Comprendere il Trama di Nyquist

Il diagramma Nyquist è uno strumento fondamentale nell'ingegneria di controllo, utilizzato per analizzare la stabilità dei sistemi di feedback. Denominato dopo Harry Nyquist, questa rappresentazione grafica descrive la risposta di frequenza di un sistema, tracciando la funzione di trasferimento complessa G(jω)]] come la frequenza angolare ω varia da 0 a ∞.

I sottofondi matematici di Nyquist comple-s richiedono una comprensione approfondita di analisi complesse, in particolare la valutazione delle funzioni di trasferimento sull'asse immaginario e l'interpretazione geometrica della mappatura dei contorni. Gli ingegneri devono cogliere il concetto del Nyquist costtour], un percorso chiuso nel piano complesso che racchiude l'intero giusto mezzo piano (RHP)

Valutazione della funzione di trasferimento complessa

[FLT:] [[FLT:]] [[FLT]]] [[LT]]] [[FLT:]]]] è una funzione razionale della variabile complessa = σ + ] ]]]] ω, per l'analisi della risposta di frequenza, abbiamo impostato σ = 0, quindi [FLT = [FLT =

G(jω)H(jω) = Re(ω) + j Im(ω) = M(ω) e^{jφ(ω)}]

Qui, M(ω)] è l'angolo di fase (anche chiamato guadagno) e φ(ω)] è l'angolo di fase.

Per calcolare G(jω)H(jω) matematicamente, considerare una funzione di trasferimento generale fattore in pali e zeri:

G(s)H(s) = K \frac{\prod {i=1}^{m} (s - z i)}{\prod {k=1}^{n} (s - p k)}[]

= ]j], ogni termine diventa un vettore complesso dalla posizione zero o polo al punto j]]ω sull'asse immaginario. La magnitudine totale è il prodotto delle lunghezze delle fasi vettoriali zero divise dal prodotto della lunghezza

Fasi di costruzione matematica

La costruzione di un grafico Nyquist a mano (o utilizzando software) comporta una valutazione sistematica di G(jω)H(jω)] su un intervallo di frequenza.

  1. Identità della funzione di trasferimento[[[]] e scrivila in forma di Bode (poli e zero). Per i sistemi con ritardi di tempo, includere il fattore e^{-jωT}.
  2. Computare la magnitudine e la fase[[[] a un insieme di frequenze. In genere, vengono scelte basse frequenze (vicino 0) e alte frequenze (vicino ∞) con punti intermedi vicino alle frequenze di rottura (dove i contributi pali o zero cambiano segno).
  3. Iniziare a ω = 0: Il punto dipende dal tipo di sistema. Per il tipo 0 (no integratori), la trama inizia a K (il guadagno DC) sull'asse reale positivo. Per il tipo 1 (uno integratorω), la trama inizia ad una magnitudine infinita con una fase di −90°.
  4. Plot punti a frequenze crescenti[[]], che li collegano senza intoppi. Come aumenta la frequenza, la curva si sposta generalmente verso l'origine (da quando la magnitudine diminuisce). La fase può attraversare −180° alla frequenza di crossover di fase in cui la magnitudine è fondamentale per l'analisi della stabilità.
  5. Mirror per frequenze negative[[] (se si utilizza il contorno completo di Nyquist). La trama per ω da −∞ a 0 è la complessa coniugazione della trama per ω positiva, riflessa attraverso l'asse reale. Combinata con il ramo di frequenza positivo (e l'infinito semicerchio se il sistema ha un eccesso di pole-zero netto), si ottiene il percorso completo Nyquist.
  6. Identificare il numero di accerchiamenti di −1 + 0j][]] per applicare il criterio di stabilità.

Matematicamente, la curva Nyquist per frequenze positive può essere parametrizzata come ω ≤ | [0,∞). Per sistemi con relativa laurea (n − m) ≥ 1, la curva termina all'origine, avvicinandola con una fase di −(n−m)×90°. Per grado relativo 0 (stesso numero di poli e zero), il punto finale è un numero finito non zero complesso a ω → ∞ ∞ ∞ .

Il criterio di stabilità del Nyquist nel dettaglio

[LT] [Fl] [Fl] [Fl] [L'insieme] [Fl] [L'insieme] [Fl] [Fl] [Fl] [L'insieme] [Fl] [Fl] [L'insieme] [Fl] [Fl] [L'insieme] [Fl] [Fl] [FlT]] [Fl]] [FlTl]] [[]]] [F] [F]] [Fl'insieme] [[[[[L'insieme]]] [F]]]] [F] [F] [F] [F] [F]] [F]]] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl]]] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [F] [Fl] [Fl]]] [Fl]] [Fl] [Fl] [Fl] [Fl] [F

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N = Z − P[

dove:

  • N[] = numero di accerchiamenti di −1 + 0[j] dalla trama di Nyquist (contestato in senso orario come positivo, antiorario come negativo).
  • Z[] = numero di pali a ciclo chiuso nel RHP (zeros di 1 + G(s)H(s)] nel RHP).
  • P[] = numero di pali a cerchio aperto nel RHP.

[FLT:] [[FLT]]] = 0. Così, il sistema a ciclo chiuso è stabile se e solo se il diagramma di Nyquist di G(s)H(s) circonda il punto −1 + 0

Applicare il criterio: conteggio dell'accerchiamento

Il conteggio comprende rigorosamente l'analisi del percorso Nyquist sul contorno completo, compresa la mappatura del semicerchio infinito. Per sistemi con relativa laurea ≥ 1, l'infinito mappa a semicerchio ad un piccolo cerchio intorno all'origine nel G(s)H(s)]] piano (o ad un punto fisso se relativo grado zero).

