Analisando Tensão e Corrente Usando Representação de Phasor

Phasors convertem funções senoidais em números complexos, permitindo que engenheiros trabalhem com equações algébricas em vez de equações diferenciais. A ideia principal é representar a amplitude e a fase do domínio de frequência do sinusoide, ignorando o fator variante do tempo ]e^jωt[[ (que é comum a todos os sinais em um circuito linear de estado estacionário).

Do domínio do tempo ao domínio do Phasor

A transformação depende da fórmula de Euler: ]e^jω = cos Δ + j sin Δ. Um sinal cosseno pode ser expresso como a parte real de um exponencial complexo:

v(t) = Re_m e^j(ωt+ω)]] = Re[(V_m e^jφ[]) e[^jωt[[]]]]

Usando fasors, a relação entre tensão e corrente em resistores, indutores e capacitores torna-se simples:

• Resistor: V = R[I (tensão e corrente estão em fase; ♦ = 0)
• Indutor: V = jωLI = ωL .90° × I (tensão de defasagem atual de 90°)
• Capacitor: V = (1/jωC)[I = (1/ωC) −90° × I (tensão de derivação atual em 90°)

Diagramas de Phasor e Relacionamentos de Fase

Um diagrama de fasor é uma representação gráfica de um ou mais fasores no plano complexo. Ele fornece uma maneira intuitiva de visualizar as diferenças de fase entre tensões e correntes. Para um circuito de RC simples, por exemplo, o fasor atual é girado em relação ao fasor de tensão por um certo ângulo 5,4%, que depende da reatância e resistência.

O desenho de diagramas de fasores ajuda os engenheiros a determinar rapidamente se um circuito é predominantemente resistivo, indutivo ou capacitivo. O comprimento de cada fasor corresponde ao valor RMS ou pico, e a separação angular indica o ângulo do fator de potência. Esta abordagem visual é amplamente utilizada na análise do sistema de potência e no projeto de redes de compensação.

Exemplo prático: Circuito RL série

Consider a 50 Ω resistor and an inductor with inductive reactance X_L = 30 Ω connected in series to an AC source v(t) = 100 cos(ωt) V. The total impedance is Z = R + jX_L = 50 + j30 Ω in rectangular form, or |Z| = √(50² + 30²) ≈ 58.31 Ω and ∠θ_Z = arctan(30/50) ≈ 30.96°. The current phasor is:

I = V / ]Z = (100 .0°) / (58.31 .30.96°) .

Isto nos diz que a tensão atual defasa em 30,96°, consistente com um circuito indutivo. A tensão através do resistor é V[_R[[ = RI = 50 × 1.715 .−30.96° . .85.75 .−30.96° V, enquanto a tensão através do indutor é V_]]L[[[[[ _{= jX[[L[[[[I[ = 30 .90° × 1.715 .}

Impedância e Admitância na Análise de Fásores

Impedância Z é o equivalente de resistência ao domínio fasor. É um número complexo que combina resistência R[ (parte real) e reatância X (parte imaginária):

Z = R + jX

A reactância pode ser indutiva (X_L = ωL, positiva) ou capacitiva (X_C[ = −1/ωC, negativo). A reciprocidade de impedância é admitância Y = 1/Z = G + jB[, onde G[] é condutância e B é suscetância. Usando a admitância pode simplificar a análise paralela de circuitos.

Quando os circuitos contêm múltiplos elementos, combinações de séries e impedância paralela seguem as mesmas regras que os resistores em circuitos DC, mas usando aritmética complexa. Por exemplo, duas impedâncias em série: Z[_eq[ = Z[_1[ + Z[_2[[; em paralelo: 1/Z_]]eq[ = 1/Z[_1[[ + 1/Z[₂[.

Análise de energia usando phasors

Uma das aplicações mais importantes da representação fasora é em cálculos de potência. Nos circuitos CA, a potência instantânea varia com o tempo, mas a potência média fornecida a uma carga pode ser encontrada a partir de quantidades fasoras. A potência complexa S[] é definida como:

S = V × I* = P + jQ

onde I* é o conjugado complexo do fasor atual.A parte real P] é a potência ativa (real) em watts (W), e a parte imaginária Q[ é a potência reativa em volt-amperes reativa (VAR).A magnitude [ .S .] é o poder aparente em volt-amperes (VA).