Compreender como as partículas se instalam em um fluido é fundamental para campos que vão desde a geologia e ciência ambiental até a engenharia química e farmacêutica. A velocidade de sedimentação – a velocidade terminal em que uma partícula desce sob gravidade através de um líquido ou gás – determina a eficiência dos clarificadores, o transporte de sedimentos nos rios, a formação de rochas sedimentares e a separação de células no bioprocessamento. Uma predição precisa desta velocidade requer que se conte com o tamanho, densidade, forma, viscosidade de fluidos e o regime de fluxo de partículas. Este artigo fornece um guia abrangente para calcular a velocidade de sedimentação para diferentes tipos de partículas, desde esferas ideais até agregados irregulares, e explora as equações de governo, correções e técnicas práticas de medição.

A Física da Sedimentação: Parâmetros-chave

A sedimentação ocorre quando a força gravitacional que atua sobre uma partícula excede a força flutuante e o arrasto viscoso resiste ao seu movimento. Na velocidade terminal, a força gravitacional líquida é igual à força de arrasto. Os parâmetros primários que influenciam este equilíbrio são:

  • ] Densidade de partículas (ρ]p] e Densidade de fluidos (ρf][ — a diferença de densidade Δρ = ρ]p[[ −f] fornece a força de condução.
  • Tamanho das partículas — normalmente expresso como um diâmetro equivalente. Para sedimentos naturais, o diâmetro da peneira ou o diâmetro de Stokes é comumente usado.
  • Viscosidade do fluido (η) — a resistência ao fluxo, que depende da temperatura e composição do fluido.
  • [[FLT: 0]] Forma de partículas — partículas não esféricas experimentam arrastos diferentes e frequentemente se instalam mais lentamente do que esferas da mesma massa.
  • [[FLT: 0]] Regime de fluxo [[FLT: 1]] — caracterizado pelo número de partículas Reynolds (Re = ρ[[FLT: 2]] f[[FLT: 3]] v d / η). Baixo Re corresponde ao fluxo laminar (regime de Stokes), enquanto alto Re indica fluxo turbulento.

Esses parâmetros são combinados em várias fórmulas empíricas e teóricas para estimar a velocidade de fixação terminal.O ponto de partida mais simples e amplamente utilizado é a Lei de Stokes, válida para partículas pequenas e esféricas que se estabelecem em um fluido quiescente sob condições laminares.

A Lei de Stokes e suas Suposições

A Lei do Stokes descreve a força de arrasto numa esfera que se move em número baixo de Reynolds (Re < 0. 1). A velocidade de fixação terminal [[FLT: 0]] v[[[ FLT: 1]]] para uma partícula esférica é derivada pela equivalência da força gravitacional líquida (peso menos flutuabilidade) com a força de arrasto de Stokes:

[[FLT: 0]] v = (2/9) & middot; (r²) · (Δρ) · g / η

onde r é o raio de partículas, g é a aceleração gravitacional, e os outros símbolos são definidos acima. Esta equação aplica-se apenas quando forem cumpridos os seguintes pressupostos:

  • A partícula é uma esfera rígida.
  • O fluido é incompressível e Newtoniano.
  • O fluxo é laminar (Re < 0,1), significando forças viscosas dominam forças inerciais.
  • As partículas estão longe das paredes e umas das outras (ou seja, suspensão diluída).
  • Não há interação partícula-partícula, floculação ou deposição dificultada.

Na prática, muitas partículas naturais e industriais violam uma ou mais dessas premissas. Por exemplo, grãos de areia são irregulares, células microbianas podem se deformar, e flocos têm estruturas fractais. No entanto, a Lei de Stokes continua sendo uma base de referência valiosa a partir da qual as correções podem ser aplicadas. Uma derivação detalhada da Lei de Stokes pode ser encontrada em livros didáticos de mecânica de fluidos padrão ou em recursos on-line como Wikipedia’s artigo sobre Stokes’ lei.

