Inleiding tot de analyse van de mazen

Mesh analyse is een hoeksteen van lineaire circuit theorie, het verstrekken van een systematische methode voor het bepalen van onbekende stromen in een elektrisch netwerk. Door zich te concentreren op de stromen die circuleren in de onafhankelijke loops .of meshes van een planar circuit, kunnen ingenieurs een complex netwerk te verminderen tot een beheersbare reeks lineaire vergelijkingen. Deze techniek is rechtstreeks ontleend aan Kirchhoff's Voltage Law (KVL) en is een van de twee fundamentele analysemethoden die worden geleerd in inleidende elektrische engineering cursussen, de andere is nodal analyse. Mesh analyse is bijzonder krachtig voor circuits die veel spanning bronnen en relatief weinig knooppunten bevatten, omdat het aantal benodigde vergelijkingen gelijk is aan het aantal mazen in plaats van het aantal knooppunten.

De elegantie van gaasanalyse ligt in het vermogen om een consistente tekenconventie op te leggen en om door hun impedantie-representaties gelijkmatig met weerbestendige, capacitieve en inductieve elementen om te gaan. In dit artikel onderzoeken we de theoretische grondslagen van gaasanalyse, afleiden we de wiskundige formulering ervan, bespreken we praktische overwegingen zoals afhankelijke bronnen en niet-planaire topologieën, en onderzoeken we de toepassingen ervan in moderne circuitsimulatie en ontwerp.

Theoretische stichtingen

De kern van de analyse van de mazen is gebaseerd op de twee pijlers van Kirchhoffs wetten: Kirchhoff's Actual Law (KCL) en Kirchhoff's Voltage Law (KVL). Terwijl KCL de instandhouding van de lading op knooppunten regelt, dwingt KVL de instandhouding van energie rond gesloten lussen af. Mesh analyse past KVL toe op elke gaas in een circuit, waarbij de mesh stromingen als het onbekende worden behandeld. De theoretische oorsprong kan worden getraceerd naar Gustav Kirchhoff's 1845 paper waar hij deze wetten formuleerde, die geldig blijven voor klompen-element circuits bij frequenties waar de quasi-statische benadering geldt. Zie voor verdere historische context Encyclopædia Britannica entry on Kirchhoff's wetten ].

Kirchhoffs Voltagewet (KVL)

KVL stelt dat de algebraïsche som van alle spanningsstromen rond een gesloten lus in een circuit gelijk nul is. Dit is een direct gevolg van de conservatieve aard van het elektrische veld in een klomp-circuit model. Bij het toepassen van KVL op een mesh, sommen we de spanning over elk element in de lus op, waarbij we ervoor zorgen dat een positief teken voor spanningsstijgingen (bijvoorbeeld wanneer het doorkruisen van het negatieve naar de positieve terminal van een spanningsbron) en een negatief teken voor spanningsdalingen (bijvoorbeeld over een weerstand in de richting van de stroom) toe te wijzen. De vergelijking die resulteert voor elke mesh is lineair in de mesh stromingen.

Huidige wet van Kirchhoff (KCL)

KCL stelt dat de algebraïsche som van stromen die een knooppunt binnengaan gelijk is aan nul. KCL is impliciet tevreden met de definitie van mesh stromingen. Door te veronderstellen dat een unieke stroom stroom rond elke mesh stroomt, en door het uitdrukken van tak stromen als lineaire combinaties van deze mesh stromingen, de stromen op knooppunten automatisch voldoen aan KCL. Deze impliciete handhaving is een reden waarom gaas analyse geeft meestal minder vergelijkingen dan een node-gebaseerde methode voor circuits met vele knooppunten.

Het huidige concept van de Mesh

Een maas wordt gedefinieerd als een lus die geen andere lussen binnen het circuitschema bevat.In wezen wordt een "venster" in een planair circuit gedefinieerd. Elke maas wordt een mesh stroom toegewezen, vaak aangeduid met I[[1[, [I[][]2[, enz. De richting van elke mesh stroom is willekeurig, maar een conventionele klokwijzer wordt gebruikt om consistentie te behouden. De werkelijke stroom die door een bepaald element stroomt is dan de algebraïsche som van de mesh stromen die door dat element passeren. Bijvoorbeeld, een weerstand gedeeld door twee mazen draagt een netstroom die gelijk is aan het verschil tussen de twee gaasstromen.

