A Influência da Colocação do Pólo na Frequência do Filtro de IIr e Características de Fase

Feedback e Estrutura Recursiva

A natureza recursiva (feedback) dos filtros IIR significa que a saída depende de saídas passadas, bem como de entradas passadas. Esta recursão pode ser expressa como uma equação linear de diferença de coeficiente constante. A força de feedback, codificada nos coeficientes do denominador, controla diretamente as posições do pólo. Uma pequena mudança na localização do pólo pode alterar drasticamente a resposta do filtro, fazendo com que a colocação do pólo seja um parâmetro de design poderoso e delicado.

O efeito direto da colocação do polo na resposta da frequência

Ressonância e formação de pico

Um pólo localizado perto do círculo unitário cria um pico acentuado na resposta de magnitude na frequência correspondente ao ângulo do pólo. À medida que o pólo se aproxima do círculo unitário (rádio ]r[ → 1), o pico torna-se mais estreito e mais alto. Este comportamento é quantificado pelo fator Q[] (fator de qualidade), que aumenta à medida que o pólo se aproxima de . Para uma secção de segunda ordem, o Q pode ser aproximado por Q . 1 / (2(1−r)) para pólos próximos do círculo unitário. Os filtros de alta qualidade são essenciais em aplicações de banda estreita, como filtros ressonantes para instrumentos musicais ou receptores canalizados, mas também aumentam a sensibilidade à quantificação de coeficientes e margens de estabilidade.

Largura de banda e seletividade

A distância radial do pólo também controla a largura de banda no ponto -3 dB. Para um pólo no raio ]r e ângulo Δ, a largura de banda é aproximadamente proporcional a (1−r). Colocando pólos mais próximos da origem (mais pequenos r) produz uma ressonância mais suave e mais larga, que é desejável em filtros passa-baixos e passa-altos onde é aceitável um rolagem gradual. Por outro lado, pólos próximos do círculo unitário são usados em filtros passa-banda e para-bandas que requerem transições nítidas. A relação entre ângulo de pólo e frequência de corte é linear: para um filtro passa-baixo, a frequência de corte é determinada diretamente pelo ângulo de pólo. Ao rodar vários pólos em torno do círculo unitário, os engenheiros podem desenhar filtros com faixas arbitrárias e faixas de paragem.

Interacção Pólo- Zero

Enquanto os pólos dominam o comportamento ressonante, os zeros modificam a resposta criando nulos. Num filtro de entalhe, por exemplo, um zero colocado no círculo unitário na frequência de entalhe atenua completamente essa frequência, enquanto os pólos próximos garantem uma faixa de passagem plana em outro lugar. Compreender como pólos e zeros interagem no plano complexo é chave para alcançar tanto rejeição quanto seletividade. Uma abordagem de design comum é colocar pólos próximos a zeros para “cancel” ressonâncias indesejáveis enquanto preserva a resposta de frequência desejada.

Impacto da colocação do pólo na resposta de fase

Fase não linear e atraso do grupo

Ao contrário dos filtros FIR, que podem atingir a fase linear empregando coeficientes simétricos, os filtros IIR têm inerentemente uma fase não linear. A mudança de fase introduzida por um pólo não é constante através da frequência; varia mais rapidamente perto da frequência ressonante do pólo. Esta variação de fase dá origem a atraso do grupo (a derivada negativa da fase com relação à frequência). Perto de um pólo de Q elevado, os picos de atraso do grupo, o que significa que diferentes componentes de frequência experimentam atrasos significativamente diferentes. Para aplicações de áudio, isto pode causar distorção de fase que degrada a resposta transitória e a imagem estéreo. Em comunicações, a variação excessiva do atraso de grupo pode levar a interferência inters intersímbolas.

Lag de fase e chumbo

Um único pólo real na metade esquerda do ]z]- plano (no eixo real) contribui com uma defasagem de fase que aumenta de 0° a 90° na frequência Nyquist. Pares de pólos complexos conjugados produzem uma mudança de fase mais acentuada, aproximando- se de 180° perto da ressonância. A resposta de fase de uma cascata de secções soma- se, de modo que desenhar um filtro com uma característica de fase desejada requer frequentemente a colocação de pólos e zeros em configurações específicas. Por exemplo, um filtro all- pass usa pólos e zeros que estão mutuamente colocados (pole em z = a, zero em ]z = 1/a*) para alterar a fase sem alterar a resposta. Os filtros all- pass são amplamente utilizados para a equalização de fases em redes cruzadas e e equalizadores.

Troca: Seletividade vs. Linearidade de Fase

Um dos trade-offs fundamentais de design nos filtros IIR é a competição entre seletividade de magnitude acentuada e linearidade de fase. Colocar pólos muito próximos do círculo unitário produz excelente discriminação de frequência, mas introduz grandes mudanças de fase e picos de atraso de grupo. Por outro lado, os pólos em movimento (reduzindo Q) achatam a resposta de fase em detrimento de faixas de transição mais amplas. Muitos projetos práticos aceitam alguma não linearidade de fase em troca de seletividade agressiva, dependendo do pós-processamento ou filtragem complementar para corrigir erros de fase quando necessário.

Estabilidade através da colocação correta do pólo

A Regra do Círculo de Unidade

Um filtro de IIR estável deve ter todos os seus pólos dentro do círculo unitário . Qualquer pólo dentro ou fora do círculo unitário conduz a uma resposta de impulso e saída ilimitadas que diverge, causando oscilação ou saturação. Mesmo um pólo exatamente no círculo unitário produz uma resposta oscilatória marginalmente estável que é inaceitável na maioria dos sistemas. Portanto, a estabilidade é a primeira restrição na colocação de pólos – não importa quão atraente seja um pico ressonante, o pólo deve permanecer estritamente dentro do círculo unitário.