attraverso un'arteria obbedisce a queste equazioni.

Claude-Louis Navier ha formulato le equazioni nel 1822 e George Gabriel Stokes le ha affinate nel 1845. Da allora, ingegneri e scienziati hanno lottato con loro in ogni disciplina che coinvolge il movimento fluido. La previsione meteo dipende dalla loro soluzione su tutta l'atmosfera. I progettisti di aeromobili hanno bisogno di soluzioni accurate per ridurre la resistenza e migliorare l'efficienza del combustibile.

Le equazioni sono ingannevolmente compatte, combinano la conservazione della quantità di slancio con la conservazione della massa e, in molti casi, la conservazione dell'energia. L'equazione di slancio include un termine inerzia, un termine di gradiente di pressione, un termine di diffusione viscoso, e un termine di forza corporea. Questa struttura appare semplice, ma il termine non lineare inerzia introduce una complessità straordinaria.

L'Istituto di matematica di Clay ha designato il problema dell'esistenza e della scorrevolezza dei Navier-Stokes come uno dei suoi sette problemi di premio del millennio. Una prova rigorosa di se le soluzioni globali e lisce sempre per le equazioni tridimensionali rimane sfuggente. Anche se emergesse una prova, il calcolo pratico continuerà a scoraggiarsi perché la gamma di scale spaziali e temporali nel flusso turbolento abbraccia molti ordini di grandezza.

Il calcolo quantistico, con la sua capacità di operare sulle sovrapposizioni quantistiche e di sfruttare l'impigliatura, offre un percorso che potrebbe aggirare la scalabilità esponenziale che rende le simulazioni di Navier-Stokes proibitivamente costose sulle macchine classiche.

Il problema di scala computazionale

Per capire perché il calcolo quantistico potrebbe aiutare, è utile capire esattamente dove si diffondono le simulazioni classiche. Le equazioni Navier-Stokes sono un insieme di equazioni differenziali non lineari parziali. In un regime turbolento, il flusso contiene eddies e vortici che coprono una vasta gamma di scale di lunghezza.

Il rapporto tra la scala più grande e quella più piccola cresce come numero di Reynolds e la potenza di tre quarti. Per flussi di numeri ad alta resistenza, che sono comuni in applicazioni aerospaziale e geofisica, questo rapporto diventa enorme. Una simulazione numerica diretta richiede una mesh fine abbastanza per risolvere i più piccoli eddie in tutto il dominio. Il numero di punti di griglia è in scala come il numero di Reynolds al potere di nove-quattro.

Questo scaling mette la simulazione numerica diretta di molti flussi importanti in modo permanente fuori dalla portata per i computer classici, indipendentemente dai miglioramenti della legge di Moore. Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) e la simulazione di grandi dimensioni (LES) offrono approssimazioni che riducono i costi computazionali, ma sacrificano l'accuratezza, soprattutto nei flussi con separazione, reattachment e forti gradienti di pressione.

Quantum Computing Basics per fluido dinamica

I computer quantistici elaborano le informazioni utilizzando bit quantici, o qubits. A differenza dei bit classici che sono sempre 0 o 1, un qubit può esistere in una sovrapposizione di entrambi gli stati. Quando più qubit sono impigliati, lo stato dell'intero sistema non può essere descritto indipendentemente per ogni qubit. Queste proprietà permettono ai computer quantistici di esplorare molti percorsi computazionali simultaneamente.

Per risolvere equazioni differenziali, gli algoritmi quantistici possono raggiungere velocità esponenziali in determinate condizioni. Gli approcci più promettenti per Navier-Stokes cadono in due categorie: algoritmi di sistemi lineari quantici e metodi di simulazione Hamiltoniana. Entrambi si affidano alla riforma della dinamica dei fluidi in una forma che i computer quantistici possono gestire in modo efficiente.

Gli algoritmi di sistemi lineari quantistici, come l'algoritmo Harrow-Hassidim-Lloyd, risolvono sistemi lineari di equazioni esponenzialmente più veloci degli algoritmi classici in alcuni regimi. Le equazioni di Navier-Stokes sono non lineari, ma possono essere linearizzate attraverso la discretizzazione e l'iterazione, o trasformate utilizzando tecniche come la linearizzazione di Carleman.