Deze voorstelling vermindert het aantal onbekenden van het totale aantal takstromen tot het aantal onafhankelijke mazen. Voor een planair circuit met Btakken en N[nodes wordt het aantal onafhankelijke mazen M gegeven door MM[ = [[FLT:]]]B[] N[ + 1, zoals afgeleid uit de grafiektheorie van plansche netwerken. Deze fundamentele relatie ondersteunt de efficiëntie van maasanalyse.

Wiskundige formulering

Het proces van het opzetten van de mesh vergelijkingen omvat drie stappen: het identificeren van alle mazen, het toewijzen van mesh stromingen, en het toepassen van KVL op elke mesh. De resulterende vergelijkingen vormen een lineair systeem dat met de hand kan worden opgelost voor kleine circuits of door computer voor grote netwerken. De coëfficiënten van de mesh stromingen worden bepaald door de weerstanden (of, meer algemeen, impedanties) van de circuit elementen, en de constante termen komen uit de spanning bronnen. Een duidelijke, stap-voor-stap gids van deze procedure wordt geleverd door Alle Over Circuits].

Lineair vergelijkingssysteem

1], ]R[[]2[, [[FLT:]]]R[3[] en spanningsbronnen []1[] en []V2[. Laat de mesh stromingen zijn [[1] (linke meas] en ]

R1I1[] + R[2[[I[1[ I[2]]]]]][[V1]]]

Voor de juiste mazen:

R3I2[] + R[2[I[2[2[]

Merk op dat de spanningsbron V2 van zijn positieve naar negatieve terminal wordt doorkruist, dus het lijkt met een negatief teken. Deze twee vergelijkingen kunnen worden herschikt in een standaard lineair systeem:

[R1 + R2[]][I[1] [R[2[I[2]][V[1[]]]

RI1[] + [[[FLT:]]]R[]2[] + [R[][3[]]]][I[2[]

Matrixvorm

Het bovenstaande systeem kan compact in matrixvorm worden geschreven als R I = V, waarbij [R de mesh resistent matrix is (symmetrisch voor circuits die alleen weerstanden en onafhankelijke bronnen bevatten), I[] de kolomvector van mesh stromingen is, en V de kolomvector van spanningsbronbijdragen is in het algemeen voor M[ meas:

R = [Rij] waar [R[]ii[ is de som van alle resistenties in gaas i[] en R[ij[] voor [i[j[]]] broeder [j[[]j[ is de som van de weerstanden die gemeenschappelijk zijn aan mazen []i en

Deze matrixformulering leent zich natuurlijk voor computationele oplossingsmethoden zoals Gaussiaanse eliminatie of LU decompositie. De symmetrie van de matrix (mits er geen afhankelijke bronnen aanwezig zijn) geeft ook aanwijzingen over de onderliggende orthogonaliteit van de mesh stromingen, een eigenschap die wordt geëxploiteerd in sommige geavanceerde circuitanalysetechnieken.

Oplossen met Cramer's Regel of Gaussiaanse Eliminatie

Voor kleine circuits kan de regel van Cramer worden toegepast om elke meshstroom te vinden als een verhouding van determinanten. Voor grotere circuits is Gaussiaanse eliminatie praktischer. Het proces omvat het transformeren van de augmented matrix [R] [V]] in rij-echelon vorm en back-substituting. Moderne circuit simulatoren, zoals SPICE, lossen het systeem op met behulp van schaarse matrixtechnieken die de topologie van het netwerk benutten om geheugen en rekentijd te minimaliseren. De wiskundige basis van mesh analyse is dus intiem verbonden met lineaire algebra en computerwetenschap.

Praktische overwegingen

Terwijl de basismaasanalyseprocedure werkt voor eenvoudige weerstandscircuits met onafhankelijke spanningsbronnen, brengen real-world circuits vaak complicaties in: niet-planaire topologieën, afhankelijke bronnen en stroombronnen. Elk vereist speciale behandeling.

