De Fast Fourier Transform (FFT) is een van de meest transformerende algoritmen in de moderne computer- en signaalverwerking. Gedefinieerd door Gilbert Strang als "het belangrijkste numerieke algoritme van onze levensduur," heeft de Fiat een revolutie doorgevoerd hoe we signalen analyseren en verwerken in talloze toepassingen. Een UMTS is een algoritme dat de discrete Fourier transform (DFT) van een reeks, of zijn inverse (IDFT), een signaal van zijn oorspronkelijke domein (vaak tijd of ruimte) omzet naar een representatie in het frequentiedomein en vice versa. Deze uitgebreide gids onderzoekt de theorie, implementatie en praktische toepassingen van de OFI voor een efficiënte signaalanalyse.

Wat is de snelle Fourier Transform?

De Fast Fourier Transform (FFT) is een wiskundig algoritme dat efficiënt het frequentiebereik van signalen, trillingen en andere golfvormen analyseert en meet. Door een reeks gelijk verdeelde datamonsters om te zetten in één enkele reeks, vermindert deBV aanzienlijk de rekeninspanning die nodig is om de discrete Fourier transform (DFT) en zijn inverse te berekenen. Het fundamentele doel van deBV is om complexe tijd-domeinsignalen in hun samenstellende frequentiecomponenten op te splitsen, waardoor het mogelijk is om te begrijpen welke frequenties aanwezig zijn in een signaal en op welke amplitudes.

De "Fast Fourier Transform" (FFT) is een belangrijke meetmethode in de wetenschap van audio- en akoestiekmeting. Het zet een signaal om in individuele spectrale componenten en geeft daardoor frequentieinformatie over het signaal. In tegenstelling tot het analyseren van een signaal in het tijddomein, waar je ziet hoe amplitude verandert in de tijd, onthult de frequentiedomeinanalyse de onderliggende periodieke componenten die het signaal vormen.

De DFT wordt verkregen door een reeks waarden te decomponeren in componenten van verschillende frequenties. Deze bewerking is nuttig in vele gebieden, maar de directe berekening vanuit de definitie is vaak te traag om praktisch te zijn. Dit is precies waar het UMTS-algoritme van onschatbare waarde wordt, wat computationele onaanvaardbare berekeningen omzet in praktische, real-time bewerkingen.

Historische Ontwikkeling en Wiskundige Stichting

Oorsprong van het algoritme

De geschiedenis van de Fiat is fascinerend en strekt zich veel verder uit dan velen zich realiseren. Deze ideeën waren door de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss in 1805 getheoretiseerd tijdens zijn onderzoek naar de banen van asteroïden. Echter, hij was niet in staat om zijn ideeën uit te voeren. De ontwikkeling van snelle algoritmen voor DFT werd voorgeprogrammeerd in Carl Friedrich Gauss' ongepubliceerde 1805 werk over de banen van asteroïden Pallas en Juno. Gauss wilde de banen van de steekproefwaarnemingen interpoleren; zijn methode was zeer vergelijkbaar met die welke in 1965 zou worden gepubliceerd door James Cooley en John Tukey, die over het algemeen worden toegeschreven aan de uitvinding van het moderne algemene FGB-algoritme.

De Commissie heeft de Commissie verzocht om de volgende opmerkingen te maken:

Computational Complexity Advantage

De Commissie is van mening dat de Commissie de door de Commissie verstrekte informatie over de berekening van de DFT-waarde van de DFT-waarde van de DFT-waarde in de periode 2011-2011 niet heeft onderzocht, aangezien de DFT-waarde van de DFT-waarde in de periode 2011-2011 niet meer dan de DFT-waarde van de DFT-waarde van de DFT-waarde is.

Om dit dramatische verschil te illustreren, denk aan een praktisch voorbeeld. Het duurt ongeveer 30 seconden voordat het snelle Fourier-transformator algoritme de discrete Fourier-transformator voor een probleem van grootte N = 109 berekent. In tegenstelling, het reguliere algoritme zou enkele decennia nodig hebben. Deze exponentieel verbeterde computationele efficiëntie is wat real-time signaalverwerking mogelijk maakt in moderne toepassingen.

