Inleiding tot de berekening van de steekproefgrootte bij de acceptatiebemonstering

Acceptatiebemonstering is een statistische kwaliteitsbewakingstechniek die wordt gebruikt om te bepalen of een partij producten voldoet aan vooraf bepaalde kwaliteitsnormen. In plaats van elke eenheid te inspecteren, wordt een representatieve steekproef getrokken en geëvalueerd. De beslissing om de hele partij te accepteren of te verwerpen is gebaseerd op het aantal defecte items dat in dat monster wordt aangetroffen. Berekenen van de juiste steekproefgrootte is cruciaal: een te klein monster kan niet onaanvaardbare defectniveaus detecteren, terwijl een te grote steekproef tijd en middelen verspilt. Deze gids onderzoekt de concepten, formules, normen en praktische methoden voor het bepalen van de juiste steekproefgrootte voor acceptatiebemonsteringsplannen, waardoor fabrikanten risico, kosten en kwaliteitsborging effectief kunnen in evenwicht brengen.

Inzicht in de acceptatiebemonsteringsplannen

Een acceptatiebemonsteringsplan bestaat uit twee belangrijke parameters: de steekproefgrootte (n) en het aanvaardingsnummer (c). Het plan specificeert dat een willekeurig monster van [n[] eenheden wordt genomen uit een groot aantal grootte ]N[]. Als het aantal defecte eenheden in het monster kleiner is dan of gelijk aan ]c[], wordt de gehele partij aanvaard; als het groter is dan c[, wordt de partij afgewezen. Dit binair besluitproces is van fundamenteel belang om bemonstering toe te schrijven, waarbij elke eenheid als conform of niet conform wordt geclassificeerd.

De steekproefplannen zijn essentieel in industrieën waar 100% inspectie onpraktisch is vanwege kosten, tijd of destructieve testvereisten. Ze bieden een statistisch verantwoorde methode om de kwaliteit van de hele partij af te leiden, met bekende risiconiveaus. De twee primaire risico's zijn: het verwerpen van een goede partij (risico van de producent, α) en het accepteren van een slechte partij (risico van de consument, β). De steekproefgrootte en het acceptatienummer worden gekozen om deze risico's binnen aanvaardbare grenzen te houden.

Hoe werkt de acceptatiebemonstering?

Het proces begint met het definiëren van de partij en het selecteren van een bemonsteringsplan. Typisch is het plan is afgeleid van normen zoals ANSI/ASQ Z1.4 of ISO 2859, die tabellen van monstergroottes en acceptatienummers op basis van partijgrootte en aanvaardbaar kwaliteitsniveau (AQL) leveren. De gebruiker selecteert een inspectieniveau (bv. normaal, aangescherpt, verminderd) en de AQL, dan leest de bijbehorende codeletter. De codeletter bepaalt de steekproefgrootte, en het acceptatienummer wordt gelezen uit een aparte tabel. De inspectie gaat vervolgens verder: het vereiste aantal eenheden wordt steekproefsgewijs bemonsterd en geïnspecteerd. De resultaten worden vergeleken met het acceptatienummer om de partijverdeling te bepalen.

Sleutelterminologie en -concepten

Om de steekproefgrootte nauwkeurig te berekenen, moet men verschillende sleuteltermen en hun relaties begrijpen:

