Het ontwerpen van effectieve low-pass en high-pass filters is een fundamentele taak in radiofrequentie (RF) en microgolftechniek. Deze filters geven selectief signalen onder of boven een gespecificeerde cutoff frequentie door terwijl het verminderen van anderen, waardoor ze essentieel zijn voor signaalconditionering, frequentie selectie en impedantie matching. Onder de verschillende ontwerpbenaderingen, de Smith grafiek valt op als een grafische tool die de complexe impedantie berekeningen inherent aan filtersynthese vereenvoudigt. Door het visualiseren impedantie en reflectiecoëfficiënt transformaties, kunnen ingenieurs filters ontwerpen met precisie en intuïtie. Dit artikel onderzoekt de theorie en praktijk van het ontwerpen van low-pass en high-pass filters met behulp van Smith-kaarttechnieken, waardoor een gedetailleerde workflow van initiële specificaties tot onderdeel selectie en verificatie.

De Smith Chart: Een Stichting voor Filterontwerp

De Smith-diagram is een polaire polaire plot van de complexe reflectiecoëfficiënt Γ, overgelegen met constante weerstand en constante reactiecirkels. Oorspronkelijk ontwikkeld door Phillip H. Smith in de jaren 1930, het blijft een hoeksteen van RF ontwerp omdat het complexe impedantievergelijkingen transformeert in eenvoudige geometrische bewerkingen. Een genormaliseerde impedantie z = Z / Z0 (waar Z0 de systeemkarakteristiek impedantie is, typisch 50 Ω) wordt op de grafiek als punt ingesloten. De grafiek geeft echte as pure weerstand weer, terwijl de boogjes boven en onder overeenkomen met inductieve (positief) en capacitieve (negatieve) reactie. De dubbele opnamekaart grijpt dezelfde cirkels maar herinterpreteert ze als geleidbaarheid en susceptie, die even waardevol is bij het omgaan met parallelle componenten.

Voor het filterontwerp stelt de Smith-grafiek ingenieurs in staat om de vereiste reactieve elementen (capacitors en smoorspoelen) te bepalen die een ingangsimpedantie transformeren tot een uitvoerimpedantie terwijl ze de gewenste frequentierespons bereiken. Door de genormaliseerde impedantie bij de cutoff frequentie in te stellen en vervolgens een constante weerstand of constante geleidingscirkels te volgen, kan men de waarden van serie- of shuntelement afleiden. Deze grafische benadering elimineert de noodzaak van het oplossen van transcendentale vergelijkingen en geeft direct inzicht in bandbreedte en matching trade-offs. Moderne simulatiesoftware sluit de Smith-kaart vaak in als visualisatietool, maar het begrijpen van de handmatige techniek bevordert diepere intuïtie voor parametrische aanpassingen en parasitaire compensatie.

Kerneigenschappen voor filterontwerp:

  • Constant weerstandscirkels .. horizontale lijnen? Eigenlijk, constante weerstand verschijnt als cirkels die raakpunt vormen naar het meest rechts. Deze zijn nuttig bij het toevoegen van seriereacties.
  • Constant reactance boog . . Deze snijden de werkelijke as op specifieke punten en geven de impedantiebaan aan als frequentieveranderingen.
  • Admittie transformatie . . . roulerend een punt door 180° rond het centrum zet impedantie om naar toegang, wat nuttig is bij het analyseren van shunt elementen.

Om deze eigenschappen te benutten, moeten ontwerpers vloeiend de grafiek lezen: bewegen langs een constante weerstandscirkel komt overeen met het toevoegen van serie-inductantie (met de wijzers van de klok) of capaciteit (tegen de klok in), terwijl het bewegen langs een constante geleidingscirkel overeenkomt met het toevoegen van shunt-inductantie of capaciteit. Deze bewegingen vormen de basis voor het synthetiseren van laag-pass- en hoog-pass filternetwerken.

Het ontwerpen van laag-pasfilters met de Smith Chart

Een laagdoorlaatfilter (LPF) passeert frequenties van DC tot een cutoff frequentie fc] en verzacht signalen erboven. De ideale respons heeft nul insertieverlies in de passband en oneindige afstoting in de stopband, maar praktische filters bereiken een geleidelijke uitrol bepaald door het aantal reactieve elementen (orde). Gemeenschappelijke prototypeconfiguraties omvatten Butterworth (maximale vlakke passband), Chebyshev (scherpe cutoff met rimpel), en Bessel (lineaire fase). De Smith kaart helpt bij het vertalen van deze prototypes in exacte componentwaarden voor een gegeven impedantieniveau.