De Commissie heeft de Commissie in overweging gegeven om de berekening van de toerekeningsratio van de activa van de groep te baseren op de berekening van de netto contante waarde van de activa van de groep.

Begrijpen van het Cooley-Tukey-algoritme

Kernbeginselen

Het algoritme van CooleyTukey, genoemd naar J. W. Cooley en John Tukey, is het meest voorkomende snelle Fourier transform (FFT) algoritme. Het her-expresseert de discrete Fourier transform (DFT) van een willekeurige samengestelde grootte in termen van kleinere DFT's, recursief, om de berekeningstijd te verminderen tot O(N log N) voor hoog composiet N (smooth numbers). Deze recursieve decompositie is de sleutel tot de efficiëntie van het algoritme.

De snelle Fourier-transformatie is een methode die het mogelijk maakt de DFT in O(n log n) tijd te berekenen. Het basisidee van de UMTS is om de verdeling en de overwinning toe te passen. We verdelen de coëfficiëntvector van de polynomial in twee vectoren, recursief berekenen de DFT voor elk van hen, en combineren de resultaten om de DFT van de volledige polynomial te berekenen. Deze benadering splitst systematisch een groot probleem in veel kleinere, meer beheersbare subproblemen.

Radix-2 Decimatie-in-tijd

Een radix-2 decimation-in-time (DIT) [51] is de eenvoudigste en meest voorkomende vorm van het Cooley algoritme, hoewel sterk geoptimaliseerde Cooley .Tukey implementaties gebruiken meestal andere vormen van het algoritme. Radix-2 DIT verdeelt een DFT van grootte N in twee onderling gespleten DFT's (vandaar de naam "radix-2") van grootte N/2 met elke recursieve fase. Deze methode werkt bijzonder goed wanneer de invoer grootte is een macht van twee.

De belangrijkste observatie van Cooley en Tukey is dat deze sommatie op interessante manieren uiteen kan worden gebroken. In het bijzonder kunnen we de sommatie scheiden in zelfs indices en oneven indices. Door de inputsequentie te scheiden in even-geïndexeerde en oneven-geïndexeerde elementen, kan het algoritme elke subset onafhankelijk verwerken voordat de resultaten worden gecombineerd.

De invoervector wordt eerst geschreven als een reeks rijen, elke rij bevat slechts twee componenten. Vervolgens ondergaat elke rij de Fourier transformatie van grootte twee. De resulterende elementen worden vermenigvuldigd met de twiddle factoren. Dit proces gaat recursief door totdat de gehele transformatie voltooid is.

Begrijpen van tweelingfactoren

De Commissie heeft de Commissie in overweging gegeven om de in de overwegingen 4 en 4 beschreven methode te gebruiken om te bepalen of de steun verenigbaar is met de interne markt.

Door de balans tussen de amplitude van de sinusgolf en de amplitude van de cosinusgolf aan te passen, verschuiven twiddlefactoren de fase van de resulterende sinusoïd zonder de amplitude te wijzigen. Dus twiddlefactoren verminderen de benadering van de "one-size-fits-all" van de Fiat en corrigeren de fasen van de output van de vorige fase. Zonder twiddlefactoren zou de OFI geen correcte verantwoording afleggen voor de faserelaties tussen verschillende frequentiecomponenten.

De Commissie merkt op dat de Commissie in haar opmerkingen van 12 juli 2012 heeft geconcludeerd dat de Commissie geen opmerkingen heeft ontvangen over de verenigbaarheid van de maatregel met de interne markt.

De Vlinderoperatie

De vlinderoperatie is de fundamentele bouwsteen van het algoritme van de Fiat. Het algoritme wint zijn snelheid door de resultaten van de tussenliggende berekeningen opnieuw te gebruiken om meerdere DFT-uitgangen te berekenen. Merk op dat de uiteindelijke outputs worden verkregen door een +/− combinatie, die gewoon een DFT is (soms een vlinder in deze context genoemd).Dit hergebruik van tussenresultaten is wat de OFI zijn rekenefficiëntie geeft.