Calculando a Velocidade para Partículas Esféricas

Ao lidar com partículas aproximadamente esféricas (por exemplo, esferas de vidro, esferas de látex uniformes ou gotas de óleo), a Lei de Stokes fornece uma estimativa direta. Por exemplo, considere uma partícula de areia de sílica com raio 50 μm (5 & times; 10[−5 m), densidade 2650 kg/m³, fixação em água a 20&d;C (ρ[f[ = 998 kg/m³, η = 1,002 × 10[−3[[] Pa·s). A diferença de densidade Δρ = 1652 kg/m³. Usando g = 9,81 m/s/sup2;:

[[FLT: 0]] v = (2/9) & middot; (5 & times; 10 [[FLT: 1]]− 5[[[FLT: 2]]) ² · 1652 · 9.81 / (1.002 × 10[[[FLT: 3]]− 3[[[[FLT: 4]]]) [[[FLT: 5]]]

Isto produz [[ FLT: 0]]v & asymp; 0, 009 m/ s[ [ FLT: 1]] (9 mm/ s). O número Reynolds Re = (998 & middot; 0, 009 & middot; 1 & times; 10[[ [ FLT: 2]]− 4[ [[ FLT: 3]]]) / 0,001 & asymp; 0, 9, que está ligeiramente acima do limite de regime Stokes (0, 1), assim poderá ser justificada uma correcção para os números moderados de Reynolds para uma maior precisão. Para partículas menores que cerca de 30 μm, o Re é tipicamente bem inferior a 0, 1, e a Lei de Stokes aplica- se directamente.

Além de Stokes: Transição e Regimes Turbulentos

À medida que o tamanho das partículas aumenta, os efeitos inerciais tornam-se significativos, e o coeficiente de arrasto C]D[ se desvia do valor de Stokes (C[D[ = 24/Re). Para os números intermédios Reynolds (0.1 < Re < 1000), a relação é descrita pela curva de arrasto padrão []. Neste regime, a velocidade terminal pode ser encontrada resolvendo o equilíbrio de força iterativamente ou usando correlações empíricas como a correlação Schiller-Naumann: CD[[ = (24/Re)(1 + 0,15 Re0,687[]) para Re < 800.

Para partículas grandes e de rápida definição (Re & gt; 1000), o coeficiente de arrasto torna- se aproximadamente constante (C[[ FLT: 0]] D[[ FLT: 1]] & asymp; 0, 44 para esferas lisas). A velocidade de fixação no regime da lei Newton& rsquo é independente da viscosidade e dada por:

v = sqrt( (4 g d (ρ p[ − ρf)]) / (3 ρf[C[[D[])]][

onde d é o diâmetro das partículas. Para uma partícula de cascalho de 2 mm de diâmetro afundando na água, Re estará na ordem de centenas, e a equação turbulenta do regime deve ser usada. Muitos guias de projeto de engenharia, como os da caixa de ferramentas de engenharia, fornecem calculadoras e tabelas para estes cálculos.

Exemplo trabalhado: Regime de transição

Pegue uma esfera de quartzo de 0,5 mm de diâmetro (ρ]p = 2650 kg/m³) em água. Comece adivinhando uma velocidade, computando Re, find C[D, então solve para v. Um palpite inicial de Stokes (ignoring Re correction) dá v ≈ 0,09 m/s, Re ≈ 45. Usando Schiller-Naumann, CD[ ≈ 1, 1. Blocagem no balanço de força produz v ≈ 0,074 m/s. Repetindo a iteração dá convergência em torno de v = 0,072 m/s, Re = 36, CD[[ = 1,25. A correção iterativa é essencial quando Stokes' Law sobreprets velocidades por mais do que uma percentagem.