Planar vs. niet-platar-circuits

Maasanalyse is strikt alleen van toepassing op vlakke circuits die op een vlak oppervlak kunnen worden getekend zonder kruistakken. Als een circuit niet-planair is, wat betekent dat takken kruis en niet zonder kruising kunnen worden hertekend, dan verliest het maasconcept zijn geometrische eenvoud. In dergelijke gevallen moet lusanalyse (die een boom en cotree gebruikt uit grafiektheorie) of nodalanalyse worden toegepast. Meer informatie over het onderscheid kan worden gevonden in het Wikipedia artikel over mesh analyse[]. Voor niet-planaire circuits, engineers vaak draaien op nodal analyse, die niet nodig planarity.

Circuits met afhankelijke bronnen

Wanneer een circuit een afhankelijke (gecontroleerde) bron bevat, creëert het extra onbekende dat de bron aanstuurt koppeling die de meshvergelijkingen beïnvloedt. De procedure blijft gelijk: we schrijven nog steeds KVL voor elke mesh, maar de spanning of stroom van de afhankelijke bron wordt uitgedrukt als een lineaire functie van andere mesh stromingen. Dit voegt termen toe aan de weerstandsmatrix die de symmetrie ervan breekt. Bijvoorbeeld, een spanningsgestuurde spanningsbron introduceert een term die een mesh stroom vermenigvuldigt van een andere lus. Het systeem blijft lineair maar vereist zorgvuldige boekhouding.

Voorbeeld: Afhankelijke bronafhandeling

De matrix wordt echter niet gebruikt voor de berekening van de symmetrie.

Supermesh techniek

Wanneer een huidige bron aanwezig is en ligt op de grens tussen twee mazen, creëert het een beperking die de mesh stromingen verbindt. Om te voorkomen dat KVL direct door de huidige bron wordt geschreven (wat niet eenvoudig is), combineren we de twee aangetaste mazen tot een "supermesh." De supermesh is een gesloten pad dat de huidige bron uitsluit maar alle andere elementen van de twee mesh bevat. KVL wordt toegepast op de supermesh, en de huidige bron biedt een hulpvergelijking met betrekking tot de mesh stromingen. Deze techniek is ook analoog aan de supernode in nodal analyse. Gedetailleerde voorbeelden van de supermesh methode zijn beschikbaar op sites als Electrical4U[.

Vergelijking met Nodal Analyse

Mesh analyse en nodal analyse zijn dubbele methoden. Mesh analyse gebruikt KVL en behandelt mesh stromingen als onbekenden; het is de voorkeur wanneer het circuit heeft minder mazen dan knooppunten. Nodal analyse gebruikt KCL en behandelt knoop spanningen als onbekenden; het wordt voorkeur wanneer het circuit heeft minder knooppunten dan mazen. Voor circuits met veel spanning bronnen, gaas analyse vaak vereenvoudigt de vergelijkingen omdat spanning bronnen bekend worden constanten aan de rechterkant. Omgekeerd, circuits met veel stroombronnen zijn meer geschikt voor nodal analyse. Beide methoden zijn lineair en kunnen worden geautomatiseerd, maar de keuze is afhankelijk van de topologie en de voorkeur van de analist. In moderne circuit simulatie, beide methoden worden geïmplementeerd, vaak gecombineerd in een gemodificeerde nodal analyse (MNA) die zowel met spanning en stroombronnen op natuurlijke wijze behandeld.

Toepassingen in de machinebouw

Mesh analyse is niet alleen een academische oefening; het wordt actief gebruikt in het ontwerp, analyse, en probleemoplossing van elektrische en elektronische systemen. Van eenvoudige stroomdistributienetwerken tot complexe geïntegreerde schakelingen, de principes van mesh analyse ligt ten grondslag aan de vergelijkingen opgelost door simulatoren.

Computer-geassisteerde Circuit Simulatie

Programma's zoals SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Expression) en de varianten daarvan (PSpice, LTSpice, Ngspice) formuleren intern circuitvergelijkingen met behulp van een methode bekend als gemodificeerde nodaalanalyse, die een hybride van nodaal- en mesh-analyse is. Terwijl pure mesh analyse wordt zelden gebruikt in commerciële simulatoren vanwege de beperking tot planaire circuits, het kernidee van het oplossen van een lineair systeem van KVL-gebaseerde vergelijkingen verschijnt in de historische ontwikkeling van circuit simulatoren. Begrijpen mesh analyse helpt ingenieurs interpreteren van de output en probleemoplossing simulaties die lussen en magnetische koppeling.