  • Lotgrootte (N): Het totale aantal eenheden in de partij dat ter inspectie wordt ingediend. Grotere partijen vereisen doorgaans grotere steekproefgroottes, maar de relatie is niet lineair vanwege statistische overwegingen.
  • Eenvoudige grootte (n): Het aantal eenheden dat uit de partij wordt getrokken voor inspectie. Dit is de primaire variabele die we berekenen.
  • Aanvaardingsnummer (c): Het maximaal toegestane aantal defecte eenheden in het monster voor de te accepteren partij. Indien gebreken groter zijn dan c, wordt de partij afgewezen.
  • Afwijzingsnummer (r): In sommige plannen (bv. dubbele bemonstering) is het afwijzingsnummer de drempel die onmiddellijk afwijzing inleidt.Voor afzonderlijke steekproefplannen r = c[ + 1.
  • Producer's Risk (α): De kans dat een partij wordt afgewezen die daadwerkelijk voldoet aan de kwaliteitsnorm (d.w.z. een type I-fout).
  • Consumentrisico (β): De kans dat een partij wordt geaccepteerd die niet aan de kwaliteitsnorm voldoet (d.w.z. een type II-fout).
  • Aanvaardbaar kwaliteitsniveau (AQL): Het maximumpercentage defecte eenheden dat als aanvaardbaar voor de partij wordt beschouwd. AQL vertegenwoordigt de gemiddelde proceskwaliteit die de producent bereid is te leveren.
  • Lottolerantie Procent Defective (LTPD): Het percentage defecte eenheden dat de consument onaanvaardbaar acht. Het komt overeen met een hoge kans op afwijzing (bijvoorbeeld 90% of 95%).

Factoren die de steekproefgrootte beïnvloeden

Verschillende factoren interageren om de vereiste steekproefgrootte voor een bepaald acceptatiebemonsteringsplan te bepalen. Het begrijpen van deze factoren helpt bij het selecteren van een passend plan dat risico en kosten in evenwicht brengt.

  • Lotgrootte (N): Hoewel de grootte van de partij in sommige standaarden van invloed is op de steekproefgrootte (bv. ANSI/ASQ Z1.4 gebruikt een partijgrootte om de codeletter van de steekproef te bepalen), is het statistische effect minimaal voor grote partijen. De hypergeometrische verdeling is goed voor de eindige partijgrootte, maar voor grote N, is de binomiale benadering adequaat.
  • Acceptatienummer (c): Een groter acceptatienummer vermindert de steekproefgrootte die nodig is voor een bepaald risico, maar verhoogt ook de kans op aanvaarding van veel met meer defecten. Het acceptatienummer wordt vaak gekozen om aan de AQL- en LTPD-eisen te voldoen.
  • Producers- en consumentenrisico's: De grotere risico's (lager α en β) vereisen grotere steekproefgroottes. Bijvoorbeeld, het verminderen van α van 5% naar 1% terwijl het constant houden van andere factoren de steekproefgrootte kan verdubbelen of verdrievoudigen.
  • Kwaliteitsniveau (p): Het verwachte aandeel defecte items in de partij beïnvloedt de variabiliteit van het monster. Voor lage defectsnelheden moet het monster groot genoeg zijn om ten minste één defect met aanvaardbare waarschijnlijkheid te detecteren.
  • Inspectieniveau: Normen definiëren verschillende inspectieniveaus (normaal, aangescherpt, verminderd) die de steekproefgrootte en acceptatiecriteria aanpassen op basis van de geschiedenis van de vorige kwaliteit.

Statistische grondslagen voor de berekening van de steekproefgrootte

De hypergeometrische verdeling

Bij de bemonstering zonder vervanging van een eindige partij volgt het aantal defecte eenheden in het monster een hypergeometrische verdeling. De kans dat het monster exact [x defect is in een monster van grootte nn van veel grootte N die ] bevat, wordt gegeven door:

P(X = x) = (C(D, x) * C(N-D, n-x)) / C(N, n)

Deze distributie is exact maar computationeel intensief voor grote N. De berekeningen van de monstergrootte met behulp van de hypergeometrische distributie worden vaak uitgevoerd via standaardtabellen of gespecialiseerde software.

De Binomiale Harmonisatie

Voor grote partijen (meestal wanneer n ≤ 0.1N) wordt de hypergeometrische verdeling goed benaderd door de binomiale verdeling. De binomiale verdeling veronderstelt bemonstering met vervanging, maar het is juist wanneer de partij groot is ten opzichte van het monster. De kans op precies x defect is:

P(X = x) = C(n, x) * px * (1-p)(n-x)

waarbij [p = D/N de partijfractie is defect. Dit vereenvoudigt berekeningen en wordt op grote schaal gebruikt in monstergrootteformules.