Gli approcci di simulazione Hamiltoniana trattano il flusso fluido come un sistema quantistico in evoluzione sotto uno specifico Hamiltoniano che corrisponde matematicamente all'operatore Navier-Stokes. Il computer quantistico simula questa evoluzione direttamente, potenzialmente catturando la piena dinamica non lineare senza la necessità di enormi griglie di discretizzazione.

Valutazione della fase quantistica e il problema dell'autovalore del Navier-Stokes

La stima di fase quantistica (QPE) è un algoritmo fondamentale nel calcolo quantistico, che stima gli autovalori di un operatore unitario. Quando applicato alle dinamiche fluide, QPE può essere utilizzato per analizzare la stabilità delle configurazioni di flusso o per trovare le modalità dominanti in un campo di flusso turbolento.

QPE offre un percorso per velocizzare esponenziale per questo sottotasco specifico. I ricercatori presso istituzioni tra cui MIT, Caltech e l'Università Tecnica di Monaco hanno pubblicato quadri teorici che mostrano come QPE potrebbe estrarre le modalità più energetiche da un campo di flusso utilizzando risorse computazionali molto meno rispetto ai metodi classici richiedono.

QPE richiede lunghi tempi di coerenza e porte quantistiche ad alta fedeltà. I dispositivi quantistici intermedi (NISQ) attuali rumorosi non possono sostenere le profondità del circuito necessarie per i calcoli QPE utili sui problemi Navier-Stokes. Tuttavia, poiché il calcolo quantistico di errore tollerante matura, l'analisi di fluidodinamica basata su QPE potrebbe diventare una delle prime applicazioni pratiche.

Variazione quantistica degli autosolver

Il computer quantistico prepara uno stato quantistico parametrizzato e misura la sua energia rispetto ad un dato Hamiltonian. L'ottimizzatore classico regola i parametri per minimizzare l'energia, trovando in modo efficace lo stato di base del sistema. Per applicazioni Navier-Stokes, VQE può essere utilizzato per risolvere i problemi di portata minimi.

VQE è più tollerante del rumore rispetto al QPE perché i circuiti quantistici sono più scarsi e l'ottimizzatore classico può compensare alcuni errori. Ciò rende VQE fattibile sull'hardware NISQ, almeno per piccoli problemi di test. I ricercatori di IBM Quantum hanno dimostrato soluzioni basate su VQE per problemi di dinamica fluida semplificata, tra cui l'equazione di Burgers monodimensionale e flussi di cavità bidimensionali.

Algoritmi quantistici per Equazioni differenziali non lineari

Le equazioni Navier-Stokes sono fondamentalmente non lineari. Il termine di avazione, dove la velocità moltiplica il gradiente della velocità, introduce prodotti di variabili sconosciute. Questa non linearità è la fonte primaria di turbolenza e l'ostacolo principale di simulazione quantistica efficiente.

Una strategia è emersa per affrontare questa sfida: un approccio utilizza la linearizzazione di Carleman, che ridefinisce il sistema non lineare come un insieme infinito di equazioni lineari introducendo nuove variabili che rappresentano i prodotti delle variabili originali.

Un altro approccio utilizza unità di elaborazione non lineare quantistiche, che sono circuiti quantistici specializzati progettati per applicare trasformazioni non lineari agli stati quantistici. Questi circuiti sfruttano il fatto che misurare uno stato quantistico produce una funzione non lineare delle ampiezza dello stato. Interleaving operazioni unitarie con misurazioni e post-elaborazione classica, è possibile implementare operazioni non lineari all'interno di un algoritmo quantistico.

Una terza strategia utilizza il calcolo del serbatoio quantistico e le macchine di apprendimento estremo quantistico. Si tratta di approcci classici-quantum ibridi in cui un circuito quantistico casuale e fisso mappa l'ingresso ad uno spazio ad alta dimensione caratteristica, e un modello lineare classico impara a prevedere l'output da quelle caratteristiche. Il circuito quantistico agisce come un sistema predittivo non lineare che può approssimare il comportamento delle equazioni Navier-Stokes senza risolverle esplicitamente.