Ontwerp en problemen oplossen

In het lab gebruiken ingenieurs vaak gaasanalyse om snel handberekeningen voor kleine circuits te controleren. Bij het ontwerpen van een spanningsregelaar of een filter, helpt het weten van de mesh stromingen om te controleren dat componenten niet overbelast zijn. Probleemoplossing houdt vaak isolatielussen in: als een bepaalde weerstand oververhit wordt, kan gaas analyse de huidige bijdrage van elke bron identificeren. De techniek helpt ook bij gevoeligheidsanalyse: door gedeeltelijke derivaten van gaasstromen met betrekking tot componentwaarden te nemen, kunnen ontwerpers voorspellen hoe fabricagetoleranties de prestaties beïnvloeden.

Beperkingen en uitbreidingen

Ondanks het nut ervan heeft de maasanalyse duidelijke beperkingen. Het is alleen van toepassing op vlakke circuits; niet-planaire circuits vereisen lusanalyse op basis van een geselecteerde boom. Pure mesh analyse kan niet direct omgaan met circuits met wederzijdse inductantie (transformer koppeling) omdat de spanning geïnduceerd in een lus afhankelijk is van de stroomverandering in een andere .Dit introduceert een koppeling die kan worden gemodelleerd, maar het indruist in de eenvoudige weerstandsmatrix symmetrie. Voor AC steady-state analyse, gaas analyse strekt zich natuurlijk uit door het vervangen van weerstanden door complexe impedanties en het gebruik van phasor vormen van KVL. Voorbijgaande analyse in het tijddomein kan ook worden uitgevoerd met behulp van mesh vergelijkingen met differentiaal operators, hoewel de complexiteit toeneemt.

Een andere beperking treedt op wanneer het circuit ideale operationele versterkers bevat (op-amps). Op-amps vaak dwingen virtuele korte omstandigheden tussen knooppunten, die gemakkelijker kunnen worden behandeld door nodal analyse. In dergelijke gevallen, een gecombineerde aanpak ..soms genoemd "mesh analyse met virtuele grond beperkingen" . . wordt gebruikt, maar het wordt vaak gemakkelijker om over te schakelen naar nodal analyse. De dualiteit suggereert dat een bedreven ingenieur moet comfortabel zijn met beide methoden.

Uitbreidingen van de maasanalyse omvatten het gebruik van Laplacian transformaties voor frequentie-domeinanalyse, de toepassing van state-space methoden voor dynamische systemen, en de integratie van grafiek-theoretische loopstromen voor grootschalige netwerken. In veel geavanceerde leerboeken, gaas analyse dient als de poort naar het begrijpen van netwerk topologie en lineaire systeem theorie.

Conclusie

De theoretische grondslagen van mesh analyse rust veilig op Kirchhoff's spanningswet en de geometrische eigenschap van planariteit. Door het toewijzen van mesh stromingen en het schrijven van KVL rond elke onafhankelijke lus, ingenieurs en studenten kunnen systematisch alle tak stromen in een circuit bepalen. De wiskundige formulering levert een lineair systeem dat kan worden opgelost met de hand of door computer, en de techniek blijft een nietje van elektrische engineering onderwijs. Zijn beperkingen ..planarity en moeilijkheid met bepaalde bronnen ..zijn beheersbaar door uitbreidingen zoals de supermesh methode en de dubbele aanpak van nodal analyse.

Toch leert maasanalyse een gestructureerde manier van denken over circuits: het benadrukt het belang van lussen, de superpositie van stromen, en de symmetrie inherent aan passieve netwerken. Of je nu een eenvoudige gloeilampcircuit of een multi-trap versterker analyseert, de mesh stroom methode biedt een duidelijke weg van het circuit diagram naar de numerieke oplossing. Naarmate het veld van elektronica blijft evolueren, blijft de onderliggende lineaire algebra en grafiek theorie die measanalyse ondersteunen, als altijd relevant. Voor degenen die een diepere wiskundige behandeling zoeken, middelen zoals "Fundamentals of Electric Circuits"[ bieden Alexander en Sadiku een uitgebreide dekking van dit essentiële onderwerp.