Stapsgewijze LPF-ontwerpprocedure

Stap 1: Definieer specificaties. Kies de cutoff frequentie fc, systeem impedantie Z0 (bv. 50 Ω), filtervolgorde (bv. derde-orde) en prototypetype (bv. 0,5 dB rimpel Chebyshev). Voor een laag-doorlaatfilter zijn de genormaliseerde elementwaarden (g-parameters) voor het gekozen prototype beschikbaar uit standaardtabellen. Bijvoorbeeld een derde-orde Butterworth LPF met Z0 = 50 Ω gebruikt g1 = 1 H, g2 = 2 F, g3 = 1 H (schaald).

Stap 2: Normaliseren en plotten van de impedantie bij cutoff. Bij de cutoff frequentie is de ingangsimpedantie van de filter zuiver reëel en gelijk aan Z0. Daarom is de genormaliseerde impedantie z = 1 + j0] het startpunt in het midden van de Smith-grafiek.

Stap 3: Synthetiseren van de componenten via kaarttrajecten. Voor een reeks-eerste, shunt-second topologie (typisch voor LPF) gaat het ontwerp als volgt uit:

  • Eerste element (serie-inductor): Het toevoegen van een serie-inductor beweegt het impedantiepunt langs een constante weerstandscirkel met de klok mee (toenemende inductieve reactie).De vereiste genormaliseerde reactie x[L = g1 (genormaliseerde inductantie) = 1 voor Butterworth. Op de kaart, plaatst u de constante weerstandscirkel voor r=1, ga er dan langs van het centrum (z=1) naar het punt waar de genormaliseerde reactie gelijk is aan 1. Dit is het snijpunt van de r=1 cirkel met de x=1 boog. De nieuwe impedantie is z = 1 + j1].
  • Tweede element (schunt condensator):[ Het is gemakkelijker om in toelating te werken bij het toevoegen van shuntelementen. Draai het impedantiepunt 180° rond het centrum om de overeenkomstige toegang te verkrijgen y = 0,5 - j0.5[. Het toevoegen van een shunt condensator verhoogt de susceptantie omhoog (positief imaginair deel). De vereiste genormaliseerde susceptantie b[]C[[]]][ = g2 = 2. Op de toekomst Smith-grafiek (of met dezelfde grafiek met opnameinterpretatie) gaat u van het ingangspunt omhoog langs een constante geleidingscirkel (g=0.5) tot de totale susceptantie wordt y = 0,5 + j1.5.] Dit komt overeen met de netto scount capacitieve susceptantie van 2.
  • Derde element (serie-inductor):[ Draai terug naar impedantie: het nieuwe toelaatbare punt (0,5 + j1.5) geeft een impedantie van z = 0,2 - j0.6[]. Het toevoegen van de laatste reeks-inductor beweegt langs de constante weerstandscirkel r=0.2 kloksgewijs. De vereiste genormaliseerde reactie is g3 = 1. De beweging eindigt op z = 1 + j0 (center), bevestigend dat het netwerk perfect is afgestemd op de cutoff frequentie.

Stap 4: Denormaliseren componenten. Zet de genormaliseerde reactie en gevoeligheid om naar fysieke waarden met behulp van de cutoff frequentie:

  • Inductie: L = (xL * Z0) / (2π fc)
  • Capaciteit: C = bC / (2π fc * Z0)

Voor fc = 1 GHz en Z0 = 50 Ω wordt de eerste ductor 7,96 nH, de shunt condensator 6,37 pF, en de tweede ductor ook 7,96 nH.

Verificatie en afstemprocedure

Na het maken van het filter, plot de impedantie op verschillende frequenties over de passband en stopband op de Smith-kaart. Bij lage frequenties (well onder fc) moet de impedantie in de buurt van 50 Ω (center) blijven. Bij hoge frequenties beweegt de impedantie naar de rand van de grafiek (hoge reflectie), wat een effectieve afstoting aangeeft. Als het passbandterugval onvoldoende is, kunnen lichte aanpassingen aan de componentwaarden worden geleid door de grafiek.Bijvoorbeeld, het toevoegen van een kleine reeks inductie om parasitaire capaciteit te compenseren. Praktische RF-componenten hebben ook zelfresonante frequenties die moeten worden overwogen; de Smith-diagram kan helpen deze parasitairenaten te visualiseren wanneer de gemeten gegevens worden overgelaagd.