Lattice Boltzmann Metodi su computer quantistici

I metodi Lattice Boltzmann (LBM) offrono un percorso diverso: invece di discotticare direttamente le equazioni Navier-Stokes, LBM simula il movimento e la collisione di particelle su un reticolo discreto. Il comportamento dei fluidi macroscopici emerge dalle dinamiche microscopiche delle particelle. LBM è già popolare sui computer classici per flussi complessi, soprattutto nei media porosi e nei sistemi multifase più facili da risolvere.

Su computer quantistici, LBM mappa naturalmente a passeggiate quantiche e automi cellulari quantici. Il passaggio di collisione diventa un'operazione unitaria sui qubit che rappresentano le funzioni di distribuzione delle particelle. Il passaggio di streaming diventa un'operazione di spostamento nel reticolo. Poiché queste operazioni sono unitarie, conservano la coerenza dello stato quantistico e possono essere eseguiti in modo efficiente su hardware quantistico.

I ricercatori dell'Università di Edimburgo e dell'Università di Ginevra hanno pubblicato algoritmi LBM quantici che raggiungono velocità polinomiali rispetto alle simulazioni LBM classiche. Il speedup deriva dal fatto che un computer quantistico può rappresentare la distribuzione delle particelle in tutti i siti reticoli simultaneamente, piuttosto che iterating su siti uno per uno.

Hardware Roadblocks e il percorso Avanti

L'hardware di calcolo quantistico è avanzato rapidamente nel corso degli ultimi dieci anni, ma le simulazioni pratiche di Navier-Stokes rimangono fuori portata per i dispositivi attuali.

Contabilità e connettività

I dispositivi NISQ attuali offrono al massimo poche centinaia di qubit fisici. Ogni qubit logico per il calcolo di un errore tollerante può richiedere centinaia o migliaia di qubit fisici per la correzione di errore. Il conteggio totale di qubit fisico necessario per le simulazioni di Navier-Stokes industrialmente rilevanti potrebbe essere di decine di milioni. Questa scala è di almeno un decennio di distanza, basata su mappa

Anche se sono disponibili abbastanza qubit, la connettività tra qubits è importante. Le simulazioni di Navier-Stokes richiedono interazioni tra i punti della griglia vicini, che mappano alle interazioni tra i qubit vicini nel processore quantico. Connettività di rete bidimensionale, dove ogni qubit si collega ai suoi quattro vicini di simulazione fluidi più vicini, mappa bene alla correzione di errore di codice di superficie ed à ̈ disponibile in molti attuali processori di qubit superconduttivi.

Coerenza e Fedeltà della Porta

I calcoli quantistici devono essere completati prima che i qubit decohere e perdano le loro informazioni quantiche. Il tempo di coerenza delle attuali qubit superconduttivi è sull'ordine di decine a centinaia di microsecondi. Un circuito di simulazione Navier-Stokes potrebbe richiedere miliardi di operazioni di gate, superando i limiti di coerenza attuali. Le fidelities Gate, ora generalmente superiori al 99,9% per cancelli mono-qubit meglio e al 99% per due

La correzione di errore quantico può proteggere contro errori di decoherence e gate, ma introduce un notevole overhead. Il codice di superficie, il più ampiamente studiato schema di correzione di errore, richiede un reticolo di qubit fisici per codificare un qubit logico. Il fattore di overhead dipende dal tasso di errore fisico e dal tasso di errore logico desiderato. Con i tassi di errore fisico attuali, la testa di sovraccarico potrebbe essere 1.000 qubit fisici per qubit logico o più.

Strategie dell'era NISQ

Mentre aspettano hardware tollerante, i ricercatori stanno sviluppando algoritmi di NISQ-era che possono funzionare su dispositivi rumorosi esistenti. Questi algoritmi commerciano alcuni dei speedup quantistici teorici per una maggiore robustezza al rumore. Metodi variabili, approcci ibridi di acquario-classico e il calcolo del serbatoio quantistico tutto rientrano in questa categoria. Possono gestire piccoli problemi di dinamica fluida bidimensionale oggi, e si scaleranno a problemi più grandi come l'hardware migliora.