Ajustes para Partículas Não Esféricas

A maioria das partículas naturais e industriais não são esferas perfeitas. A sua forma irregular aumenta a força de arrasto, reduz a velocidade de fixação e torna a caracterização mais complexa. A abordagem padrão é definir um fator de forma [[FLT: 0]][[ FLT: 1]] (S ou & psi;) que relaciona o arrasto da partícula com o de uma esfera do mesmo volume. Os fatores de forma comuns incluem:

  • Esfericidade (ψ): Razão da área de superfície de uma esfera do mesmo volume que a partícula à área de superfície real da partícula. A esfericidade varia de 0 (extremamente alongada ou flástica) a 1 (esfera perfeita).
  • Fator de forma de corey : Usado para partículas de sedimentos; definido como c / sqrt(ab) onde a, b, c são as dimensões mais longas, intermediárias e mais curtas.
  • Fator de forma dinâmica: A relação da força de arrasto na partícula real com a de uma esfera do mesmo volume e densidade na mesma velocidade de fixação. Este fator é frequentemente determinado empiricamente.

Para partículas não esféricas, um diâmetro equivalente (como o diâmetro equivalente ao volume d[]v[] ou o diâmetro de Stokes d[st[]) é usado na equação de Stokes, e então a velocidade calculada é multiplicada por um fator de correção tipicamente inferior a 1. Por exemplo, grãos de areia com uma esfericidade de 0,7 podem se estabelecer em 60-80% da velocidade prevista para uma esfera da mesma massa e densidade. Tabelas detalhadas para fatores de correção de forma estão disponíveis em referências de sedimentação, tais como estudos sobre a fixação de sedimentos naturais.

Correlação empírica para os Sedimentos Naturais

Muitos pesquisadores propuseram equações para a velocidade de fixação de areia natural e partículas de sedimento que incorporam forma. Uma das mais utilizadas é a fórmula de Soulsby (1997) para areia fina a sedimento grosso, que usa uma abordagem drag-law mas substitui o diâmetro por um diâmetro nominal e aplica um coeficiente empírico. Outra correlação frequentemente citada é a equação Ferguson-Igreja[:

[[FLT: 0]]v = (g Δρ d²) / (C[[FLT: 1]]1[[FLT: 2]] η + sqrt( C[[FLT: 3]]2[[FLT: 4]]] g Δρ d³ )][

onde C[1 e C2[] são constantes empíricas que dependem da forma das partículas (por exemplo, C1[ ≈ 18 para a areia natural, C2[ ≈ 0,4 a 1,0 para as partículas esféricas para as partículas angulares). Esta equação transiciona suavemente do regime de Stokes (pequeno d) para o regime turbulento (grande d) e, inerentemente, explica a forma através das constantes.

Acomodações ocultas e lamas concentradas

Em muitos processos industriais (por exemplo, sedimentação em espessantes, clarificadores de águas residuais), a concentração de partículas é demasiado elevada para ignorar as interacções. Sob uma fixação dificultada, o movimento descendente de cada partícula é impedido pelo deslocamento ascendente de fluidos e colisões com vizinhos. A velocidade de fixação eficaz ]v[h[[] é inferior à velocidade terminal de uma partícula isolada. O modelo mais popular é a equação Richardson-Zaki[:

[[FLT: 0]]vh[[FLT: 2]] = v[[FLT: 3]]t[[FLT: 4] · (1 − φ)n[[FLT: 6]][[FLT: 7]]

onde o φ é a fração de volume de sólidos, e n é um expoente que depende do número de partículas Reynolds na diluição infinita (Ret). Para Ret[ < 0.2 (laminar), n ≈ 4.65; para Re intermediário, n diminui, e para totalmente turbulento (Ret > 500), n ≈ 2.4. A correlação Richardson-Zaki é amplamente usada no desenho de tanques de sedimentação e é discutida em detalhe na teoria de liquidação hinderecida[].