Alternatieve topologieën en prototypen

Dezelfde procedure geldt voor Chebyshev en elliptische prototypes, maar de genormaliseerde reactie en gevoeligheidswaarden zijn verschillend. Voor een Chebyshev LPF met 0,1 dB rimpel, g1 = 0,843, g2 = 0,622, g3 = 1.355. De Smith-diagrambanen eindigen alleen op hetzelfde centrum als de volgorde vreemd is; voor zelfs bestellingen kan het filter een impedantietransformator aan één poort vereisen. De grafiek kan ook worden gebruikt om π- en T-secties te ontwerpen door middel van het uitwisselen van reeksen en shunt-elementsequenties. In alle gevallen, de grafische aard van de Smith-diagram toont hoe de impedantiespiraal samensmelt met de bijbehorende conditie.

Het ontwerpen van High-Pass Filters met de Smith Chart

Hoge-doorlaatfilters (HPF) passeren frequenties boven de cutoff en verminderen lage frequenties. Ze zijn duals van low-pass filters: serie condensatoren vervangen serie Signalverwijderaars, en shunt Signalvervang condensatoren. De ontwerpprocedure is analoog, maar de impedantiebewegingen op de Smith grafiek zijn in de tegenovergestelde richting omdat capacitieve reactie afneemt met frequentie (negatief imaginair deel dat tegen de klok in beweegt voor serie elementen) en inductieve susceptantie afneemt met frequentie (negatief imaginair deel dat naar beneden beweegt op de opnametabel voor shuntelementen).

Stapsgewijze HPF-ontwerpprocedure

Stap 1: Verkrijg een genormaliseerd laag-pass prototype.[ Gebruik dezelfde g-waarden van een laag-pass prototype (bv. derde-orde Butterworth: g1=1, g2=2, g3=1).Voor een hoog-pass filter worden de genormaliseerde waarden omgezet via de frequentietransformatie s → 1/s[. De equivalente hoge-pass elementwaarden worden: seriecapaciteit met genormaliseerde susceptantie = 1/g1, shunt-inductantie met genormaliseerde reactie = 1/g2 en seriecapaciteit weer met 1/g3.

Stap 2: Zet de impedantie bij cutoff. Bij cutoff, de high-pass filter geeft ook een gelijke impedantie van Z0, dus het startpunt is weer het centrum van de Smith grafiek met z=1.

Stap 3: Synthetiseren van componenten via kaarttrajecten (in tegen de klok in bewegend voor seriecapaciteit, neerwaarts voor shunt-inductantie).

  • Eerste element (serie condensator): Een serie condensator voegt capacitieve (negatieve) reactie toe. Vanuit het centrum, ga langs de constante weerstandscirkel r=1 tegen de klok in. De vereiste genormaliseerde reactie xC[ = -1/g1 = -1]. De nieuwe impedantie is z = 1 - j1.
  • Tweede element (shunt-inductor): Draaien tot opname: y = 0,5 + j0.5. Het toevoegen van een shunt-inductor verhoogt inductieve susceptantie, wat negatief is op de toelatingskaart. De vereiste genormaliseerde susceptantie bL[ = -1/g2 = -0.5[. Ga naar beneden langs de constante geleidingscirkel g=0.5 totdat de totale susceptantie wordt y = 0,5 - j0.0? Eigenlijk, beginnend vanaf y=0.5+j0.5, moeten we b=-0.5, dus nieuw y = 0,5 + j0.0.0 toevoegen. Dit is een zuivere dirigentance van 0,5.
  • Derde element (serie capacitor): Draai terug naar impedantie: de toegang tot 0,5 + j0 geeft impedantie z = 2 + j0. Het toevoegen van de laatste serie condensator vereist een tegenkloksgewijze beweging langs constante weerstand r=2. De vereiste genormaliseerde reactie xC[ = -1/g3 = -1. De beweging van z=2 naar z=2 - j1. Voor de impedantie om terug te keren naar het centrum (z=1) moet het derde element ook een impedantie-transformatie inhouden? Wait, voorzichtig: In een high-pass filter is het derde element ook een serie capacitor, maar na twee elementen is de impedantie 2 - j1.