Elke vlinderoperatie heeft twee complexe ingangen, past passende twiddle factoren toe, en produceert twee complexe outputs door toevoeging en aftrekken operaties. De schoonheid van deze structuur is dat het kan worden herhaald in meerdere stadia, met elke fase verwerking steeds grotere DFT-formaten. De stroom grafiek weergave van deze bewerkingen lijkt op een vlinder vleugels, vandaar de naam.

De Commissie heeft de volgende opmerkingen gemaakt:

Algoritmeselectie

De Commissie heeft de Commissie verzocht om de in de overwegingen 4 en 5 beschreven redenen, die niet relevant zijn voor de berekening van de toerekenings- en berekeningskosten, te onderzoeken en te onderzoeken of de Commissie de in de overwegingen 4 tot en met 6 uiteengezette criteria heeft toegepast.

De belangrijkste beperking van de radix-2 methode is dat het alleen werkt als N een integraal vermogen van 2. Als N = 37 (bijvoorbeeld), deze methode niet kan worden gebruikt. De radix-2 methode is slechts één speciaal geval van de algemene methode van Cooley en Tukey. In het radix-2 geval, verdelen we een ingang van lengte N in 2 ingangen van lengte N/2. Wanneer de invoergrootte is niet een macht van twee, gemengde-radix of andere gespecialiseerde algoritmen moeten worden gebruikt.

Meer in het algemeen, als N deelbaar is door een aantal integer p, kunnen we delen in p-ingangen van lengte N/p. Het basisprincipe achter deze meer algemene "mixed-radix" benadering is hetzelfde: de DFT's van de kleinere gevallen worden gecombineerd om het grotere geval te vormen door de juiste vertraging ("twiddle factor") op elk van deze toe te passen. Deze meer algemene benadering behoudt de N log N-computationele complexiteit voor bredere klassen van inputlengte (niet alleen bevoegdheden van 2).

Invoersignaalvoorbereiding

Het proces begint met het nemen van het signaal in het tijddomein. Deze stap houdt in dat een reeks datapunten wordt vastgelegd die de amplitude van het signaal met regelmatige intervallen weergeven, bekend als de bemonsteringssnelheid. De bemonsteringssnelheid is kritiek omdat het bepaalt hoe nauwkeurig je het signaal in het frequentiedomein kunt reconstrueren.

Volgens de Nyquist Theorem moet de bemonsteringssnelheid minstens tweemaal het hoogste frequentie-element van het signaal zijn om aliassen te voorkomen (een vorm van vervorming veroorzaakt door ondersampling). Dit fundamentele principe zorgt ervoor dat alle frequentie-informatie in het oorspronkelijke signaal nauwkeurig kan worden opgevangen en gereconstrueerd.

Om dit uitstrijkje te voorkomen wordt in de praktijk "vensters" op het signaalmonster toegepast. Met behulp van een wegingsfunctie wordt het signaalmonster min of meer voorzichtig in- en uitgeschakeld. Het resultaat is dat het bemonsterde en daarop volgende "geraamde" signaal begint en eindigt bij amplitude nul. Venstersfuncties helpen spectrale lekkage te minimaliseren, wat optreedt wanneer het signaal wordt geanalyseerd, en geen geheel aantal perioden binnen het bemonsteringsvenster bevat.

Optimalisatietechnieken

De Commissie is van mening dat de Commissie de in de overwegingen 4 en 4 beschreven benadering van de Commissie niet kan rechtvaardigen dat de Commissie de in de overwegingen 4 en 4 beschreven criteria niet in acht neemt, aangezien de Commissie van oordeel is dat de in de overwegingen 4 en 4 beschreven criteria niet van toepassing zijn op de berekening van de steun.