De harmonisatie van Poisson

Voor zeer lage defectpercentages (p < 0,1) en grote monstergroottes kan de binomiale verdeling verder worden benaderd door de Poisson-distributie. Dit is nuttig voor het berekenen van monstergroottes in situaties zoals zeldzame-eventkwaliteitscontrole. De Poisson-benadering maakt gebruik van de parameter λ = np en de kans op xdefecten is:

P(X = x) = (e-λ * λx) / x!

Methoden voor het berekenen van de monstergrootte

Gebruik van standaardtabellen: ANSI/ASQ Z1.4 en ISO 2859

De meest voorkomende benadering in de industrie is het gebruik van gepubliceerde normen die vooraf berekende steekproefplannen verstrekken. ANSI/ASQ Z1.4 (overeenkomend met ISO 2859-1) is de belangrijkste standaard voor het nemen van attribuutmonsters. De gebruiker selecteert:

  1. Inspectieniveau: Niveaus I, II, III voor normale, aangescherpte of verminderde inspectie. Niveau II is standaard.
  2. Aanvaardbaar kwaliteitsniveau (AQL): Het maximumpercentage dat de producent aanvaardbaar acht (bv. 0,1%, 1,0%, 2,5%).
  3. Lotgrootte: Het totale aantal eenheden in de partij.

Van de partijgrootte en het inspectieniveau wordt een codebrief (A tot en met R) bepaald. Deze codebrief wijst vervolgens op een tabel die de steekproefgrootte ([n) en het aanvaardingsnummer (c[)) voor de gekozen AQL aangeeft. Bijvoorbeeld, voor een partijgrootte van 1.000 eenheden en normaal inspectieniveau II, is de codeletter J. Voor AQL = 1,0% is de steekproefgrootte 80 en het acceptatienummer 2. Deze tabellen zijn ontworpen om een hoge kans op aanvaarding voor partijen op of onder de AQL te bieden, terwijl de consument beschermd wordt tegen partijen boven de LTPD.

Formulegebaseerde aanpak

Wanneer specifieke normen niet van toepassing zijn of wanneer aangepaste risiconiveaus nodig zijn, kan een formule worden gebruikt om de steekproefgrootte te schatten. Een gemeenschappelijke formule voor de schatting van de steekproefgrootte in de steekproef van kenmerken is afgeleid van de normale benadering van de binomiale verdeling:

n = (Zα/22 * p * (1-p)) / E2

waarbij:

  • Zα/2 is de kritische waarde van de standaard normale verdeling voor een tweestaarts betrouwbaarheidsniveau (bijv. 1,96 voor 95% betrouwbaarheid).
  • p is het verwachte aandeel van gebreken in de partij (vaak geschat op basis van historische gegevens of verondersteld als AQL).
  • E is de foutmarge ..het maximaal aanvaardbare verschil tussen het percentage monsterafwijkingen en het percentage werkelijke partijafwijkingen.

Als u bijvoorbeeld 5% gebreken verwacht, 95% vertrouwen wilt en een foutmarge van 2% toestaat, levert de berekening:

n = (1,96[2 × 0,05 × 0,95) / (0,02)2 = (3.8416 × 0,0475) / 0,0004 ≈ 456.2]

De afronding geeft echter niet direct het aanvaardingsnummer of de risico's α en β op dezelfde manier als de normen. Het is beter om de steekproefgrootte te schatten voor het schatten van een verhouding in plaats van voor een beslissingsplan.

Een meer rigoureuze aanpak gebruikt de waarschijnlijkheidsverdelingen om n en c gelijktijdig op te lossen. Voor een bepaald paar punten op de OC curve (AQL met waarschijnlijkheid 1-α, en LTPD met waarschijnlijkheid β), kan men de vergelijkingen oplossen:

P(accept

Voor de binomiale verdeling is de aanvaardingskans voor één enkel bemonsteringsplan met steekproefgrootte n en aanvaardingsnummer c:

P(accept

Het vinden n en c die aan beide ongelijkheden voldoen, vereist vaak iteratieve numerieke methoden of opzoektabellen. Normen zoals ANSI/ASQ Z1.4 zijn gebaseerd op dergelijke berekeningen.

