Stabiliteit analyseren met behulp van Routh-hurwitz-criterium met praktische voorbeelden

Het criterium Routh-Hurwitz is een wiskundige methode die wordt gebruikt om de stabiliteit van een lineair tijd-invariant systeem te bepalen. Het omvat het analyseren van de karakteristieke vergelijking van het systeem om te beoordelen of alle wortels negatieve echte delen hebben. Dit artikel geeft een overzicht van de methode en praktische voorbeelden om de toepassing ervan te illustreren.

Het criterium van Routh-Hurwitz begrijpen

Het criterium Routh-Hurwitz gebruikt de coëfficiënten van de karakteristieke polynomiale om een Routh-array te construeren. De stabiliteit van het systeem hangt af van de tekens van de eerste kolom van deze array. Als alle elementen in de eerste kolom positief zijn, is het systeem stabiel. Elke tekenverandering duidt op de aanwezigheid van wortels met positieve reële delen, wat leidt tot instabiliteit.

Het opbouwen van de Routh Array

Om de Routh array te bouwen, volg deze stappen:

• Schrijf de coëfficiënten van de karakteristieke polynoom in de eerste twee rijen.
• Bereken de resterende rijen met determinanten op basis van de bovenstaande rijen.
• Analyseer de eerste kolom voor tekenwijzigingen.

Praktisch voorbeeld

Beschouw de karakteristieke vergelijking: s^3 + 2s^2 + 3s + 4 = 0. Teken de Routh-array:

Eerste rij: 1, 3

Tweede rij: 2, 4

De overige rijen worden als volgt berekend:

Rij 3: (2*3 - 1*4)/2 = (6 - 4)/2 = 1

Rij 4: 4 (kopie van de laatste coëfficiënt)

De eerste kolom is: 1, 2, 1, 4. Aangezien alle positief zijn, is het systeem stabiel.