La strategia NISQ sposta l'attenzione dalla risoluzione delle equazioni complete di Navier-Stokes alla risoluzione di modelli di ordine ridotto o di sottoproblemi specifici. Ad esempio, un dispositivo NISQ potrebbe non simulare l'intero flusso turbolento intorno a un'ala di aeromobili, ma potrebbe calcolare le modalità di instabilità dominante o ottimizzare i parametri in un modello di turbolenza.

Applicazioni che beneficeranno prima

Anche le soluzioni quantistiche parziali per i problemi di Navier-Stokes trasformeranno diverse industrie, le applicazioni che beneficeranno in primo luogo sono quelle in cui le attuali limitazioni computazionali sono più acute e dove le soluzioni approssimative sono insufficienti.

Ingegneria aerospaziale

Le simulazioni RANS e LES attuali possono prevedere l'elevatore e la resistenza con una ragionevole precisione dei flussi collegati, ma lottano con flussi separati, onde di shock trassone e trasferimento di calore. Il calcolo quantistico potrebbe consentire la simulazione numerica diretta di configurazioni di aerei completi in volo numeri Reynolds, eliminando la necessità di approssimazioni di modellazione turbolenze, consentendo ai progettisti di ottimizzare le configurazioni di sicurezza con il tempo di prova.

I costruttori di motori beneficiano della capacità di simulare le dinamiche di combustione all'interno dei motori a turbina a gas. L'interazione tra flusso turbolento, reazioni chimiche e trasferimento termico in un combustibile è estremamente complessa e scarsamente catturata dai modelli attuali.

Predizione del clima e del clima

I modelli meteorologici risolvono le equazioni Navier-Stokes su una griglia globale. La risoluzione dei modelli operativi attuali è di circa 5-10 chilometri. Molti processi importanti, tra cui la formazione del cloud, la convezione e la turbolenza dei livelli di confine, si verificano in scale più piccole della distanza della rete e devono essere parametrizzate.

Il calcolo quantistico potrebbe infine consentire ai modelli meteorologici globali con risoluzione su misura di chilometri, risolvendo temporali, uragani e fronti atmosferici in modo esplicito, migliorando notevolmente l'accuratezza delle previsioni meteorologiche e delle proiezioni climatiche.

Dinamica del fluido medico

Il flusso sanguigno nelle arterie e nelle vene segue le equazioni di Navier-Stokes. Nelle malattie cardiovascolari, i flussi diventano disturbati, e lo stress della parete della cesoia gioca un ruolo critico nella formazione e nella progressione della placca. Le simulazioni specifiche del flusso sanguigno del paziente possono aiutare i chirurghi a pianificare gli interventi, ma le simulazioni attuali sono lente e costose.

Oltre al flusso sanguigno, altre applicazioni mediche includono il flusso d'aria nei polmoni per la modellazione delle malattie respiratorie, le dinamiche dei fluidi cerebrospinali per la comprensione dell'idrocefalo e delle lesioni cerebrali traumatiche, e la consegna della droga attraverso il flusso sanguigno.

Applicazioni ambientali ed energetiche

L'ottimizzazione del layout dell'azienda eolica richiede la modellazione delle interazioni turbolenti tra turbine. I modelli attuali utilizzano approssimazioni che possono sovrastimare la produzione di energia del 10% o più. Il calcolo quantistico potrebbe consentire simulazioni accurate della sveglia, portando a layout dell'azienda eolica che producono più potenza e riducono i carichi di fatica della turbina.

Nel settore del petrolio e del gas, il flusso fluido attraverso la roccia porosa determina le prestazioni del serbatoio. Le simulazioni attuali del serbatoio utilizzano modelli in aumento che mediano su strutture di pori di microscala. Il calcolo quantistico potrebbe consentire simulazioni dirette su scala poro che catturano effetti capillari, wettabilità e flusso multifase con una maggiore fedeltà.

La roadmap per la dinamica fluida quantistica pratica

Il percorso delle piccole dimostrazioni di oggi alle simulazioni quantistiche di Navier-Stokes industriali di rilievo segue una chiara progressione: ogni fase si basa su quella precedente, con sviluppo hardware e algoritmo che avanza in parallelo.