Bedrijfskenmerken (OC) Curves

Een OC curve geeft de kans dat de partij wordt geaccepteerd als functie van het werkelijke lotdefectpercentage p[. Voor een bepaalde steekproefgrootte n en het acceptatiegetal c[ toont de OC curve de prestaties van het plan over alle kwaliteitsniveaus. Om een bemonsteringsplan te evalueren, controleert de gebruiker of de OC curve door de gewenste punten gaat: bij 1-α bij de AQL en bij β bij de LTPD. Door verschillende n en c[ waarden te onderzoeken, kan men het plan selecteren dat de beste trade-off biedt. OC curves kunnen worden gegenereerd met behulp van statistische software of door middel van de handberekening van de binomial of hypergeometrische verdelingen.

Software-tools voor monstergrootteberekening

Handmatige berekeningen zijn tijdrovend, vooral voor dubbele of meervoudige bemonsteringsplannen. Verschillende softwarepakketten en online rekenmachines geven een steekproefgroottebepaling voor acceptatiebemonstering:

  • R statistische software: Pakketten zoals stellen gebruikers in staat om bemonsteringsplannen te ontwerpen en te evalueren, OC-curves te berekenen en optimale n en c te vinden.
  • Minitab: Bevat een speciale module voor de steekproef van aanvaardingen voor attribuut en variabele plannen.
  • Onlinecalculatoren: Websites zoals het NIST Engineering Statistics Handbook] bieden interactieve instrumenten voor het genereren van bemonsteringsplannen en OC-curves.
  • Spreadsheet templates: Excel kan worden gebruikt met ingebouwde functies zoals om binaire waarschijnlijkheden te evalueren en iteratieve zoekopdrachten uit te voeren naar n en c[.

Deze instrumenten verminderen het risico van handmatige fouten en stellen gevoeligheidsanalyse in staat om te begrijpen hoe veranderingen in n of c de prestaties van het plan beïnvloeden.

Praktisch voorbeeld: Het ontwerpen van een enkel steekproefplan

Stel dat een fabrikant veel van 2.000 eenheden ontvangt en een acceptatiebemonsteringsplan wil gebruiken met een AQL van 1,0% en een LTPD van 5,0%. De producent aanvaardt een risico α van 5% en de consument een risico β van 10%. Bepaal de steekproefgrootte n en het acceptatienummer c[.

Stap 1: Gebruik een standaardtabel. Voor partijgrootte 2.000 en normale inspectieniveau II is de codeletter K. Van ANSI/ASQ Z1.4, voor AQL = 1,0% geeft code letter K n = 125 en c[] = 3. (Dit is een gemeenschappelijk plan.)

Stap 2: Evalueer de OC-curve bij de AQL en LTPD. Gebruik de binomiale verdeling met n=125, c[=3:
Bij p=0,01 (AQL): P(accept) = Σ[x=0[3[] C(125, x) (0,01)[x]099][[125-x]. Bereken: x=0: 0,286, x=1: 0,362, x=2: 0,226, x=2: 0,293 → som staand staand risico van de producent op dienend op de AQL en LTD.

Op p=0,05 (LTPD): P(accept) = Σ[x=03 C(125, x) 0,05)[x[ [125-x. Geschatte gebruik van Poisson: λ = 125×0.05 = 6.25. P(X≤3) = e-6.25[.]] (1 + 6,25 + 19,53 + 40,57) staan de consumentenrisico's dus iets hoger dan de gewenste 10%. In de praktijk is een ander plan (bijv. ] = 200, [c[[]]]) dan kunnen de risico's als lager β, of voldoende worden geaccepteerd.