In de praktijk gebruiken moderne [-] implementaties zoals de snelste Fourier Transform in het Westen (FFTW) veel combinaties van strategieën om de rekentijd voor een bepaalde ingangslengte te optimaliseren. Deze sterk geoptimaliseerde bibliotheken selecteren automatisch het beste algoritme en parameters op basis van de specifieke inputgrootte en hardwarekenmerken, waarbij ze vaak prestaties behalen die dicht bij theoretische grenzen liggen.

In MATLAB wordt de implementatie van de Fiat geoptimaliseerd om uit verschillende algoritmen van de Fiat te kiezen, afhankelijk van de gegevensgrootte en berekening. MATLAB en Simulink ondersteunen ook de implementatie van de Fiat op specifieke hardware zoals FPGA's, processors waaronder ARM, en NVIDIA GPU's, door middel van automatische codegeneratie. Hardware-specifieke optimalisaties kunnen aanzienlijke verbeteringen in de prestaties bieden voor computerintensieve toepassingen.

Real-Time vs. na-Processing toepassingen

De Commissie heeft de Commissie in kennis gesteld van de door de Commissie verstrekte informatie.

De Fast Fourier Transform (FFT) kan zowel in real-time als naverwerkingscontext worden toegepast. Het onderscheid tussen beide is voornamelijk afhankelijk van de toepassing en de specifieke eisen van de taak die bij de hand zijn. Real-time-verwerking van de UMTS vereist onmiddellijke berekening en reactie, waardoor het geschikt is voor interactieve en tijdkritische toepassingen.

Real-time-initiators worden gebruikt in toepassingen waar directe frequentie-domeininformatie vereist is. Voorbeelden zijn real-time spectrumanalysers, audio-effectenverwerking (zoals real-time equalizers), bepaalde telecommunicatietoepassingen en actieve geluidscontrole. Deze toepassingen vereisen lage latentie en consistente verwerkingssnelheden om de real-time prestaties te behouden.

De Commissie heeft de Commissie verzocht om de in de overwegingen 4 en 5 beschreven criteria te gebruiken om te bepalen of de maatregel verenigbaar is met de interne markt.

Na verwerking van toepassingen

Post-processing wordt meestal gebruikt wanneer er geen onmiddellijke noodzaak voor de getransformeerde gegevens, of wanneer meer complexe en computationeel intensieve analyse nodig is. Voorbeelden zijn trillingsanalyse van machines (waar gegevens worden verzameld in de tijd en vervolgens geanalyseerd), onderzoeksstudies, en bepaalde beeldverwerkingstaken. Post-processing maakt een grondiger analyse mogelijk zonder de beperkingen van real-time prestatievereisten.

Zonder de beperking van de tijd, meer gedetailleerde of uitgebreide analyse kan worden gedaan. Gegevens kunnen opnieuw worden geanalyseerd met verschillende parameters, algoritmen, of modellen als nodig. Deze flexibiliteit maakt post-processing ideaal voor onderzoek, kwaliteitscontrole, en gedetailleerde kenmerkende toepassingen waar nauwkeurigheid en volledigheid belangrijker zijn dan snelheid.

De Commissie heeft de volgende opmerkingen gemaakt:

Audio- en spraakverwerking

De Commissie is van mening dat de Commissie de door de Commissie voorgestelde maatregelen niet kan rechtvaardigen.

Deze technieken kunnen worden gebruikt voor verschillende signalen zoals audio- en spraak, radar, communicatie en andere sensorgegevenssignalen.

Spectrumanalysers zijn ook sterk afhankelijk van de aanwezigheid van de UMTS voor het vastleggen en weergeven van frequentiespectra over een breed scala van signalen, van RF tot audio. Het UMTS-algoritme laat deze analysers toe om grote hoeveelheden gegevens efficiënt te verwerken, waardoor u een gedetailleerd beeld krijgt van signaalgedrag in de loop van de tijd, met de mogelijkheid om specifieke frequentieanomalieën te identificeren.