Genormaliseerde hoge-passwaarden: C1 = 1 F, L2 = 0,5 H, C3 = 1 F. Bij cutoff wordt het filter aangepast: impedantie op alle knooppunten? Eigenlijk geeft de standaardtabel voor een hoge pass direct waarden. Voor een 50 Ω, 1 GHz hoogpass: C1 = 1/(2π×1e9×50×g1) = 3,18 pF, L2 = (50×g2)/(2π×1e9) = 7,96 nH (sinds g2=1 voor de getransformeerde waarde? Wachten, verwarring ontstaat. Laten we de standaard laag-passe-passe-transformation gebruiken: Voor een lage-passe-serie-inductor L, in hoge-passe wordt het een serie capacitor C = 1/(ω c2 L). Meer praktisch, designers gebruiken de genormaliseerde lage g-valuevalues en passen de transformatiesende condensatoren toe: normale sintegration met normale sintegration met normale sinced-eded-based-compatized-elementen worden.

Vereenvoudigde benadering: Gebruik de opname Smith-grafiek voor shunt-elementen. Beginnend in het midden impedantie z=1 (toevoegen y=1). Voor een hoog-pass T-netwerk:

  1. Serie condensator: ga door constante weerstand r=1 tegen de klok in met x=-1. Aankomen bij z=1-j1 (y=0.5+j0.5).
  2. Shunt-inductor: draai naar toelatingsruimte (al y=0.5+j0.5). Om shunt-inductor toe te voegen, moeten we positieve inductieve susceptantie toevoegen? Inductieve susceptantie is negatief (sinds Y = jωC voor condensator, maar voor inductor Y = 1/jωL = -j/(ωL)). Dus het toevoegen van een inductor in shunt vermindert de totale susceptantie (maakt het meer negatief). De vereiste genormaliseerde susceptantie voor de shunt-inductor is b L = -1/g2 = -0.5 (sinds g2=2). Beginnend van y=0.5+j0.5, trek 0,5 af van het denkbeeldige deel: nieuw y = 0,5 + j0.0.0. Dit is een punt op de nulreactielijn.
  3. Draai terug naar impedantie: y=0.5+j0.0 geeft z=2+j0. Voeg nu de laatste serie condensator toe: beweeg tegen de klok in langs r=2 door x=-1. Kom bij z=2 - j1 (y=0.4+j0.2). Dit komt niet overeen met het centrum. De reden is dat het high-pass T-netwerk niet symmetrisch is in de zin van impedantie na elk element; de laatste serie condensator moet zodanig worden gekozen dat de totale impedantie bij de ingang Z0 is. In de praktijk worden de elementwaarden vooraf berekend uit prototypetabellen, niet stapsgewijs afgeleid op de grafiek. De grafiek is meer bruikbaar voor impedantie matching na het filter is ontworpen, of voor het verifiëren van de respons bij verschillende frequenties. Daarom is een meer praktisch gebruik van de Smith-diagram voor high-pass filters om de frequentie te bepalen en componenten aan te passen om het gewenste cutoff en rendement te bereiken. Als alternatief, kan men de hoge-pass filter ontwerpen als de impedentiecomplementatie van een laag-pass filter met behulp van de Z-to-admittance transformatie, maar dat is buiten dit bereik.

Praktische ontwerptip: In plaats van stapsgewijze synthese beginnen ontwerpers vaak met een bekend laag-pass prototype en converteren ze met behulp van de grafiek: plot de laag-pass impedantie traject bij de cutoff frequentie, dan omkeren met betrekking tot het centrum (rotaat 180°) om de high-pass response te verkrijgen. Deze grafische dubbele transformatie is minder gebruikelijk maar illustreert de symmetrie. Voor de meeste praktische werkzaamheden, gebruiken ingenieurs software tools die deze transformaties implementeren, maar begrijpen van de onderliggende grafiekbewegingen helpt bij het debuggen prototype metingen.

Verificatie en componentenselectie

Voor een hoog-pass filter dat is gebouwd met componenten aan de oppervlakte kan de Smith-kaart de gemeten S-parameters weergeven. Bij frequenties ruim boven de cutoff, moet de impedantie dicht bij het centrum clusteren (gelijkwaardig). Als de frequentie afneemt naar de cutoff, de impedantie spiralen naar buiten naar de open of korte circuit, afhankelijk van de topologie. Bij DC, een high-pass filter blokkeert alle signalen, zodat de ingang impedantie wordt een open circuit (oneindige VSWR) weerspiegeld als het meest rechtse punt op de Smith-kaart. Door het overleggen van gemeten gegevens op de kaart, kunnen ingenieurs parasitaire resonanties of onvoldoende demping identificeren en vervolgens compenserende elementen toevoegen.