Fase uno: prova del concetto

Attualmente siamo in questa fase. I ricercatori hanno dimostrato soluzioni quantiche per l'equazione di Burgers monodimensionale, flussi di cavità bidimensionali e flussi di canale di basso numero di Reynolds sui simulatori quantici e piccoli dispositivi NISQ. Queste dimostrazioni convalidano gli algoritmi e identificano le principali fonti di errore. Non hanno alcun valore pratico per l'ingegneria, ma stabiliscono la base per la fase successiva.

Fase due: Convalida di piccolo livello

Nei prossimi cinque anni, poiché l'hardware quantistico migliora a centinaia di qubit logici con tassi di errore inferiori, i ricercatori affronteranno flussi bidimensionali a numeri moderati di Reynolds. Queste simulazioni saranno convalidate contro simulazioni numeriche classiche e dati sperimentali. Il successo in questa fase dimostrerà che le soluzioni quantistiche possono raggiungere precisione paragonabile a metodi classici per flussi semplici.

Fase tre: Simulazioni Industrialmente rilevanti

Con computer quantistici di migliaia di qubit logici, programmati per la fine del 2020 fino agli inizi del 2030 secondo la maggior parte delle roadmap, le simulazioni tridimensionali diventeranno possibili. Queste simulazioni saranno ancora limitate a geometrie relativamente semplici e numeri di Reynolds moderati, ma supereranno le capacità di simulazione numerica diretta classica per quei casi.

Stage Four: Uso di routine

Dalla metà degli anni 2030 fino ai 2040, i sistemi di accumulo di milioni di logiche potrebbero consentire simulazioni di navigazione-stokes di routine per geometrie complesse e numeri di Reynolds. In questa fase, le simulazioni quantistiche completeranno simulazioni e esperimenti classici come strumento standard nel kit di strumenti di dinamica dei fluidi.

Collaborazione tra le Disciplina

Sbloccare il potenziale del calcolo quantistico per le equazioni Navier-Stokes richiede una collaborazione al di là di ciò che è tipico nella ricerca accademica o industriale. I dinamici fluidi devono imparare a pensare in termini di algoritmi quantici. I ricercatori di calcolo quantistico devono sviluppare un'intuizione per la fisica fluida. I matematici devono colmare il divario tra il mondo continuo delle equazioni differenziali parziali e il mondo discreto dei circuiti quantistici.

Il Quantum Fluids Research Group dell'Università di Cambridge riunisce fisici e ingegneri per sviluppare algoritmi quantistici per la turbolenza. L'IBM Quantum Network include aziende aerospaziali come Airbus e Boeing, insieme a società di algoritmi energetici e istituzioni di ricerca, per esplorare applicazioni quantistiche nelle dinamiche dei fluidi.

Le università stanno introducendo corsi di calcolo quantistico su misura per ingegneri e scienziati applicati, con un focus sugli algoritmi pratici piuttosto che su meccanica quantistica astratta. Le scuole estive e i workshop, come il Quantum Computing per il workshop Fluid Dynamics tenuto presso l'Istituto per la matematica pura e applicata a UCLA, stanno formando la prossima generazione di ricercatori che porteranno avanti questo campo.

Che cosa succederà

La misura finale di successo per i risolutori quantistici Navier-Stokes sarà la capacità di calcolare i flussi che sono impossibili con i metodi classici. Ciò non significa necessariamente simulare ogni eddy in un turbolenta flusso quantistico da zero. Potrebbe significare raggiungere l'accuratezza equivalente con gli ordini di grandezza meno tempo computazionale o energia simulazione. Potrebbe significare risolvere problemi inversi, dove gli ingegneri chiedono non "quali risultati di flusso da questa geometria" ma "che geometria produce estremamente il flusso desiderato.

Il successo potrebbe anche derivare da approcci ibridi di classe quantistica in cui un processore quantistico gestisce le parti più computazionalmente intensive della simulazione mentre il processore classico gestisce il resto. Questa visione ibrida è realistica per il prossimo termine e permette l'adozione incrementale come hardware quantistico migliora.

Le equazioni Navier-Stokes hanno resistito ad una soluzione computazionale completa per quasi due secoli. Il calcolo quantistico offre il primo percorso plausibile per rompere la barriera di scaling che ha metodi classici limitati. La strada è lunga e le sfide sono significative, ma il potenziale impatto sulla scienza, l'ingegneria e la società è enorme.