Stap 3: Als de formulebenadering wordt gebruikt, stel je de twee ongelijkheden in en los je numeriek op. Met behulp van software, geeft een plan met n=145, c=4 α=0,048 en β=0,099, beter aan de vereisten voldoend. Dit illustreert dat standaardtabellen handige plannen bieden, maar aangepaste plannen kunnen worden geoptimaliseerd voor specifieke risicodoelstellingen.

Dubbele en meervoudige bemonsteringsplannen

De gemiddelde steekproefgrootte wordt door de twee steekproefplannen verminderd door een tweede monster toe te staan als het eerste resultaat niet overtuigend is.In het plan wordt een eerste steekproefgrootte n1[] met aanvaardingsnummer c[]11 en afwijzingsnummer ]r[1] (meestal c, aanvaard; indien ≥ [1+1)). Indien het aantal gebreken in het eerste monster ≤ [c][]]]]]], wordt het eerste monster van het tweede monster niet geacht 1

Meervoudige steekproefplannen breiden dit concept uit tot verschillende fasen, waardoor de gemiddelde steekproefgrootte verder wordt verminderd. Normen zoals ANSI/ASQ Z1.4 bieden ook dubbele en meervoudige steekproefplannen. De berekening van de steekproefgrootte voor deze plannen omvat complexere waarschijnlijkheidsberekeningen, maar dezelfde statistische principes zijn van toepassing. De OC curve en de gemiddelde steekproefaantal (ASN) curve zijn sleuteltools voor het evalueren van dergelijke plannen.

Het juiste bemonsteringsplan kiezen

De keuze tussen enkelvoudige, dubbele of meervoudige steekproefplannen hangt af van verschillende factoren: administratieve eenvoud, gemiddelde steekproefgrootte, testkosten per eenheid en de beschikbaarheid van snelle tests. Eén steekproefplannen zijn het makkelijkst te beheren en zijn deterministisch qua steekproefgrootte. Dubbele en meerdere plannen zijn efficiënter qua gemiddelde steekproefgrootte, maar vereisen complexere logistiek en mogelijke vertragingen indien een tweede steekproef nodig is.

Bij de berekening van de steekproefgrootte moet altijd rekening worden gehouden met de volgende beste praktijken:

  • Gebruik normen waar mogelijk om te zorgen voor consistentie met de praktijk van de industrie en de regelgevingsvoorschriften.
  • De OC-curve van het plan valideren om ervoor te zorgen dat het voldoet aan de risico's van de producent en de consument.
  • Voor kleine partijen, gebruik de hypergeometrische distributie in plaats van benaderingen om fouten te voorkomen.
  • De aannames (bv. AQL, LTPD, inspectieniveau) die bij de steekproefgrootteberekening worden gebruikt, documenteren.
  • Voer periodieke kwaliteitsbeoordelingen uit om de bemonsteringsplannen aan te passen op basis van de werkelijke procesprestaties.

Conclusie

Het berekenen van de juiste steekproefgrootte voor acceptatiesteekplannen is een fundamentele taak in kwaliteitsborging. Door het begrijpen van de belangrijkste factoren . kavelgrootte, acceptatienummer, risico's van producent en consument en kwaliteitsniveaus . en het toepassen van statistische methoden zoals binomiale of hypergeometrische distributies, kunnen kwaliteitsprofessionals plannen ontwerpen die betrouwbare besluitvorming bieden en controle van de inspectiekosten. Of het nu gaat om standaardtabellen zoals ANSI/ASQ Z1.4 of aangepaste formules, het doel is om een passend evenwicht te bereiken tussen het risico van het accepteren van defecte partijen en de kosten van inspectie. Het verbeteren van moderne softwaretools vereenvoudigt het proces, waardoor snellere en nauwkeurigere steekproefgroottebepaling mogelijk is. Uiteindelijk is een goed berekend bemonsteringsplan een hoeksteen van effectieve kwaliteitscontrole, die zowel de producent als de consument beschermt.

Voor nadere lezing, zie ASQ Acceptatie Sample Guide, ISO 2859-1:1999 norm, en NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods[] voor gedetailleerde tabellen en voorbeelden.