  1. Disegnare il diagramma di Nyquist per ω da 0 a ∞.
  2. Riflettere sull'asse reale per ω da 0 a −∞.
  3. Se il sistema ha dei poli sull'asse immaginario (ad esempio, integratori), rientrare nel contorno Nyquist con piccoli semicerchio a destra per evitare questi poli, e mappare quelle rientranze a grandi archi nel piano G(s)H(s)].
  4. Conta il numero netto di incircoli in senso orario di −1 tracciando la curva completa chiusa (compresa la mappatura infinita dei semicerchio).

Matematicamente, il conteggio dell'accerchiamento N può essere calcolato tramite il numero di avvolgimento integrale:

N = \frac{1}{2πj} \oint {Nyquist \, cotour} \frac{G'(s)H'(s)}{1+G(s)H(s)} \, ds

[LT1]] si verifica quando la fase di G(jω)H(jω)] attraversa −180° (cioè, il punto −1 sull'asse reale) mentre l'entità è ≥ 1. Questa condizione definisce il [GAL:2]

Esempi pratici di costruzione

Per consolidare la comprensione, consideriamo un semplice sistema di primo ordine e un sistema di secondo ordine con smorzamento.

Sistema di pronto intervento: G(s) = 1/(s+1)

[LT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT]] [[FLT]]] [[FLT]] [FLT]] [FLT] [FLT] [FLT]] [FLT]] [FLT]] [FLT] [FLT]] [FLT] [FLT]]] [F]] [F]] [F]]] [F] [F]] [F] [F]] [F] [Flo] è più basso [Flo] [F] [Flo] [[Segui]]]]] [[Scorre]]]]]]]] [[Segui]]]]]]]] [[Segui] [Flo]]]]]] [Flo] [Flo] [[Segui]]]]]] [[S

Sistema di secondo ordine con smorzamento: G(s) = ω n2/(s2 + 2ζω n s + ω n2)

[LT] il sistema di accumulo di ω [7] è più stabile [1]

Per vedere un corretto crossover di fase, prendere in considerazione un sistema con un polo aggiuntivo a bassa frequenza: [G(s) = 1/(s+1)(s2 + 2ζ s + 1)]. Qui la fase può attraversare −180° ad un certo ω finito, e la trama può accerchiare −1 se il guadagno è sufficientemente alto.

Collegamento di Nyquist, Bode e Nichols Trama

Il grafico di Nyquist è strettamente correlato alla trama di Bode (magnitudine e fase) e al grafico Nichols. Il grafico di Bode fornisce la magnitudine in dB e la fase in gradi come funzioni della frequenza di log.

Il grafico Nichols trasforma il diagramma Nyquist in un diagramma di magnitudo Cartesiano (dB) vs fase (deg). Questa trasformazione è utile per la progettazione dei controller perché i margini di guadagno e di fase sono facilmente visibili, e la risposta a ciclo chiuso può essere letto utilizzando i cerchi M. Tutte e tre le rappresentazioni sono equivalenti matematicamente; la scelta dipende dal contesto e la preferenza dell'ingegnere.

Limitazioni e considerazioni avanzate

In primo luogo, per i sistemi con ritardi di tempo, la curva di Nyquist diventa infinita e altamente curva, che richiede un'attenta gestione della mappatura infinita dei semicerchio. Il ritardo aggiunge un cambiamento di fase −ωT che si accumula linearmente, causando il diagramma di Nyquist a spirale verso l'interno o verso l'esterno a seconda del ritardo.

In secondo luogo, la trama di Nyquist come descritto è per sistemi a tempo continuo. Per sistemi a tempo discreto (z-domain), il contorno di Nyquist diventa il cerchio di unità, e il criterio di stabilità esamina circoscrizioni di −1 nel piano w o l'uso della trasformazione bilineare per mappare al piano s. Le basi matematiche rimangono simili, ma i cambiamenti del contorno.

In terzo luogo, il criterio di Nyquist presuppone che il sistema a ciclo chiuso sia stabile se e solo se il diagramma di Nyquist a pianta aperta circonda −1 in modo appropriato. Tuttavia, questo richiede che il carattere dei poli a cerchio aperto nel RHP sia conosciuto [a priori]]. Se la funzione di trasferimento a pale aperta ha dei poli sull'asse immaginario (compresi gli integratori puri)

Infine, la trama di Nyquist à ̈ uno strumento di frequenza-dominio; fornisce le condizioni necessarie e sufficienti per la stabilità solo per sistemi lineari time-invariant (LTI) . Per i sistemi non lineari o di time-varying, il criterio di Nyquist non si applica direttamente, anche se le estensioni come il criterio di circolazione] esistono per alcune classi di non linearità.

Conclusioni

La costruzione di un diagramma di Nyquist è profondamente radicata nell'analisi complessa, in particolare la mappatura del contorno di Nyquist attraverso la funzione di trasferimento open-loop e il principio dell'argomento.

Per ulteriori informazioni, fare riferimento ai libri di testo standard come ]L'articolo di Wikipedia sul criterio di stabilità del Nyquist[], ]Control Tutorials for MATLAB and Simulink[]], o il testo classico ]]Modern Control Engineering]]]]] di Ogata risorse di derivazioni più profonde.