Beeldverwerking en -compressie

Bij beeldverwerking wordt de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van de waarde van

Op basis van de op de stroomlijning van de frequentie gebaseerde beeldfilters kunnen geavanceerde bewerkingen worden uitgevoerd, zoals randdetectie, ruisreductie en beeldverbetering. Door het manipuleren van frequentiecomponenten kunnen ingenieurs specifieke ruimtelijke frequenties selectief versterken of verminderen, waardoor nauwkeurige controle over beeldkenmerken mogelijk is. Deze mogelijkheid is essentieel voor medische beeldvorming, satellietbeeldanalyse en toepassingen met computerzicht.

Telecommunicatie en draadloze communicatie

De Commissie heeft de Commissie verzocht om de volgende opmerkingen te maken:

De Commissie heeft de Commissie in overweging gegeven om de volgende opmerkingen te maken:

Trillingsanalyse en machinebouw

De Commissie is van mening dat de Commissie de in de punten 1 en 2 beschreven criteria niet kan toepassen op de beoordeling van de verenigbaarheid van de steun met de interne markt.

Data-acquisition systems (DAQs) gebruiken vaak UMTS in de post-processing om ingenieurs te helpen de frequentieresponsen te analyseren in mechanische trillingen, structurele testen of akoestiek. Dit zorgt voor een dieper begrip van de systeemprestaties en zorgt ervoor dat signalen binnen aanvaardbare parameters blijven. Structurele ingenieurs gebruiken de UMTS om bouw- en brugtrillingen te analyseren, zodat structuren bestand zijn tegen seismische activiteit en andere dynamische belastingen.

Het is toegepast op architectonische codes zodat gebouwen kunnen weerstaan aan de meest krachtige seismische golven. Door het begrijpen van de frequentie respons van structuren, ingenieurs kunnen gebouwen ontwerpen die resonante frequenties die kunnen leiden tot catastrofale mislukking tijdens aardbevingen te voorkomen.

Wetenschappelijke en wiskundige toepassingen

De Commissie heeft de Commissie in overweging gegeven om te beoordelen of de maatregel verenigbaar is met de interne markt.

De Commissie heeft de volgende opmerkingen gemaakt:

Dit kan worden gebruikt om de training van een convolutionair neuraal netwerk te versnellen. Viervoudige transformatie kan het trainingsproces van convolutionaire neurale netwerken versnellen. In machine learning en kunstmatige intelligentie kunnen op de stroomversnelling van het neurale netwerk, met name voor convolutionele neurale netwerken die worden gebruikt bij taken op het gebied van beeldherkenning en computervisie, aanzienlijk versnellen.

Financiële en economische analyse

De Commissie heeft ook financiële toepassingen, waarbij zij een manier kan voorstellen om prijsbewegingen in real-time te bestuderen. Financiële analisten gebruiken de balans van de financiële sector om cyclische patronen in marktgegevens te identificeren, tijdreeksen te ontleden tot trend- en seizoencomponenten en periodieke gegevens in economische indicatoren te detecteren. Deze frequentie-domeinanalyse kan verborgen patronen onthullen die moeilijk te onderscheiden zijn in ruwe tijd-reeksgegevens.

Opkomende toepassingen

Het snelle algoritme van Shor voor integer factorisatie op een quantumcomputer heeft een subroutine om DFT van een binaire vector te berekenen. Dit wordt geïmplementeerd als een reeks 1- of 2-bits kwantumpoorten die nu bekend staan als quantum-initiators, wat effectief de Cooley-Tukey-initiator is die gerealiseerd wordt als een specifieke factorisatie van de Fourier-matrix. Quantum computing vertegenwoordigt een grens waar de aard van de OFI-principes aangepast worden aan quantumalgoritmen, waardoor cryptografie en computationele complexiteit mogelijk revolutionair worden.

De Commissie heeft de volgende opmerkingen gemaakt:

Korte termijn Fourier Transform (STFT)

De Commissie is van mening dat de Commissie de in de overwegingen 4 en 4 beschreven methode voor de berekening van de maximale steunintensiteit van de steun niet heeft gebruikt om de kosten van de maatregel te dekken.