Geavanceerde technieken en praktische overwegingen

Naast de basissynthese, de Smith grafiek vergemakkelijkt verschillende geavanceerde filter ontwerp taken. Bijvoorbeeld, bij het ontwerpen van multi-stage filters (bijvoorbeeld, vijfde-orde), de grafiek helpt visualiseren van de impedantie transformatie over elke sectie. Elke fase brengt de impedantie dichter bij het centrum bij de cutoff frequentie, maar weg van het bij andere frequenties. Door het plotten van de loci voor verschillende frequenties, kan de ontwerper controleren of de gecombineerde respons voldoet aan de afwijzingseisen.

Matching netwerken geïntegreerd met filters: Vaak moet een filter ook overeenkomen met de invoerimpedantie met een bron of belasting van niet-50 Ω. De Smith-diagram kan een bijpassende sectie (bijvoorbeeld een L-netwerk of spatel) direct in het filter opnemen door de waarden van het eerste of laatste element aan te passen. Bijvoorbeeld, een laagdoorlaatfilter met een 75 Ω ingang kan worden ontworpen door de grafiek te starten met een genormaliseerde impedantie van z=1,5 (voor 75 Ω referentie) en dan dezelfde trajecten te volgen, maar onderdelen dienovereenkomstig te schalen. Het laatste element herstelt de impedantie tot 75 Ω in plaats van 50 Ω.

Afbrekend met parasitaire effecten: Real implementant hebben zelfresonante frequenties en gelijkwaardige weerstand tegen series (ESR), terwijl condensatoren gelijkwaardige serie-inductantie (ESL) hebben. Deze parasitaire middelen voegen een ongewenste reactie toe die de impedantie op de Smith-kaart verschuift. Een gemeenschappelijke techniek is om de component impedantie te meten op verschillende frequenties en uit te plotten op de kaart, dan de nominale waarden aan te passen om te compenseren. Bijvoorbeeld, als een condensator bedoeld voor een hoog-pass filter toont inductieve gedrag boven zelfresonantie, kan het filter laag-pass worden bij hoge frequenties. De grafiek onmiddellijk onthult dergelijke frequentieafhankelijke afwijkingen.

Vergelijken met andere ontwerpmethoden: Hoewel Smith grafiek ontwerp is grafisch en intuïtief, is het beperkt tot matige complexiteit (tot ongeveer vijfde-orde) als gevolg van handmatige inspanning. Voor hogere bestellingen, software tools zoals ADS, HFSS, of MATLAB bieden optimalisatie. Echter, de grafiek blijft vooral nuttig voor snelle prototypes, educatieve doeleinden, en bij het werken met legacy apparatuur of handberekeningen. Het dient ook als een krachtig kenmerkend hulpmiddel bij het analyseren van gemeten filtergegevens.

Voor meer informatie over de basis van de Smith-kaart, zie de Microwaves101-gids voor de basis van de Smith-kaart. Een gedetailleerde handleiding over het filterontwerp met behulp van de grafiek is beschikbaar van Alle Over Circuits, die stap-voor-stap voorbeelden met werkelijke componentwaarden biedt. Voor degenen die op zoek zijn naar een uitgebreide referentie op de RF filtersynthese, is de klassieke tekst van Matthaei, Young en Jones van onschatbare waarde, maar een praktische online bron is de RF Cafe Smith Chart pagina[, die downloadbare kaartsjablonen en rekenmachines bevat.

Conclusie

De Smith-grafiek blijft een duurzaam hulpmiddel voor het ontwerpen van low-pass en high-pass filters in RF engineering. De grafische benadering transformeert saaie impedantie berekeningen in eenvoudige geometrische constructies, waardoor ingenieurs snel kunnen synthetiseren en controleren filternetwerken. Door de techniek van het verplaatsen langs constante weerstand en constante geleidbaarheid cirkels, kan men ontwerpen Butterworth, Chebyshev, en andere prototype filters met vertrouwen. Bovendien, de Smith grafiek dient als een krachtige verificatie en probleemoplossing hulpmiddel bij het werken met echte componenten die parasitics omvatten. Hoewel moderne simulatie software heeft geautomatiseerd veel van deze stappen, een solide greep van Smith-diagram technieken biedt dieper inzicht in de onderliggende principes van impedantie en frequentierespons. Of het nu gebruikt voor het eerste ontwerp of uiteindelijk tweaken, de Smith-grafiek blijft een hoeksteen van praktische RF filter engineering.