Efeito da Floculação

No tratamento da água e em muitos ambientes naturais, as partículas não são individuais, mas formam agregados (flocos) que têm uma estrutura fractal. A densidade de flocos diminui com o aumento do tamanho da floca devido à porosidade interna, e a velocidade de fixação da floca muitas vezes segue uma relação de poder com o diâmetro da floca. Por exemplo, os flocas de argila podem ter velocidades de fixação descritas por v = k d[m]mfff]f]ff]fff]ffff]ffff]fff]ff(Flt:13f)f(Fl:13f:)f.

Métodos práticos de medição da velocidade de sedimentação

Embora as fórmulas teóricas e empíricas sejam úteis, a medição direta é frequentemente necessária para partículas heterogêneas ou irregulares. As técnicas comuns incluem:

  • Método de pipeta de Andreasen: Técnica clássica para sedimentos; uma amostra é autorizada a se estabelecer em um cilindro calibrado, e as alíquotas são retiradas em diferentes momentos para determinar a distribuição do tamanho de partículas através de massa cumulativa.
  • Banco de sedimentação: A massa de material liquidado em uma panela submersa é registrada ao longo do tempo, e a velocidade é derivada da curva de acumulação.
  • Sistemas de difração de laser: Instrumentos como o Malvern Mastersizer utilizam o princípio da difração a laser para inferir a distribuição do tamanho das partículas a partir do qual as velocidades de fixação podem ser calculadas utilizando o modelo de arrasto adequado.
  • Máscola de vídeo: A observação directa da instalação de partículas numa célula permite o rastreio de partículas individuais, particularmente úteis para o estudo de partículas irregulares ou floculadas.

Ao medir, é fundamental controlar a temperatura (alterações de viscosidade ≈2% por grau Celsius para água) e usar suspensões diluídas o suficiente para evitar o estabelecimento dificultado.

Aplicações nas Indústrias

Cálculos precisos da velocidade de sedimentação são vitais em muitos campos:

  • Tratamento de águas e águas residuais: O desenho de clarificadores primários, tanques de deposição secundária e espessantes de lamas depende de distribuições de velocidade de decantação para alcançar a qualidade necessária do efluente.
  • Mineração e processamento mineral: Classificação dos minérios por tamanho em hidrociclones e espessantes usa modelos de descompressão dificultados; design de tanques de rejeitos requer conhecimento de como as partículas finas se consolidam.
  • Oceanografia e transporte de sedimentos: A previsão do destino das plumagens de sedimentos provenientes de rios, operações de dragagem ou mineração de profundidade depende da determinação das velocidades de areia, sedimento e argila, incluindo a floculação em água salina.
  • Farmacêutica e biotecnologia: Colheita de células em centrifugação e sedimentação; também para caracterizar o tamanho dos agregados proteicos ou emulsões.
  • Engenharia ambiental: Modelação da remoção de poluentes em zonas húmidas construídas, bacias de detenção de águas pluviais e separadores de águas oleosas.

Em cada caso, o tipo de partícula determina qual modelo é apropriado. Por exemplo, em clarificadores de águas residuais onde estão presentes flocos biológicos, o modelo de floco fractal combinado com o desembaraçamento dificultado é utilizado, enquanto para remoção de grãos na mesma planta, é aplicada a Lei de Stokes com correção de forma.

Conclusão

A velocidade de sedimentação do cálculo começa com a Lei de Stokes para partículas esféricas simples em condições laminares. Para partículas maiores ou mais rápidas, o coeficiente de arrasto deve ser ajustado para transição ou fluxo turbulento. Formas irregulares são tratadas por fatores de forma e correlações empíricas, como a equação de Ferguson-Church. Em suspensões concentradas, modelos de fixação prejudicados (Richardson-Zaki) são necessários, e para sistemas de floculação, a natureza fractal dos agregados deve ser considerada. Ao aplicar sistematicamente o modelo adequado para o tipo de partículas e regime de fluxo, engenheiros e cientistas podem prever com precisão o comportamento de sedimentação, otimizar os processos de separação e entender melhor a dinâmica natural dos sedimentos.