Mixed-Radix en Split-Radix Algoritmes

Mixed-radix implementaties hanteren composiet maten met een verscheidenheid van (typisch kleine) factoren naast twee, meestal met behulp van het O(N2) algoritme voor de belangrijkste basis gevallen van de recursie. Split radix mergets radices 2 en 4, het gebruik van het feit dat de eerste transformatie van radix 2 vereist geen twiddle factor, om te bereiken wat was lang de laagst bekende rekenkundige werking tellen voor power-of-twee maten. Deze geavanceerde varianten optimaliseren prestaties voor specifieke invoergroottes en hardware-architecturen.

De Commissie heeft de volgende opmerkingen gemaakt:

De methode van Cooley-Tukey is niet geschikt als de inputlengte N een priemgetal is (bijv. 37, of 257), en kan niet gelijkmatig in stukken worden verdeeld. In deze gevallen zijn alternatieve methoden ontwikkeld die nog steeds een looptijd bereiken die schalen zoals N log N. Gespecialiseerde algoritmen zoals Rader's algoritme en Bluestein's algoritme verwerken prime-sized transformeert efficiënt, zodat de prestaties van de OTC optimaal blijven ongeacht de invoergrootte.

Praktische uitvoeringsrichtsnoeren

De juiste grootte van de OFI kiezen

De Commissie heeft de Commissie verzocht om de volgende opmerkingen te maken:

Geheugenbeheer en interne-ruimte-berekening

Efficiënte implementaties van de Fiat voeren vaak berekeningen in plaats uit, wat betekent dat de uitvoer de invoerarray overschrijft om het geheugengebruik te minimaliseren. Deze benadering is vooral belangrijk voor embedded systemen en real-time toepassingen waar het geheugen beperkt is. Echter, in plaats van berekening resulteert meestal in bit-omgekeerde uitvoer ordering, waarvoor een extra niet-scrambling stap nodig is om de natuurlijke orde te herstellen.

Numerieke precisie-overwegingen

Merk op dat het hier gepresenteerde algoritme van de CFD in O(n log n) tijd draait, maar het niet werkt voor het vermenigvuldigen van willekeurige grote polynomialen met willekeurige grote coëfficiënten of voor het vermenigvuldigen van willekeurige grote gehele getallen. Het kan gemakkelijk omgaan met polynomialen van grootte 105 met kleine coëfficiënten, of het vermenigvuldigen van twee aantallen van grootte 106, die meestal genoeg is voor het oplossen van concurrerende programmeringsproblemen. Floating-point precisiebeperkingen worden significant voor zeer grote transformaties of wanneer hoge numerieke nauwkeurigheid is vereist.

Hardware-specifieke optimalisaties

De implementatie van de in de praktijk toegepaste software is niet zo eenvoudig als de implementatie van software. Onjuiste beslissingen over technische afwegingen zoals snelheid en nauwkeurigheid of inefficiënte code kunnen de kwaliteit en prestaties van een toepassing beïnvloeden. Met de MATLAB en Simulink codegeneratietools is het eenvoudig om de in de praktijk toe te passen UMTS op verschillende hardware-apparaten, van algemene processoren zoals ARM tot meer gespecialiseerde apparaten zoals FPGA.

Moderne processoren met SIMD (Single Instruction, Multiple Data) mogelijkheden kunnen meerdere datapunten tegelijk verwerken, aanzienlijk versnellen van de berekening van de UMTS. GPU implementaties kunnen nog grotere snelheden bereiken voor grote transformaties door gebruik te maken van massaal parallelisme. Gespecialiseerde DSP (Digital Signal Processing) chips omvatten vaak hardware-versnelde UMTS-eenheden geoptimaliseerd voor real-time signaalverwerking toepassingen.

Vaak Pitfalls en hoe ze te vermijden

Spectrale lek

In de Fourier-transformatie wordt ervan uitgegaan dat het bemonsterde signaalsegment periodiek wordt herhaald gedurende een oneindige periode. Dit brengt twee conclusies: De UMTS is alleen geschikt voor periodieke signalen. Het bemonsterde signaalsegment moet een hele reeks perioden bevatten. Wanneer deze omstandigheden niet worden vervuld, ontstaat spectrale lekkage, waardoor energie uit één frequentiebak zich in aangrenzende bakken verspreidt. Windowing-functies beperken dit effect door het signaal soepel af te tapen aan de grenzen.

Bijnaam

Dergelijke maatregelen zijn noodzakelijk om de risico's van de toepassing van de maatregelen te beperken en om de risico's van de maatregelen te beperken.

DC Offset en Trend Verwijdering

De Commissie is van mening dat de Commissie de in de overwegingen 4 en 5 beschreven benadering van de Commissie niet kan rechtvaardigen.

Toekomstige ontwikkelingen en onderzoeksrichtingen

De studie van de Commissie heeft betrekking op de volgende drie aspecten: de ontwikkeling van de algoritmen voor de algoritmen van Fourier transform (FFT) en de parallelle implementaties daarvan. Het huidige onderzoek richt zich op het optimaliseren van de algoritmen voor de architecturen van de moderne parallelle architecturen, waaronder multi-core CPU's, GPU's en gedistribueerde computersystemen.

In 1971 ontwikkelden Schönhage en Strasser een variatie voor het vermenigvuldigen van willekeurige grote getallen die de Fiat recursief toepassen in ringenstructuren die in O(n log n log n) draaien. En onlangs (in 2019) publiceerden Harvey en van der Hoeven een algoritme dat in ware O(n log n draait). Deze theoretische vooruitgang blijft de grenzen van wat computationeel mogelijk is, met implicaties voor cryptografie, getaltheorie en rekenkunde.

De vraag naar nieuwe algoritmen voor het leren van machines, quantum computing en big data-analyses is nog sneller en efficiënter. Onderzoekers onderzoeken nieuwe algoritmen die specifieke hardwarefuncties exploiteren, adaptieve methoden die automatisch voor verschillende inputkenmerken optimaliseren en benaderen de algoritmes van de CFD die enige nauwkeurigheid uitwisselen voor dramatische snelheidsverbeteringen in toepassingen waar geen perfecte precisie vereist is.

Conclusie

De Commissie is van mening dat de Commissie de door de Commissie verstrekte informatie niet heeft gebruikt om de verenigbaarheid van de maatregel met de interne markt te beoordelen, aangezien de Commissie van oordeel is dat de maatregel niet verenigbaar is met de interne markt.

De Fast Fourier Transform (FFT) is een essentieel hulpmiddel in moderne signaalanalyse, zodat u complexe tijddomeinsignalen kunt afbreken in hun frequentiecomponenten. Of u nu ruis identificeert, harmonischen analyseert of gemoduleerde signalen bestudeert, des te eenvoudiger wordt de workflow en helpt u om kritische inzichten te ontdekken. Het begrijpen van zowel de theoretische grondslagen als praktische implementatiedetails van de Fiat stelt ingenieurs, wetenschappers en onderzoekers in staat om deze krachtige tool effectief in hun werk te benutten.

De Commissie is van mening dat de Commissie de in de overwegingen 4 en 4 beschreven benadering van de Commissie niet kan rechtvaardigen.

De reis van Gauss' vroege inzichten naar moderne GPU-versnelde implementaties van miljarden datapunten toont de blijvende kracht van wiskundige elegantie in combinatie met algoritmische innovatie. Als we de grenzen blijven verleggen van wat computationeel mogelijk is, blijft de Fast Fourier Transform een onmisbaar hulpmiddel voor het begrijpen en manipuleren van de frequentieinhoud van signalen over vrijwel elk domein van wetenschap en techniek. Voor extra bronnen over signaalverwerking en UMTS-toepassingen, overwegen te verkennen DSP Gerelateerd, die uitgebreide tutorials en community discussies biedt over praktische OTC-implementatie- en optimalisatietechnieken.